볼차노-바이어슈트라스 정리

볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstrass Theorem)는 해석학을 배울 때 반드시 배우게 되는 매우 중요한 정리로, 실해석학에서 수열에 관련된 문제라면 매우 높은 확률로 사용하게 된다. 증명을 위해서는 먼저 폐구간 수렴 정리(Nested Interval Theorem)을 알아야 한다.

폐구간 수렴 정리

한 폐구간이 있다고 생각하자. 그리고 그 폐구간 안에 다른 폐구간이 있고, 그 폐구간 안에 다른 폐구간이 있고, 그 폐구간 안에 또 다른 폐구간이 있고... 인셉션 이런식으로 폐구간이 무한히 많이 존재한다고 가정하자. 만약 폐구간의 길이가 계속 줄어들어 구간 길이의 극한값이 0이라면 어떻게 될까? 직관적으로 생각하면 폐구간이 한 곳으로 수렴해서 한 점으로 모일 것이다. 이를 수학적으로 좀 더 엄밀하게 기술하면 다음과 같다.

폐구간 [math]\displaystyle{ I_n=\left[a_n,b_n\right] }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(b_n-a_n\right)=0 }[/math]이라 가정하자. 그럼 모든 폐구간 [math]\displaystyle{ I_n }[/math]에 포함되어있는 실수가 존재하며, 유일하다.

증명을 이해하려면 단조 수렴 정리와 유계에 대한 지식이 필요하며, 이를 알면 상당히 간단하다. 증명은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]는 단조 증가하는 수열이고, 위로 유계이다 ([math]\displaystyle{ b_1 }[/math]이 한 상계이다.). 따라서 단조 수렴 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=A }[/math]가 실수로서 존재하고, 각 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ A=\sup_na_n\leq b_k }[/math]이다. 따라서 모든 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_k\leq A\leq b_k }[/math]이다. 즉 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 모든 폐구간 [math]\displaystyle{ I_k }[/math]에 속해있다. 이제 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ B\in I_n }[/math]이라 가정하자. 그럼 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n\leq B\leq b_n }[/math]이고, [math]\displaystyle{ 0\leq B-a_n\leq b_n-a_n }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(b_n-a_n\right)=0 }[/math]이므로, 샌드위치 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(B-a_n\right)=0 }[/math]이다. 이는 곧, [math]\displaystyle{ B=\lim_{n\to\infty}a_n=A }[/math]를 의미하고, [math]\displaystyle{ A }[/math]가 모든 폐구간에 포함된 유일한 실수라는 것을 보인다.

중요한 점은 모든 구간이 폐구간이어야 한다는 사실이다. 반열린 구간이나 개구간에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.

볼차노-바이어슈트라스 정리

모든 수열이 수렴하는 것은 아니다. 하지만, 유계인 무한 수열은 반드시 수렴하는 부분수열을 가짐이 알려져 있다. 이를 볼차노-바이어슈트라스 정리라 한다. 증명은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]이 유계이므로, 양수 [math]\displaystyle{ M }[/math]이 존재해 [math]\displaystyle{ \left|a_n\right|\leq M,\,\forall n\in\mathbb{N} }[/math]이다. 따라서 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n\in\left[-M,M\right] }[/math]이다. 두 폐구간 [math]\displaystyle{ \left[-M,0\right],\,\left[0,M\right] }[/math]에 대해, 적어도 한 구간은 무수히 많은 [math]\displaystyle{ a_n }[/math]을 포함해야 한다.. 그 구간을 [math]\displaystyle{ I_0 }[/math]이라 하자. 마찬가지로 [math]\displaystyle{ I_0 }[/math]을 동일한 길이의 두 폐구간으로 나눈다. 그럼 적어도 한 구간은 무한한 [math]\displaystyle{ a_n }[/math]을 포함한다. 이를 [math]\displaystyle{ I_1 }[/math]이라 하자. 이를 계속 반복하여 [math]\displaystyle{ I_0,I_1,I_2,\cdots }[/math]를 얻는다. 그럼 [math]\displaystyle{ I_0\supset I_1\supset I_2\supset\cdots }[/math]이고, [math]\displaystyle{ I_n }[/math]의 길이는 [math]\displaystyle{ \frac{M}{2^n} }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{M}{2^n}=0 }[/math]이므로, 폐구간 수렴정리에 의해 모든 구간에 속하는 유일한 한 점 [math]\displaystyle{ A }[/math]가 존재한다. 이제 [math]\displaystyle{ a_{n_1}\in I_1 }[/math]을 고르고, [math]\displaystyle{ a_{n_2}\in I_2,\,n_2\gt n_1 }[/math]을 고르고, [math]\displaystyle{ a_{n_3}\in I_3,\,n_3\gt n_2 }[/math]을 고르고, 이를 계속 반복한다. 그럼 [math]\displaystyle{ \left\{a_{n_k}\right\} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]의 부분수열이고, [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math]와 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 [math]\displaystyle{ I_k }[/math]에 포함되어 있다. 따라서 [math]\displaystyle{ \left|a_{n_k}-A\right|\lt \frac{M}{2^k} }[/math]이고, 이는 곧 [math]\displaystyle{ \lim_{k\to\infty}a_{n_k}=A }[/math]임을 의미한다.

예시

• [math]\displaystyle{ (\cos n) }[/math]은 수렴하지 않지만 유계인 무한수열이므로, 수렴하는 부분수열을 가진다. 실제로 [math]\displaystyle{ (\cos n!) }[/math]은 1로 수렴하는 [math]\displaystyle{ (\cos n) }[/math]의 부분수열이다. 여기 인용은 이 문제가 어떤 특수한 가정을 할 시 1로 수렴한다고만 나와있다 실제로 성립하는지에 관한 문서가 있으면 추가 요망

일반화

유한한 차원의 유클리드 공간인 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]에 대해 확장이 가능하다. 명제도 거의 다른 것이 없다.

[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] 내의 유계인 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

증명은 수학적 귀납법을 이용한다.

증명 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math]인 경우는 이미 증명이 되었다. 이제, 명제가 적당한 [math]\displaystyle{ n\geq1 }[/math]에 대해 성립한다고 가정하고, 임의의 수열[math]\displaystyle{ \left\{u_k\right\}\subseteq\mathbb{R}^{n+1} }[/math]이 유계라고 하자. 먼저, 각 정수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x_k }[/math]를 [math]\displaystyle{ u_k }[/math]의 마지막 원소로 정의하자. 또한, [math]\displaystyle{ v_k\in\mathbb{R}^n }[/math]을 [math]\displaystyle{ u_k }[/math]의 마지막 원소를 제외한 나머지 부분에 해당하는 벡터로 정의하자. 그럼, [math]\displaystyle{ u_k=\left(v_k,x_k\right) }[/math]로 적을 수 있다. 이제, [math]\displaystyle{ \left\{v_k\right\} }[/math]는 유계이며, [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]의 수열이므로, 귀납 가정에 의해 수렴하는 부분수열을 갖는다. 그 수렴값을 [math]\displaystyle{ v }[/math]로 정의하자. 비슷하게, [math]\displaystyle{ \left\{x_k\right\} }[/math]도 유계이며, [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 수열이므로 수렴하는 부분수열을 갖는다. 그 수렴값을 [math]\displaystyle{ x }[/math]로 정의하자. 그럼, component-wise convergence에 의해 [math]\displaystyle{ u_k }[/math]의 어떤 부분수열은 [math]\displaystyle{ \left(v,k\right):=u\in\mathbb{R}^{n+1} }[/math]로 수렴한다. 귀납법에 의해 명제가 증명되었다.

활용

가장 대표적인 활용으로는 코시 수열의 수렴성이 있다.

[math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]이 코시 수열이라 가정하자. 코시 수열은 유계이므로, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 수렴하는 부분수열을 가진다. 이를 [math]\displaystyle{ \left\{a_{n_k}\right\} }[/math]라 하고, 수렴값을 [math]\displaystyle{ A }[/math]라 하자. 이제 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서, 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ m,n\gt N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|a_m-a_n\right|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ n_k }[/math]를 [math]\displaystyle{ \left|a_{n_k}-A\right|\lt \frac{\varepsilon}{2},\,n_k\gt N }[/math]이 되게 잡을 수 있다. 그럼 [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ \left|a_n-A\right|=\left|a_n-a_{n_k}+a_{n_k}-A\right|\leq\left|a_n-a_{n_k}\right|+\left|a_{n_k}-A\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=A }[/math]이다.