덧셈

영어 : Add(-ition), Plus / 일본어 : 加法・足し算・足す・和

사칙연산에서 곱셈과 함께 가장 기본적, 독립적인 연산으로, 산술에서 가장 처음 시행하는 것이다. 이걸 못하는 사람은 아마 없을 거다. 최소한 1+1이라도... 그 덧셈이 아니라 배타적 논리합이라면?

기호는 더하기표(+)를 쓴다. 반대 개념으로는 뺄셈이 있다.

정의

자연수의 덧셈

자연수의 덧셈은 귀납적으로 다음과 같이 정의한다.

n이 자연수이고 S(n)은 n의 다음수(successor)일 때,

• n+1 := S(n)
• m이 자연수일 때 n+S(m) = S(n+m)

정수의 덧셈

정수의 덧셈은 자연수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 자연수 반군(semigroup)(혹은 모노이드(monoid))에서 그로텐디크 군(Grothendieck group)을 얻을 때 덧셈이 자연스럽게 같이 확장된다.

기본 아이디어는 이렇다. 모든 정수는 어떤 두 자연수의 차로 나타낼 수 있는데, 두 정수 a=k−l, b=m−n에 대하여 a와 b의 합을 아래와 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ a+b := (k+m)-(l+n) }[/math]

두 자연수의 차로 나타내는 방법이 여럿 있을 수 있지만 그로텐디크 군을 얻을 때 다 해결된다.

유리수의 덧셈

유리수의 덧셈은 정수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 정수 정역(integral domain)에서 분수체(field of fractions)를 얻을 때 덧셈과 곱셈이 자연스럽게 같이 확장된다.

기본 아이디어는 이렇다. 모든 유리수는 어떤 두 정수의 몫으로 나타낼 수 있는데, 두 유리수 p=a/b, q=c/d에 대하여(당연히 b, d≠0) p와 q의 합을 아래와 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ p+q := \frac{ad+bc}{bd} }[/math]

두 정수의 몫으로 나타내는 방법이 여럿 있을 수 있지만 분수체를 얻을 때 다 해결된다.

실수의 덧셈

실수를 정의할 때는 극한 개념이 들어가서 조금 복잡하다.

• 데데킨트 절단(Dedekind cut)을 이용하는 경우

모든 실수는 데데킨트 왼집합(Dedekind left set)인데, 두 실수 [math]\displaystyle{ r, s \subset \mathbb{Q} }[/math]에 대하여 r과 s의 합은 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ r+s := \{ p+q | p \in r \wedge q \in s \} }[/math]

• 코시 수열(Cauchy sequence)을 이용하는 경우

모든 실수는 그 실수로 수렴하는 어떤 유리수열로 나타낼 수 있는데(?), 두 실수 [math]\displaystyle{ r=\overline{\{a_n\}}, s=\overline{\{b_n\}} }[/math]에 대하여 r과 s의 합은 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ r+s := \overline{\{a_n + b_n\}} }[/math]

상세한 내용은 실수 참조.

복소수의 덧셈

복소수의 덧셈은 실수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 실수체에서 크로네커 정리(Kronecker’s theorem)를 이용하여 복소수체를 얻을 때 다 해결되긴 하지만 아래와 같이 이해해도 된다.

모든 복소수는 실수 a, b에 대해 a+bi 꼴로 유일하게 나타낼 수 있는데, 두 복소수 z=x+yi와 w=u+vi에 대하여 z와 w의 합은 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ z+w := (x+u) + (y+v)i }[/math]

대수구조의 덧셈

아벨군의 연산을 덧셈으로 쓴다.

따라서 K벡터공간, 환, R가군, R대수 등에 덧셈이 존재하며, 이들 덧셈의 정의는 각 개별적 대수구조에서 정의된 대로의 정의를 갖는다.