계승 소수

계승 소수(Factorial prime)는 자연수의 계승에서 1만큼 크거나 작은 소수이다. 수식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ n! \pm 1 }[/math] 꼴이다.

처음 10개 계승 소수의 값은 아래와 같다.

2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, …

알려진 소수

[math]\displaystyle{ n! \pm 1 }[/math]이 소수이기 위한 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 값은 아래와 같다. 2022년 7월 25일까지 알려진 계승 소수는 총 51개이다. 자연수 전체에서는 계승 소수가 무한히 존재할 것으로 추정하고 있지만 증명되지는 않았다.

아래 목록에서 OEIS 페이지에 없는 값은 Prime Pages ―The Top Twenty: Factorial primes에서 최신 정보를 확인할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ n!-1 }[/math]: 27개 발견 (OEIS의 수열 A002982)
  • 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21480, 34790, 94550, 103040, 147855, 208003, …
• [math]\displaystyle{ n!+1 }[/math]: 24개 발견 (OEIS의 수열 A002981)
  • 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209, 288465, 308084, 422429, …

계승 소수의 변형

소수 계승 소수(Primorial prime)는 위 정의에서 계승 대신 소수 계승으로 치환한 소수이다. 즉 [math]\displaystyle{ n\text{#} \pm 1 }[/math] 꼴의 소수이며, 가장 작은 항들은 2, 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, …이다.

[math]\displaystyle{ p\text{#} \pm 1 }[/math]이 소수이기 위한 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 값들은 아래와 같다. 총 44개가 알려져 있다.

• [math]\displaystyle{ p\text{#}-1 }[/math]: 21개 발견 (OEIS의 수열 A006794)
  • 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 336, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877, 843301, 1098133, 3267113, …
• [math]\displaystyle{ p\text{#}+1 }[/math]: 23개 발견 (OEIS의 수열 A005234)
  • 1, 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439, 392113, …

마찬가지로 이중 계승 소수(Double factorial prime)를 정의할 수 있다. [math]\displaystyle{ n!! }[/math]은 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 홀짝 여부에 따라 이중 계승 값도 홀수 또는 짝수가 되므로, [math]\displaystyle{ n!! \pm 1, 2 }[/math]의 형태를 생각할 수 있다. 이것이 소수이기 위한 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 목록은 아래와 같다.

• [math]\displaystyle{ n!!-1 }[/math]: 25개 발견 (OEIS의 수열 A007749)
  • 3, 4, 6, 8, 16, 26, 64, 82, 90, 118, 194, 214, 728, 842, 888, 2328, 3326, 6404, 8670, 9682, 27056, 44318, 76190, 100654, 145706, …
• [math]\displaystyle{ n!!+1 }[/math]: 9개 발견 (OEIS의 수열 A080778)
  • 0, 1, 2, 518, 33416, 37310, 52608, 123998, 220502, …
• [math]\displaystyle{ n!!-2 }[/math]: 17개 발견
  • 5, 7, 15, 17, 19, 51, 73, 89, 131, 153, 245, 333, 441, 463, 825, 1771, 2027, …
• [math]\displaystyle{ n!!+2 }[/math]: 16개 발견
  • 3, 5, 7, 9, 21, 23, 27, 57, 75, 103, 169, 219, 245, 461, 695, 1169, …

특징

[math]\displaystyle{ n\gt m }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ m \mid n!\pm m }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n!+1 \lt a \leq n!+n \text{ or } n!-n \leq a \lt n!-1(n \geq 2) }[/math]인 자연수는 소수가 아니다. 특히 [math]\displaystyle{ n! \pm 1 }[/math]이 둘 다 소수가 아니면 [math]\displaystyle{ n!-n \leq a \leq n!+n }[/math] 범위에서는 소수가 존재하지 않는다. 즉 이 구간 주변에서는 소수 간극이 상대적으로 큰 자연수를 찾을 수 있다.

소수 계승 소수도 마찬가지로 [math]\displaystyle{ n\text{#}+1 \lt a \leq n\text{#}+n \text{ or } n\text{#}-n \leq a \lt n\text{#}-1(n \geq 2) }[/math] 구간에서는 소수가 존재하지 않는다.

기타

[math]\displaystyle{ p }[/math]가 5 이상의 소수이면 [math]\displaystyle{ (p-1)!+1 }[/math]은 윌슨의 정리에 의해 [math]\displaystyle{ p }[/math]의 배수이므로 소수일 수 없다. 물론 [math]\displaystyle{ p \in \{5, 7, 11, 29 \} }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \frac{(p-1)!+1}{p} }[/math]는 소수이다.