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: <math>\int_1^\infty f(x)dx</math> | : <math>\int_1^\infty f(x)dx</math> | ||
가 수렴하는 것이다. | 가 수렴하는 것이다. | ||
적분판정법을 이용할 때, <math>f(x)</math>가 단조감소하지 않고 <math>\lim_{x\to\infty}f(x)=0</math>인 조건만으로는 충분하지 않다. 예를 들어 함수 <math>f:[1,\infty)\to\mathbb{R}</math>를 | |||
: <math>f(x)=\begin{cases} | |||
-\left|\frac{n+1}{n}(x-n)\right|+\frac{1}{n},&\text{if }n-\frac{1}{n+1}\le x \le n+\frac{1}{n+1}\text{ and }n\in \mathbb{N}\\ | |||
0,&\text{otherwise} | |||
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으로 정의하면 <math>f(n)=\frac{1}{n}</math>이므로 <math>\sum_{n=1}^{\infty}f(n)</math>은 발산하나, | |||
: <math>\int_1^{\infty} f(x)dx = \frac{3}{4}</math> | |||
이므로 서로의 수렴 여부가 일치하지 않는다. | |||
== 증명 == | == 증명 == | ||
[[ | <math>f\left(n\right)=a_n</math>이라 정의하자. 모든 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>a_{k+1} \leq f\left(x\right) \leq a_k, \forall x \in \left[k, k+1\right]</math>이다. 따라서 <math>a_{k+1} \leq \int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq a_k</math>이다. 만약 <math>n \geq 2</math>이면 <math>\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \leq \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq \sum_{k=1}^{n-1}a_k</math>이고, 곧 <math>S_n-a_1 \leq \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx \leq S_{n-1}</math>이다. 각 자연수 <math>k</math>에 대해 <math>a_k>0</math>이므로 수열 <math>\left\{S_n\right\}</math>는 단조 증가한다. 비슷하게, <math>f\left(x\right)>0 , x \in [1, \infty )</math>이므로 <math>\int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx</math>도 단조 증가 수열이다. 이제 급수 <math>\sum_{k=1}^{\infty}a_k</math>가 수렴한다 가정하자. 그럼 <math>\int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx</math>는 [[유계]]이고 따라서 [[단조 수렴 정리]]에 의해 수렴한다. 역으로 <math>\int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx</math>가 수렴하면 <math>\sum_{k=1}^{\infty}a_k</math>는 위로 [[유계]]이므로 마찬가지로 [[단조 수렴 정리]]에 의해 수렴한다. | ||
== 예시 == | == 예시 == | ||
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* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)</math> | * <math>\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)</math> | ||
== 근삿값 추정 == | |||
급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty} f(n)</math>이 적분판정법으로 수렴한다고 가정하자. 이때 | |||
:<math>\begin{align} | |||
s_n &=f(1)+f(2)+\cdots + f(n)\\ | |||
r_n &= f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+\cdots | |||
\end{align}</math> | |||
로 정의하자. 그러면 임의의 자연수 <math>N</math>에 대해 <math>\sum_{n=1}^{\infty}f(n)=s_N+r_N</math>으로 쓸 수 있다. 한편 임의의 <math>N</math>에 대해 | |||
: <math>f(N+1) \le \int_N^{N+1} f(x) dx \le f(N)</math> | |||
이다. 그러면 | |||
: <math>\begin{align} | |||
f(N+1)+f(N+2)+f(N+3)+\cdots&\le \int_N^{N+1} f(x)dx + \int_{N+1}^{N+2}f(x)dx + \int_{N+2}^{N+3}f(x)dx\\ | |||
&=\int_N^{\infty}f(x)dx | |||
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이고 동시에 | |||
: <math>\begin{align} | |||
f(N+1)+f(N+2)+f(N+3)+\cdots&\ge \int_{N+1}^{N+2} f(x)dx + \int_{N+2}^{N+3}f(x)dx + \int_{N+3}^{N+4}f(x)dx\\ | |||
&=\int_{N+1}^{\infty}f(x)dx | |||
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이다. 따라서 | |||
: <math>\int_{N+1}^{\infty} f(x)dx \le r_N \le \int_N^{\infty}f(x)dx</math> | |||
이다. | |||
수렴하는 급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}</math>의 근삿값을 <math>N=100</math>으로 두고 구해보자. 그러면 | |||
: <math>\int_N^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{N}</math> | |||
이므로 <math>\frac{1}{101} \le r_{100} \le\frac{1}{100}</math> | |||
이다. 한편 | |||
: <math>\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n^2}=1.634983...</math> | |||
이고 실제로 | |||
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}= 1.644934...</math> | |||
으로, 추정값과 실제 값이 오차를 벗어나지 않음을 알 수 있다. | |||
{{수렴판정법}} | {{수렴판정법}} | ||
[[분류:해석학]][[분류:수학 정리]] |
2021년 5월 11일 (화) 08:39 기준 최신판
진술[편집 | 원본 편집]
함수 [math]\displaystyle{ f:[1,\infty)\to \mathbb{R} }[/math]가 임의의 [math]\displaystyle{ x\in [1,\infty) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(x)\ge 0 }[/math]이고 단조감소한다고 가정하자. 이때
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_1^\infty f(x)dx }[/math]
가 수렴하는 것이다.
적분판정법을 이용할 때, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 단조감소하지 않고 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]인 조건만으로는 충분하지 않다. 예를 들어 함수 [math]\displaystyle{ f:[1,\infty)\to\mathbb{R} }[/math]를
- [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} -\left|\frac{n+1}{n}(x-n)\right|+\frac{1}{n},&\text{if }n-\frac{1}{n+1}\le x \le n+\frac{1}{n+1}\text{ and }n\in \mathbb{N}\\ 0,&\text{otherwise} \end{cases} }[/math]
으로 정의하면 [math]\displaystyle{ f(n)=\frac{1}{n} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f(n) }[/math]은 발산하나,
- [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty} f(x)dx = \frac{3}{4} }[/math]
이므로 서로의 수렴 여부가 일치하지 않는다.
증명[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ f\left(n\right)=a_n }[/math]이라 정의하자. 모든 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_{k+1} \leq f\left(x\right) \leq a_k, \forall x \in \left[k, k+1\right] }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ a_{k+1} \leq \int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq a_k }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ n \geq 2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1} \leq \sum_{k=1}^{n-1}\int_{k}^{k+1}f\left(x\right) \, dx \leq \sum_{k=1}^{n-1}a_k }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ S_n-a_1 \leq \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx \leq S_{n-1} }[/math]이다. 각 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_k\gt 0 }[/math]이므로 수열 [math]\displaystyle{ \left\{S_n\right\} }[/math]는 단조 증가한다. 비슷하게, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt 0 , x \in [1, \infty ) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx }[/math]도 단조 증가 수열이다. 이제 급수 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]가 수렴한다 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx }[/math]는 유계이고 따라서 단조 수렴 정리에 의해 수렴한다. 역으로 [math]\displaystyle{ \int_{1}^{n}f\left(x\right) \, dx }[/math]가 수렴하면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]는 위로 유계이므로 마찬가지로 단조 수렴 정리에 의해 수렴한다.
예시[편집 | 원본 편집]
다음 급수는 적분판정법을 이용해 수렴함을 보일 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\varepsilon}},\;(\varepsilon \gt 0) }[/math]
다음 급수는 적분판정법을 이용해 발산함을 보일 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) }[/math]
근삿값 추정[편집 | 원본 편집]
급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) }[/math]이 적분판정법으로 수렴한다고 가정하자. 이때
- [math]\displaystyle{ \begin{align} s_n &=f(1)+f(2)+\cdots + f(n)\\ r_n &= f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)+\cdots \end{align} }[/math]
로 정의하자. 그러면 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f(n)=s_N+r_N }[/math]으로 쓸 수 있다. 한편 임의의 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ f(N+1) \le \int_N^{N+1} f(x) dx \le f(N) }[/math]
이다. 그러면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} f(N+1)+f(N+2)+f(N+3)+\cdots&\le \int_N^{N+1} f(x)dx + \int_{N+1}^{N+2}f(x)dx + \int_{N+2}^{N+3}f(x)dx\\ &=\int_N^{\infty}f(x)dx \end{align} }[/math]
이고 동시에
- [math]\displaystyle{ \begin{align} f(N+1)+f(N+2)+f(N+3)+\cdots&\ge \int_{N+1}^{N+2} f(x)dx + \int_{N+2}^{N+3}f(x)dx + \int_{N+3}^{N+4}f(x)dx\\ &=\int_{N+1}^{\infty}f(x)dx \end{align} }[/math]
이다. 따라서
- [math]\displaystyle{ \int_{N+1}^{\infty} f(x)dx \le r_N \le \int_N^{\infty}f(x)dx }[/math]
이다.
수렴하는 급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} }[/math]의 근삿값을 [math]\displaystyle{ N=100 }[/math]으로 두고 구해보자. 그러면
- [math]\displaystyle{ \int_N^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{N} }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ \frac{1}{101} \le r_{100} \le\frac{1}{100} }[/math] 이다. 한편
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{100}\frac{1}{n^2}=1.634983... }[/math]
이고 실제로
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}= 1.644934... }[/math]
으로, 추정값과 실제 값이 오차를 벗어나지 않음을 알 수 있다.