피타고라스 소수(Pythagorean prime)는 4로 나눈 나머지가 1인 소수이다.
이 형태의 소수는 두 자연수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다. 즉 이 소수의 제곱근은 피타고라스 정리에 의해 밑변 및 윗변의 길이가 자연수인 직각삼각형의 빗변의 길이로 표현할 수 있다.
가장 작은 피타고라스 소수들을 나열하면 아래와 같다.
- 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 109, 113, 137, 149, …
무한한 개수[편집 | 원본 편집]
디리클레 등차수열 정리에 따르면 피타고라스 소수의 개수는 무한함을 바로 알 수 있다. 물론 이 사실은 유클리드의 증명, 즉 모든 소수는 무한히 많다는 사실을 증명하는 방식과 비슷하게 이끌어낼 수도 있다.
먼저 피타고라스 소수의 개수가 유한하다고 가정하고 [math]\displaystyle{ A = \{p_1, p_2, \cdots p_k \} }[/math]가 그 유한한 목록이라 하자. 그 다음 [math]\displaystyle{ N=(2p_1p_2 \cdots p_k)^2+1 }[/math]이라 하면 주어진 어떤 소수로도 [math]\displaystyle{ N }[/math]을 나눌 수 없다.
그러므로 [math]\displaystyle{ N }[/math]은 위 목록에는 없는 새로운 소수를 약수로 갖는다. [math]\displaystyle{ p \mid N, p \not \in A }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ (2p_1p_2 \cdots p_k)^2 \equiv -1 \pmod p }[/math]이므로 -1은 법 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대한 이차잉여이다. [math]\displaystyle{ N }[/math]은 홀수이므로 [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod 4 }[/math]이며, 마찬가지로 피타고라스 소수이다. 그런데 이는 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math] 내에 들어있지 않으므로 모순이 발생한다.
따라서 피타고라스 소수는 무한히 존재한다.
두 자연수의 제곱의 합[편집 | 원본 편집]
짝수의 제곱과 홀수의 제곱의 합은 언제나 [math]\displaystyle{ 4k+1 (k \in \mathbb{N}) }[/math]의 꼴이다. 하지만 역으로 어떤 자연수가 [math]\displaystyle{ 4k+1 }[/math] 꼴이라고 해서 반드시 두 제곱수의 합으로 표현되지는 않으며, 반례로 21, 33 등이 있다.
물론 해당 자연수를 소수로 한정하면 역도 참이 된다. 모든 피타고라스 소수는 서로소인 두 자연수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있으며, 그 순서쌍은 유일하다. 단, 두 수의 순서를 바꿔서 일치하는 순서쌍은 같은 것으로 간주한다. 존재성 증명은 페르마의 두 제곱수 정리 문서에 있다.
만약 [math]\displaystyle{ n=a^2+b^2=c^2+d^2, a, b, c, d \in \mathbb{N} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \{a, b\} \neq \{c, d\} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 합성수이다. 또, [math]\displaystyle{ \gcd(a, b)=1 \text{ or } \gcd(c, d)=1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 피타고라스 소수만을 소인수로 갖는다. 이러한 두 순서쌍을 찾아서 합성수를 소인수분해하는 방법이 바로 오일러 소인수분해법이다.
- 소수인 예: [math]\displaystyle{ 1997=34^2+29^2, 2017=44^2+9^2, 2029=2^2+45^2 }[/math]
- 피타고라스 소수의 곱: [math]\displaystyle{ 2005=5 \cdot 401=18^2+41^2=22^2+39^2, 2041=13 \cdot 157=4^2+45^2=40^2+21^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ k \geq 1 }[/math]일 때, 페르마 수 [math]\displaystyle{ F_k=2^{2^k}+1 }[/math]은 항상 피타고라스 소수이거나 이들을 소인수로 갖는다.
가우스 소수와의 관계[편집 | 원본 편집]
가우스 소수는 환 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math]내에서의 곱셈 원소로, 통상적인 자연수 집합에서의 소수의 확장된 정의 중 하나이다.
피타고라스 소수는 실수가 아닌 가우스 소수들의 곱으로 표현할 수 있으며, 두 수는 켤레복소수 관계이다. 또, 가우스 소수의 절댓값의 제곱으로도 써진다.
- [math]\displaystyle{ 5=(2+i)(2-i)=|2+i|^2, 13=(3+2i)(3-2i)=|3+2i|^2, 17=(4+i)(4-i)=|4+i|^2, \cdots }[/math]
피타고라스 수[편집 | 원본 편집]
모든 피타고라스 소수는 변의 길이가 모두 자연수인 직각삼각형의 빗변의 길이가 될 수 있다. 즉 피타고라스 수의 순서쌍 중 가장 큰 값에 해당한다.
만약 짧은 두 변의 길이가 서로소인 자연수이고 빗변의 길이도 자연수이면, 빗변의 길이는 피타고라스 소수이거나 이들의 곱으로 이루어져 있다.
[math]\displaystyle{ p=a^2+b^2=(a+bi)(a-bi) }[/math]의 양 변을 제곱하면
- [math]\displaystyle{ p^2=(a+bi)^2(a-bi)^2=(a^2-b^2+2abi)(a^2-b^2-2abi)=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2 }[/math]
이며, 이는 세 변의 길이가 [math]\displaystyle{ (a^2-b^2, 2ab, a^2+b^2) }[/math]인 직각삼각형에 해당한다.
빗변의 길이가 소수인 피타고라스 수는 아래와 같다.
- (3, 4, 5), (5, 12, 13), (15, 8, 17), (20, 21, 29), (35, 12, 37), (9, 40, 41), (45, 28, 53), (11, 60, 61), (55, 48, 73), …
각주
소수의 종류 | |
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소수 순서쌍 | |
정리 및 추측 | |
소수 관련 주제 |