펠 수

펠 수(Pell number)는 뤼카 수열로 정의되는 수들로, 피보나치 수와 유사한 특징을 가지고 있다.

처음 펠 수는 아래와 같다.

• 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, … (OEIS의 수열 A000129)

정의

펠 수열은 [math]\displaystyle{ P_0=0, P_1=1, P_n=2P_{n-1}+P_{n-2} (n \geq 2) }[/math]로 정의한다. 이는 제1종 뤼카 수열인 [math]\displaystyle{ U_n(2, -1) }[/math]에 해당한다.

점화식을 풀면 [math]\displaystyle{ P_n=\frac{(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}} }[/math]이다. 백은비 [math]\displaystyle{ \varphi=1+\sqrt{2} }[/math]를 써서 표현하면 [math]\displaystyle{ P_n=\frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{2\sqrt{2}} }[/math]이다.

이웃한 두 항 사이의 비는 백은비에 수렴한다. 피보나치 수열의 이웃한 두 항 사이의 비가 황금비에 수렴하는 것과 같다.

[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{P_n}{P_{n-1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\varphi^{n-1}-(-\varphi)^{-n+1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\varphi-(-1)^n\varphi^{-2n+1}}{1-(-1)^n\varphi^{-2n+2}}=\varphi }[/math]

한편 보조 펠 수(companion Pell number)도 생각할 수 있는데, 점화식은 같지만 초기 조건이 다르다. 제2종 뤼카수열인 [math]\displaystyle{ V_n(2, -1) }[/math]과 같으며, 뤼카 수와 형태가 유사하다. 펠-뤼카 수(Pell-Lucas number)라고도 불린다.

• [math]\displaystyle{ Q_0=Q_1=2, Q_n=2Q_{n-1}+Q_{n-2} (n \geq 2) }[/math]
• [math]\displaystyle{ Q_n=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n=\varphi^n+(-\varphi)^{-n} }[/math]
• 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, 16238, … (OEIS의 수열 A002203)

나아가 이 수열의 각 항을 2로 나눈 값들로 정수열을 또 정의할 수 있다. 즉 [math]\displaystyle{ H_n=\frac{Q_n}{2} }[/math]

• 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 8119, … (OEIS의 수열 A001333)

성질

앞서 정의한 수열의 항들 사이에는 아래 관계식이 성립한다.

• [math]\displaystyle{ Q_n=P_{n-1}+P_{n+1}, P_n=\frac{Q_{n-1}+Q_{n+1}}{8}=\frac{H_{n-1}+H_{n+1}}{4}, H_n=P_{n-1}+P_n=P_{n+1}-P_n }[/math]
• [math]\displaystyle{ P_{m+n}=\frac{P_mQ_n+Q_mP_n}{2}=P_mH_n+H_mP_n, Q_{m+n}=\frac{1}{2}Q_mQ_n+4P_mP_n, H_{m+n}=H_mH_n+2P_mP_n }[/math]
• [math]\displaystyle{ P_{2n}=P_nQ_n, Q_{2n}=Q_n^2-2(-1)^n=8P_n^2+2(-1)^n }[/math]
• [math]\displaystyle{ P_{2n+1}=P_n^2+P_{n+1}^2 }[/math]

백은비의 거듭제곱은 펠 수와 보조 펠 수의 반으로 나타낼 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \varphi^n=(1+\sqrt{2})^n=H_n+P_n\sqrt{2} }[/math]
• [math]\displaystyle{ (-\varphi)^{-n}=(1-\sqrt{2})^n=H_n-P_n\sqrt{2} }[/math]
• 두 식을 곱하면 [math]\displaystyle{ (-1)^n=H_n^2-2P_n^2 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]와의 연관성

백은비 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 이차방정식 [math]\displaystyle{ x^2=2x+1 }[/math]의 양의 실근이다. 방정식을 변형하면 [math]\displaystyle{ x=2+\frac{1}{x} }[/math]이다.

이 식과 비슷한 모양을 한 수열을 정의한다. 초깃값과 점화식을 [math]\displaystyle{ a_1=\frac{P_2}{P_1}=2, a_n=2+\frac{1}{a_{n-1}} (n \geq 2) }[/math]와 같이 정의하면 [math]\displaystyle{ a_n=\frac{P_{n+1}}{P_n} }[/math]이다. 아울러 이 수열은 연분수로 [math]\displaystyle{ a_n=[2;2,2,2,\cdots 2] }[/math]의 꼴이며, 여기서 2는 맨 앞의 항을 포함해서 [math]\displaystyle{ n }[/math]개 들어가 있다.

[math]\displaystyle{ b_n=a_n-1 }[/math]이라 하면 [math]\displaystyle{ b_n=\frac{P_{n+1}-P_n}{P_n}=\frac{P_n+P_{n-1}}{P_n}=\frac{H_n}{P_n} }[/math]이다. 또, [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n=\varphi, \lim_{n \to \infty}b_n=\sqrt{2} }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 클 때 [math]\displaystyle{ H_n \approx \sqrt{2}P_n }[/math]이라 할 수 있다.

[math]\displaystyle{ n }[/math]이 홀수일 때, [math]\displaystyle{ P_n }[/math]은 피타고라스 수의 빗변의 길이이다. 변의 길이 순서쌍은 [math]\displaystyle{ (P_{k+1}^2-P_k^2, 2P_{k+1}P_k, P_{k+1}^2+P_k^2) }[/math]이고, 위 성질 문단을 이용하면 [math]\displaystyle{ (H_{k+1}H_k, 2P_{k+1}P_k, P_{2k+1}) }[/math]로도 쓸 수 있다.

짧은 두 변의 길이의 비는 [math]\displaystyle{ \frac{H_{k+1}H_k}{2P_{k+1}P_k} \approx \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}=1 }[/math]이므로 직각삼각형은 직각이등변삼각형에 가까워진다.

위 피타고라스 수에 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]를 차례대로 대입하면 짧은 두 변의 길이의 차는 언제나 1이다.

(3, 4, 5), (21, 20, 29), (119, 120, 169), (697, 696, 985), (4059, 4060, 5741), …

펠 소수

펠 소수(Pell prime)는 펠 수 중 소수인 수들을 말한다. [math]\displaystyle{ P_n }[/math]이 소수가 되는 알려진 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 값은 아래와 같이 모두 소수이다.

• 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197 (OEIS의 수열 A096650): 총 31개
• 가장 작은 펠 소수는 2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, … (OEIS의 수열 A086383)

또한 보조 펠 수에 대해서도 소수를 생각할 수 있다. 이를 펠-뤼카 소수(Pell-Lucas prime)라 한다. [math]\displaystyle{ H_n }[/math]이 소수가 되는 알려진 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 값은 아래와 같이 소수이거나 2의 거듭제곱이다.

• 2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, 937, 947, 1493, 1901, 6689, 8087, 9679, 28753, 79043, 129127, 145969, 165799, 168677, 170413, 172243, 278321 (OEIS의 수열 A099088): 총 30개
• 가장 작은 펠-뤼카 소수는 3, 7, 17, 41, 239, 577, 665857, 9369319, 63018038201, … (OEIS의 수열 A086395)

같이 보기

• 금속비
• 피보나치 수열
• 뤼카 수열