섹시 소수

섹시 소수(Sexy prime)은 두 소수의 차이가 6인 소수 순서쌍을 말한다. 명칭은 6을 뜻하는 라틴어 접두어인 'sex-'에서 유래하였다.

[math]\displaystyle{ (p, p+6) }[/math]이 섹시 소수이고, 그 사이 값인 [math]\displaystyle{ p+2, p+4 }[/math] 둘 중 하나 역시 소수이면 세 수는 세쌍둥이 소수가 된다.

목록

• (5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (257,263), (263,269), (271,277), (277,283), … (OEIS의 수열 A023201)

성질

5보다 큰 섹시 소수에 대해 공차가 6인 소수 항은 개수가 최대 4개까지 가능하다. [math]\displaystyle{ p, p+6, p+12, p+18, p+24 }[/math] 다섯 항 중 적어도 하나는 5의 배수이기 때문이다.

[math]\displaystyle{ (p, p+6, p+12) }[/math]가 소수인 순서쌍은 아래와 같다. [math]\displaystyle{ p-6, p+18 }[/math] 둘 중 하나라도 소수인 경우는 제외.

• Triplet: (7,13,19), (31,37,43), (97,103,109), (101,107,113), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983), (1117, 1123, 1129), (1181, 1187, 1193), (1277,1283,1289), (1291,1297,1303), … (OEIS의 수열 A046118)

[math]\displaystyle{ (p, p+6, p+12, p+18) }[/math]이 소수인 순서쌍은 아래와 같다. 이때 [math]\displaystyle{ p-6, p+24 }[/math]는 자동으로 5의 배수가 된다.

• Quadruplet: (5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659), (1091, 1097, 1103, 1109), (1481, 1487, 1493, 1499), (1601, 1607, 1613, 1619), (1741, 1747, 1753, 1759), (1861, 1867, 1873, 1879), … (OEIS의 수열 A023271)

빈도

섹시 소수는 쌍둥이 소수나 사촌 소수보다 빈도가 높다. 즉 [math]\displaystyle{ 1\lt p\lt N }[/math]과 같이 특정 범위 내에서 볼 때 소수 순서쌍의 개수가 많다는 뜻이다. 이러한 이유에는 두 수의 간격이 6이라는 데에 단서가 있다.

엄밀한 증명은 아니지만 여기서는 확률론적으로 접근한다. 먼저 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 소수가 되려면 [math]\displaystyle{ \sqrt{n} }[/math] 이하의 소수들로 나누어 떨어지지 않아야 한다. 이때 서로 다른 소수 [math]\displaystyle{ p, q }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ p }[/math]의 배수가 아닌 사건과 [math]\displaystyle{ q }[/math]의 배수가 아닌 사건은 서로 독립사건이다. 그러므로 앞서 서술한 확률은 아래와 같이 쓸 수 있다. ([math]\displaystyle{ \mathbb{P} }[/math]는 소수들의 집합이다)

[math]\displaystyle{ P(n \in \mathbb{P}) \approx \prod_{\text{primes } q \leq \sqrt{n}} \frac{q-1}{q} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{n} }[/math]보다 작은 최대 소수가 [math]\displaystyle{ m }[/math]번째 소수라면, [math]\displaystyle{ P(n \in \mathbb{P}) \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{q_m-1}{q_m} }[/math]과 같이 전개할 수 있다.

그런데 만약 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수임을 알고 있을 때, 일정한 차이 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ p+\delta }[/math] 역시 소수일 확률을 알아보려 한다면 식은 달라진다. 여기서는 [math]\displaystyle{ \delta \in \{2, 4, 6\} }[/math]인 경우를 알아보며, 각각 쌍둥이 소수, 사촌 소수, 섹시 소수를 의미한다.

• 먼저 2의 배수 조건으로 들어가면, 2를 제외한 모든 소수는 홀수이다. 그렇기에 일반적으로 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수일 때 [math]\displaystyle{ p+2, p+4, p+6 }[/math]이 2의 배수가 아니라는 사실이 자동 확정되고, 확률은 1로 굳어진다. 즉 조건부 확률로 쓰면 [math]\displaystyle{ P(p+\delta \nmid 2|p \in \mathbb{P})=1\ (p \neq 2) }[/math]이다.
• 3의 배수의 경우, 3을 제외한 모든 소수는 3의 배수가 아니다. 그러면 [math]\displaystyle{ p }[/math]를 3으로 나눈 나머지는 일반적으로 1 또는 2이다.
  • [math]\displaystyle{ p \equiv 1 \pmod 3 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ p+2 \mid 3, p+4, p+6 \nmid 3 }[/math]이다.
  • [math]\displaystyle{ p \equiv 2 \pmod 3 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ p+4 \mid 3, p+2, p+6 \nmid 3 }[/math]이다.
  • 따라서 [math]\displaystyle{ p \neq 3 }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ P(p+2 \nmid 3|p \in \mathbb{P})=P(p+4 \nmid 3|p \in \mathbb{P})=\frac{1}{2}, P(p+6 \nmid 3|p \in \mathbb{P})=1 }[/math]이다. (※)
• [math]\displaystyle{ p \neq q, q \geq 5 }[/math]일 때, 마찬가지 방법으로 [math]\displaystyle{ P(p+\delta \nmid q|p \in \mathbb{P})=\frac{q-2}{q-1} }[/math]임을 알 수 있다.

정리하면 [math]\displaystyle{ P(p+\delta \in \mathbb{P}|p \in \mathbb{P}) \approx \prod_{\text{primes } q \leq \sqrt{n}} P(p+\delta \nmid q|p \in \mathbb{P}) }[/math]가 되는데, 위에서 살펴본 바와 같이 [math]\displaystyle{ q=3 }[/math]일 때 조건부 확률이 달라짐을 알 수 있다. (※) 조건으로부터 [math]\displaystyle{ P(p+6 \in \mathbb{P}|p \in \mathbb{P}) \approx 2P(p+2 \in \mathbb{P}|p \in \mathbb{P}) \approx 2P(p+4 \in \mathbb{P}|p \in \mathbb{P}) }[/math]임을 유추할 수 있으며, 이는 같은 범위에서 섹시 소수가 쌍둥이 소수나 사촌 소수보다 대략 두 배 많이 들어가 있음을 뜻한다.

만약 [math]\displaystyle{ \delta=30 }[/math]으로 잡는다면, 30은 2, 3, 5의 배수이므로 [math]\displaystyle{ p \geq 7 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ P(p+30 \nmid 5|p \in \mathbb{P})=1 }[/math]이다. 나머지 소수에 대해서는 [math]\displaystyle{ \delta=6 }[/math]일 때와 똑같다. 그러므로 [math]\displaystyle{ (p, p+30) }[/math]이 소수인 순서쌍은 섹시 소수보다 빈도가 좀 더 높다.