골드바흐 추측

골드바흐 추측(Goldbach's conjecture)은 정수론 중 소수와 관련된 미해결 문제이다. 1742년 프로이센의 수학자 크리스티안 골드바흐가 처음 이 문제를 제시하였다.

추측

현재 가장 관심을 두는 문제는 아래 강한 골드바흐 추측이다.

• 4 이상의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다. (미해결)

골드바흐가 실제로 처음 제시한 진술은 약한 골드바흐 추측으로 아래와 같다.

• 6 이상의 모든 자연수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다. (해결)

만약 강한 골드바흐 추측이 참이라면, 약한 골드바흐 추측도 참이다.

• 어떤 4 이상의 짝수가 [math]\displaystyle{ n=p+q }[/math]와 같이 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다면, 이보다 2, 3만큼 큰 자연수는 [math]\displaystyle{ n+2=2+p+q, n+3=3+p+q }[/math]와 같이 세 소수의 합으로 표현이 된다. 따라서 강한 골드바흐 추측은 약한 골드바흐 추측이 참이기 위한 충분조건이다.

약한 골드바흐 추측은 2013년 페루의 수학자 하랄드 헬프고트(Harald Andrés Helfgott)가 증명하였다. 하지만 강한 골드바흐 추측은 현재까지도 풀리지 않았다.

어떤 짝수를 두 소수의 합으로 나타낼 때, 같은 소수를 사용해도 되고, 표현 방법이 몇 가지이든 상관이 없다.

• 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7=5+5, 12=5+7, 14=3+11=7+7, 16=3+13=5+11, 18=5+13=7+11, 20=3+17=7+13, …

발견 진척

컴퓨터로 작은 자연수들에 대해 전수조사를 해본 결과, 2012년 4월 4일까지 [math]\displaystyle{ 4\times10^{18} }[/math] 이하의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 확인하였다. 즉 이 영역에서는 반례가 단 하나도 나오지 않았다. 또, 2013년 5월 26일까지 [math]\displaystyle{ 4\times10^{17} }[/math] 이하에서 재검을 완료하였다.