피어폰트 소수

피어폰트 소수(Pierpont prime)는 [math]\displaystyle{ p=2^m 3^n+1 }[/math]의 꼴로 표현되는 소수를 뜻한다. 여기서 [math]\displaystyle{ m, n }[/math]은 0 이상의 정수이다. 이름은 미국의 수학자인 제임스 피어폰트(James Pierpont)에서 유래하였다.

처음 피어폰트 소수는 아래와 같다.

  • 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, … (OEIS의 수열 A005109)

1 특징[편집]

주어진 정의에서 [math]\displaystyle{ m \geq 1, n=0 }[/math]인 경우는 [math]\displaystyle{ p=2^m+1 }[/math]이다. 이 값이 소수이기 위한 필요조건은 [math]\displaystyle{ m=2^k }[/math] 꼴, 즉 밑이 2이고 지수가 0 이상의 정수가 되는 것이다. 이 경우 페르마 수가 된다. 다시 말해 페르마 소수는 피어폰트 소수의 부분집합이다.

현재까지 알려진 페르마 소수는 5개 뿐(3, 5, 17, 257, 65537)이고, [math]\displaystyle{ k \geq 5 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ 2^{2^k}+1 }[/math]이 소수인 경우는 현재까지 하나도 발견되지 않았다. 페르마 소수의 경우 2의 지수 조건이 2의 거듭제곱이라는 조건이 걸려 있기에 [math]\displaystyle{ N\lt 10^{100} }[/math] 범위에서는 페르마 수가 단 9개 뿐이다.

하지만 피어폰트 소수는 [math]\displaystyle{ p=2^m 3^n+1 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ m, n \geq 1 }[/math]이면 두 지수에는 특별한 까다로운 제약이 걸리지 않는다. 실제로 구골 이하에서는 피어폰트 소수가 795개나 되고, 지금까지 발견된 것만 수천 개에 이른다. 자연수 전체에서는 무한히 많을 것으로 추측하고 있다.

1.1 정다각형 작도[편집]

눈금 없는 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 정다각형은 변의 수가 2의 거듭제곱과 서로 다른 페르마 소수의 곱으로 이루어져 있어야 한다. 수식으로 표현하면 [math]\displaystyle{ N=2^{m}p_1p_2\cdots p_k }[/math]이며, 각 소수는 서로 다른 페르마 소수이다. 알려진 페르마 소수가 5개 뿐이기에 작도할 수 있는 변의 수가 홀수인 정다각형은 31개 뿐이다.

하지만 각의 삼등분이 가능한 도구를[1] 포함하면 위 소수를 피어폰트 소수로 확장할 수 있고, 그에 따라 작도 가능한 정다각형도 많아진다. 이때 변의 수의 조건은 2의 거듭제곱, 3의 거듭제곱 및 서로 다른 피어폰트 소수의 곱으로 이루어져 있는 것이다. 각의 삼등분이 가능함에 따라 오일러 피 함수의 값은 2와 3만을 소인수로 가져야 하지 때문이다.

  • [math]\displaystyle{ A= \{x|x=2^a 3^b, a, b \in \mathbb{N} \cup \{0\} \} }[/math]는 소인수가 2와 3뿐인 자연수들의 집합이다. 어떤 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 아래 두 명제는 동치이다.
    • [math]\displaystyle{ \varphi(N) \in A }[/math]
    • [math]\displaystyle{ N=2^{m}3^{n}p_1p_2\cdots p_k, \varphi(p_j) \in A, i \neq j \Leftrightarrow p_i \neq p_j }[/math]
  • 후자에서 전자로는 쉽게 증명할 수 있다. [math]\displaystyle{ x, y \in A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ xy \in A }[/math]도 성립함을 이용한다. 전자에서 후자로는 아래와 같이 증명한다.
  • 증명: [math]\displaystyle{ N=2^m 3^n p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k} }[/math] 꼴로 소인수분해가 된다고 하자. [math]\displaystyle{ p_j }[/math]는 서로 다른 5 이상의 소수이다. 오일러 피 함수의 값은 [math]\displaystyle{ \varphi(N)=\varphi(2^m3^n) \prod_{j=1}^{k}\varphi(p_j^{r_j})=2^m3^{n-1}\prod_{j=1}^{k}(p_j-1)p_j^{r_j-1} }[/math]이다. 이것이 2와 3만을 소인수로 가지려면 5 이상의 소수 [math]\displaystyle{ p_j }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ r_j=1 }[/math]이어야 한다. 또, [math]\displaystyle{ p_j-1 \in A }[/math]도 만족한다. 그러면 [math]\displaystyle{ p_j=2^{m_j}3^{n_j}+1 }[/math]의 꼴로 써지며 이는 곧 피어폰트 소수임을 뜻한다. 그리고 각 소수들의 지수는 모두 1이므로, [math]\displaystyle{ N=2^{m}3^{n}p_1p_2\cdots p_k }[/math]와 같이 정리된다.

일반 작도로는 그릴 수 없지만 각의 삼등분기를 동원하면 작도가 되는 정다각형은 변의 수가 9의 배수이거나 페르마 소수가 아닌 피어폰트 소수를 인수로 가지는 것들이다.

2 알려진 가장 큰 소수[편집]

아래는 2022년 8월 2일까지 발견된 100만 자리 이상의 피어폰트 소수들이다.[2] 보통 프로트의 정리로 소수 여부를 규명해낸다.

# 소수 자릿수 발견 연도
1 [math]\displaystyle{ 3 \cdot 2^{16408818}+1 }[/math] 4939547 2020
2 [math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{13334487}+1 }[/math] 4014082 2020
3 [math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{12406887}+1 }[/math] 3734847 2020
4 [math]\displaystyle{ 3^3 \cdot 2^{12184319}+1 }[/math] 3667847 2021
5 [math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{11500843}+1 }[/math] 3462100 2020
6 [math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{11366286}+1 }[/math] 3421594 2020
7 [math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{11158963}+1 }[/math] 3359184 2020
8 [math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{9778263}+1 }[/math] 2943552 2020
9 [math]\displaystyle{ 2 \cdot 3^{5570081}+1 }[/math] 2657605 2020
10 [math]\displaystyle{ 3^3 \cdot 2^{7963247}+1 }[/math] 2397178 2021
11 [math]\displaystyle{ 3^3 \cdot 2^{7046834}+1 }[/math] 2121310 2018
12 [math]\displaystyle{ 3 \cdot 2^{7033641}+1 }[/math] 2117338 2011
13 [math]\displaystyle{ 2 \cdot 3^{3648969}+1 }[/math] 1741001 2020
14 [math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{5642513}+1 }[/math] 1698567 2013
15 [math]\displaystyle{ 3^3 \cdot 2^{5213635}+1 }[/math] 1569462 2015
16 [math]\displaystyle{ 3 \cdot 2^{5082306}+1 }[/math] 1529928 2009
17 [math]\displaystyle{ 2 \cdot 3^{3123036}+1 }[/math] 1490068 2020
18 [math]\displaystyle{ 3^2 \cdot 2^{3497442}+1 }[/math] 1052836 2012
19 [math]\displaystyle{ 2^2 \cdot 3^{2143374}+1 }[/math] 1022650 2020
20 [math]\displaystyle{ 3^4 \cdot 2^{3352924}+1 }[/math] 1009333 2012

3 같이 보기[편집]

4 각주

  1. 종이접기를 이용한 작도 또는 눈금이 있는 자를 사용하는 뉴시스 작도
  2. The Largest Known Primes, 2022년 8월 3일 확인함