코시 수열(Cauchy Sequence)이란, 수열이 진행될 수록 두 원소의 값이 점점 가까워지는 수열을 말한다. 실수 내에서 수학적으로 표현하면 다음과 같다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ m,\,n\gt N }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \left|x_m-x_n\right|\lt \varepsilon }[/math]이 성립하면 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]는 코시 수열이다.
임의의 거리공간에 대해 정의하면 다음과 같다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ m,\,n\gt N }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ d\left(x_m,\,x_n\right)\lt \varepsilon }[/math]이 성립하면 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]는 코시 수열이다. 단 [math]\displaystyle{ d }[/math]는 거리함수를 뜻한다.
코시 수열의 정의는 얼핏 보기에는 수렴하는 수열과 다를게 없어 보인다. 실제로, 수렴하는 실수열은 항상 코시 수열이고, [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] 내에서 코시 수열은 수렴하는 수열이다. 하지만 일반적인 거리공간에서 코시 수열의 수렴성은 보장되지 않는다. 즉, 수렴하는 수열과 코시 수열에는 아주 미묘한 차이점이 존재하는 것이다. 우선 코시 수열의 몇가지 성질을 살펴보자.
성질[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ X }[/math]를 임의의 거리공간, [math]\displaystyle{ d }[/math]를 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 거리 함수라고 가정하자.
- 수렴하는 수열은 코시 수열이다.
- [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]이 [math]\displaystyle{ x }[/math]로 수렴한다 가정하자. 그럼, 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ n\geq N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ d\left(x_n,x\right)\lt \varepsilon/2 }[/math]가 성립한다. 이제, 임의의 [math]\displaystyle{ m,\,n\geq N }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ d\left(x_n,x_m\right)\leq d\left(x_n,x\right)+d\left(x,x_m\right)\lt \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]는 코시 수열이다.
- [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]에서 코시 수열은 유계이다.
- [math]\displaystyle{ \varepsilon=1 }[/math]이라 잡자. 그럼, 적당한 [math]\displaystyle{ N\in\mathbb{N} }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ n\geq N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left\|x_n-x_N\right\|\lt 1 }[/math]이다. 그럼 삼각부등식에 의해, [math]\displaystyle{ \left\|x_n\right\|\leq\left\|x_N\right\|+\left\|x_n-x_N\right\|\lt \left\|x_N\right\|+1 }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ n\geq N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left\|x_n\right\| }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left\|x_N\right\|+1 }[/math]를 상계로 가진다. 이제 [math]\displaystyle{ M=\max\left\{\left\|x_1\right\|,\left\|x_2\right\|,\ldots,\left\|x_{N-1}\right\|,\left\|x_N\right\|+1\right\} }[/math]으로 두자. 그럼, 모든 지표 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left\|x_n\right\|\leq M }[/math]이 성립한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]은 유계이다.
- [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]에서 코시 수열은 수렴한다.
- [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]이 유계이므로, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 수렴하는 부분수열을 갖는다. 그 수열을 [math]\displaystyle{ \left\{x_{n_k}\right\} }[/math]이라 두고, 수렴값을 [math]\displaystyle{ x }[/math]이라 두자. 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 부분수열이 수렴하므로 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ N_1 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ n_k\geq N_1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left\|x_{n_k}-x\right\|\lt \varepsilon/2 }[/math]이다. 한편, 코시수열의 정의에 의해, 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ N_2 }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ m,\,n\geq N_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left\|x_m-x_n\right\|\lt \varepsilon/2 }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ N=\max\left\{N_1,N_2\right\} }[/math]라 두자. 그럼, [math]\displaystyle{ n\geq N }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ \left\|x_n-x\right\|\leq\left\|x_n-x_{n_k}\right\|+\left\|x_{n_k}-x\right\|\lt \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]은 수렴한다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ d\left(x_{n+1},x_n\right)\lt \varepsilon }[/math]이 성립하는 것은 코시 수열이기 위한 조건이 아니다. 즉, 필요조건이지만 충분조건은 아닌 것.
- [math]\displaystyle{ X=\mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ x_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{n} }[/math]으로 두자. 그럼 [math]\displaystyle{ x_n }[/math]은 분명히 발산한다. 하지만 주어진 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 적당히 큰 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 잡으면 [math]\displaystyle{ d\left(x_{n+1},x_n\right)=\frac{1}{n+1}\lt \varepsilon }[/math]이 성립한다 (아르키메데스 성질).
거리공간의 완비성[편집 | 원본 편집]
임의의 거리공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 주어졌다고 하자. 만약 [math]\displaystyle{ X }[/math]내의 임의의 코시수열이 수렴하면, 그 거리공간은 완비성(Completeness)를 갖췄다고 말한다. 예로, 위 성질에서 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]내의 코시 수열은 수렴함을 보였으므로, [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]은 완비성을 갖춘 거리공간이다.