단조 수렴 정리(Monotone Convergence Theorem)란, 어떤 수열이 위로 유계이고 단조 증가, 혹은 아래로 유계이고 단조 감소라면 반드시 수렴한다는 수학 정리이다. 먼저 간단히 유계와 단조성에 대해 집고 넘어가자.
- 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n\leq M_1 }[/math]을 만족하는 실수 [math]\displaystyle{ M_1 }[/math]이 존재하면 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 위로 유계, [math]\displaystyle{ M_2\leq a_n }[/math]을 만족하는 실수 [math]\displaystyle{ M_2 }[/math]가 존재하면 아래로 유계라고 한다. 만약 위로 유계이며 동시에 아래로 유계이면 그냥 유계라고 한다. 식으로 표현하면 적당한 [math]\displaystyle{ M }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|a_n\right|\leq M }[/math].
- 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n\leq a_{n+1} }[/math]이 성립하면 단조 증가, 부등호가 반대면 단조 감소라고 한다. 만약 등호가 빠져도 성립한다면 강단조라고 부른다.
이제 본격적인 정리로 들어가자.
내용[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]이 단조 증가하고 위로 유계라면 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 수렴하고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=\sup_na_n }[/math].
- 완비성 공리에 의해 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 최소 상계 [math]\displaystyle{ L }[/math]을 가진다. 그럼, 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ L-\varepsilon\lt a_N\leq L }[/math]을 만족하는 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재한다. 만약 존재하지 않는다면 [math]\displaystyle{ L-\varepsilon }[/math]은 상계가 되고 이는 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 최소 상계라는 가정에 모순이다. 또한, [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 단조 증가하므로, [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]인 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ L-\varepsilon\lt a_N\leq a_n\leq L }[/math]이 성립하고, 정리하면 [math]\displaystyle{ \left|a_n-L\right|\lt \varepsilon }[/math]이다. 수열의 극한의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=L=\sup_na_n }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]이 단조 감소하고 아래로 유계라면 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 수렴하고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=\inf_na_n }[/math].
- 완비성 공리에 의해 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 최대 하계 [math]\displaystyle{ G }[/math]를 가진다. 그럼, 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ G\leq a_N\lt G+\varepsilon }[/math]을 만족하는 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재한다. 만약 존재하지 않는다면 [math]\displaystyle{ G+\varepsilon }[/math]은 하계가 되고 이는 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 최대 하계라는 가정에 모순이다. 또한, [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 단조 감소하므로, [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]인 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ G\leq a_n\leq a_N\lt G+\varepsilon }[/math]이 성립하고, 정리하면 [math]\displaystyle{ \left|a_n-G\right|\lt \varepsilon }[/math]이다. 수열의 극한의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=G=\inf_na_n }[/math]이다.
활용[편집 | 원본 편집]
- 모든 [math]\displaystyle{ i=1,\,2,\,3,\cdots }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ d_i }[/math]를 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9중 한 숫자라고 가정하자. 그럼 수열
| [math]\displaystyle{ a_1=0.d_1 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ a_2=0.d_1d_2 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ a_3=0.d_1d_2d_3 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \vdots }[/math] |
| [math]\displaystyle{ a_n=0.d_1d_2d_3\cdots d_n }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \vdots }[/math] |
은 단조 증가하고 위로 유계이다.[1] 곧, 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 수렴하고, 그 수렴값은 [math]\displaystyle{ 0.d_1d_2d_3\cdots }[/math]이다. 이는 실수를 나타내는 방법 중 하나이다.
- [math]\displaystyle{ b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\,\forall n\in\mathbb{N} }[/math]이라 하자. 그럼 이항정리에 의해
[math]\displaystyle{ \begin{align*}b_n&=1+n\frac{1}{n}+\cdots+\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^k+\cdots+n\left(\frac{1}{n}\right)^{n-1}+\left(\frac{1}{n}\right)^n\\&=1+\sum_{k=1}^n\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^k\end{align*} }[/math]
이다. 비슷하게,
[math]\displaystyle{ b_{n+1}=1+\sum_{k=1}^{n+1}\frac{\left(n+1\right)n\cdots\left(n+1-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k }[/math]
이다. 한편,
[math]\displaystyle{ \begin{align*}b_{n+1}\text{의 }k\text{번째 항}&=\frac{\left(n+1\right)n\cdots\left(n+1-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k\\&=\frac{n+1}{n+1}\frac{n}{n+1}\cdots\frac{n+1-k+1}{n+1}\frac{1}{k!}\\&=1\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)\frac{1}{k!}\\&\geq1\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\frac{1}{k!}\\&=\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\frac{1}{k!}\\&=\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^k\\&=b_n\text{의 }k\text{번째 항}\end{align*} }[/math]
이다. 곧, [math]\displaystyle{ b_{n+1}\geq b_n }[/math]이고, 수열 [math]\displaystyle{ \left\{b_n\right\} }[/math]은 단조 증가함을 알 수 있다. 한편,
[math]\displaystyle{ \begin{align*}b_n&=1+n\frac{1}{n}+\cdots+\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^k+\cdots+n\left(\frac{1}{n}\right)^{n-1}+\left(\frac{1}{n}\right)^n\\&\leq1+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{k!}+\cdots+\frac{1}{n!}\\&\leq1+\frac{1}{2^0}+\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\\&=1+\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\\&\lt 1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3\end{align*} }[/math]
이다.[2] 따라서, [math]\displaystyle{ \left\{b_n\right\} }[/math]은 위로 유계이고, 단조 수렴 정리에 의해 3을 넘지 않는 값으로 수렴한다. 고등학교 수학을 배운 사람이라면 이 수렴값이 자연상수 [math]\displaystyle{ e }[/math]라는 사실을 알 것이다. - 폐구간 수렴 정리: 볼차노-바이어슈트라스 정리 항목 참조.
- [math]\displaystyle{ a_n=1-\left(\frac{1}{10}\right)^n }[/math]이라 하자. 만약 [math]\displaystyle{ n\lt m }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{10}\right)^n\gt \left(\frac{1}{10}\right)^m }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ a_n=1-\left(\frac{1}{10}\right)^n\lt 1-\left(\frac{1}{10}\right)^m=a_m }[/math]이다. 즉, 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]은 단조 증가한다. 또한, 1이 수열의 상계임은 분명하다. 따라서, 단조 수렴 정리에 의해 저 수열은 상한으로 수렴한다. [math]\displaystyle{ \sup_na_n=l\lt 1 }[/math]이라 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ 1-l\gt 0 }[/math]이므로, 아르키메데스 성질에 의해 [math]\displaystyle{ 1-l\gt \left(\frac{1}{10}\right)^k }[/math]를 만족하는 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 존재한다. 따라서, [math]\displaystyle{ 1-\left(\frac{1}{10}\right)^k\gt l }[/math]. 그런데, [math]\displaystyle{ l }[/math]은 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]의 상한이므로, 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ l\geq1-\left(\frac{1}{10}\right)^n }[/math]이다. 이는 모순이고, 수열의 상한 [math]\displaystyle{ l }[/math]은 1이상이다. 그런데 1이 상계이므로, [math]\displaystyle{ l=1 }[/math].
- 뭘 증명한거냐고 물을 수 있는데, 0.999...=1을 수학적으로 엄밀하게 증명한 것이다. 그러니까 어디가서 0.999...는 1이 아니라고 진지하게 말하고 다니지는 말자.