불필요한 조건[원본 편집]
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적분판정법을 진술할 때 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x)=0 }[/math]라는 진술은 불필요합니다. 왜냐 하면 [math]\displaystyle{ f:[1,\infty)\to \mathbb{R} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(x)\ge 0 }[/math]이며 연속이고 단조감소한다고 가정할 때,
- [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty}f(x) dx \lt \infty }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]를 얻을 수 있기 때문입니다. 특이적분의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \int_1^{\infty}f(x)dx=\lim_{x\to \infty}\int_1^x f(t)dt }[/math]이며 특이적분이 수렴하므로 극한값을 [math]\displaystyle{ L }[/math]이라 하면 함수의 극한의 정의에 의해 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ M \gt 0 }[/math]이 존재해 [math]\displaystyle{ x \gt M }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|\int_1^x f(t)dt-L\right| \lt \varepsilon }[/math]입니다. 이 식은 [math]\displaystyle{ \int_1^x f(t)dt \lt L+\varepsilon }[/math]으로 바꿀 수 있습니다. 이 식은 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 성립하므로 [math]\displaystyle{ \varepsilon = L }[/math]로 둡시다. 그러면 [math]\displaystyle{ \int_1^x f(t)dt \lt 2L }[/math]입니다. 한편 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단조감소하므로 [math]\displaystyle{ t \le x }[/math]이면 항상 [math]\displaystyle{ f(t)\ge f(x) }[/math]입니다. 따라서 [math]\displaystyle{ (x-1)f(x) = \int_1^x f(x)dt \le \int_1^x f(t)dt \lt 2L }[/math]이고, 정리하면 [math]\displaystyle{ 0\le f(x) \lt \frac{2L}{x-1} }[/math]입니다. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{2L}{x-1}=0 }[/math]이므로, 샌드위치 정리에 의해 원하는 결론을 얻습니다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f(n)\lt \infty }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]를 얻을 수 있기 때문입니다. 일반항 판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(n)=0 }[/math]임을 알고 있습니다. 이때 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단조감소하므로 항상 [math]\displaystyle{ 0\le f(x) \le f(\lfloor x \rfloor) }[/math]입니다. 이때 수열의 극한의 정의에 의해 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(n)\lt \varepsilon }[/math]인데, 마찬가지로 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]을 설정하면 임의의 [math]\displaystyle{ x \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lfloor x\rfloor }[/math]는 자연수이므로 [math]\displaystyle{ f(\lfloor x \rfloor)\lt \varepsilon }[/math]임을 압니다. 따라서 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}f(\lfloor x \rfloor)=0 }[/math]이고 샌드위치 정리에 의해 원하는 결론을 얻습니다.
이상의 이유로, 진술에 [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 극한값이 0이라고 가정할 필요가 없으므로 빼자는 의견을 냅니다. -- Hwangjy9 (토론) 2016년 1월 27일 (수) 23:18:57 (KST)