e (상수)

상수 [math]\displaystyle{ e }[/math]는 자연로그의 밑이다. 수학에서 원주율과 함께 자주 쓰이는 상수 중 하나이다. 한국에서는 흔히 자연상수라고 부르지만 정식 용어는 아니다. 우리말샘이나 대한수학회에서는 '자연로그의 밑'(base of the natural logarithm)이라고 하고있다. 영어로는 Euler's number나 Napier's constant라 부른다. Euler는 당연히 레온하르트 오일러를 말하고, 네이피어(Napier)는 로그를 발명한 존 네이피어의 이름이다. 사실 수학에서 e라고 하면 이거 외에는 다른 의미를 (거의) 가지지 않으므로 그냥 e하면 다 알아듣는다. 2와 e의 발음이 같은 한국에선 예외. 값은 약 2.71828이며, 고등학교에서 미적분을 배울 때 같이 배울 것이다.

정의

고교과정에서는 하나의 정의만 배우지만, 사실 정의는 하기 나름이라 굉장히 많은 정의가 존재한다. 아래는 그 일부.

1. [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}} }[/math]
   • 가장 많이 알고있을 정의. 학교에서는 이 정의를 사용하지만, 이 정의에는 굉장히 큰 문제가 하나 존재한다. 저 값이 수렴하는지 어떻게 알아? 학교에서는 수렴함이 알려져 있다고만 하고 그냥 아무렇지 않게 쓰지만, 저 값이 수렴한다는 사실은 엄연히 증명히 필요한 명제이다. 증명을 고등학교에서 가르치지 않는 이유는 단조 수렴 정리가 쓰이기 때문. 증명은 단조 수렴 정리 항목 참조.
   • 두 극한값이 같다는 사실은 [math]\displaystyle{ \frac{1}{n}=x }[/math]로 치환하면 유도가... 반만 된다. [math]\displaystyle{ n }[/math]이 무한대로 접근함에 따라 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 오른쪽에서 0으로 접근하기 때문. [math]\displaystyle{ x }[/math]가 음수일 경우에는 따로 증명을 해 줘야한다. 물론, 학교에서는 그냥 그러려니 하고 사용한다.
2. 방정식 [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_1^x\frac{1}{t}\mathrm{dt}=1 }[/math]의 해. 다르게 설명하면, 그래프 [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{x} }[/math] 아래의 면적을 1부터 [math]\displaystyle{ x }[/math]까지 구했을 때, 그 값이 1이 되는 [math]\displaystyle{ x }[/math]값을 [math]\displaystyle{ e }[/math]라 정의한 것이다.
   • 여기서 [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]의 부정적분을 자연로그로 정의하기도 한다. 물론 고등학교에선 밑이 [math]\displaystyle{ e }[/math]인 로그를 자연로그로 정의하지만.
3. 그래프 [math]\displaystyle{ y=a^x }[/math]의 [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]에서의 접선을 구할 때, 접선의 기울기가 1이 되는 [math]\displaystyle{ a }[/math] 값.
4. [math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} }[/math]. 테일러 급수를 사용한 정의이다. 물론, 저 급수가 수렴한다는 사실을 보여야 한다.

값

자연상수의 값을 소수점 아래 1000자리 까지 나열하면 다음과 같다.

2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274274663919320030599218174135966290435729003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341879307021540891499348841675092447614606680822648001684774118537423454424371075390777449920695517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086574637721112523897844250569536967707854499699679468644549059879316368892300987931277361782154249992295763514822082698951936680331825288693984964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902353043699418491463140934317381436405462531520961836908887070167683964243781405927145635490613031072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350354...

더 자세한 수치를 보고싶은 사람은 여기로. 100만 자리까지 기록되어있다.

성질

일부 성질은 정의와 겹친다.

1. [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}e^x=e^x }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\mathrm{dx}=1 }[/math]
3. 초월수
   • [math]\displaystyle{ e }[/math]의 발견은 원주율보다 한참 늦었지만, [math]\displaystyle{ e }[/math]가 초월수임은 원주율이 초월수라는 것보다 먼저 증명되었다.
4. 모든 양수 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\lt e\lt \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1} }[/math]
   • 첫 번째 부등식은 [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n }[/math]가 수렴함을 증명하는 과정에서 유도된다.
5. 모든 실수 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ e^x\geq x+1 }[/math]
   • 미분을 이용하자.
6. [math]\displaystyle{ \displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} }[/math]
7. [math]\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x }[/math]
   • 오일러의 공식이라 부르는 그것. 여기에 [math]\displaystyle{ x=\pi }[/math]를 넣으면 그 유명한 [math]\displaystyle{ e^{i\pi}+1=0 }[/math]이 나온다.
8. [math]\displaystyle{ \left(\cos x+i\sin x\right)^n=e^{inx}=\cos{nx}+i\sin{nx} }[/math]
   • 드 므아부르 정리

생성함수의 예

[math]\displaystyle{ e = \sum_{n=0}^{\infty} {{1}\over{n!}} = {{1}\over{0!}}+ {{1}\over{1!}}+ {{1}\over{2!}}+ {{1}\over{3!}}+ {{1}\over{4!}} \cdots }[/math]

팩토리얼(!)과의 관계를 확인할수있다.

---