함수

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정의

쉬운 정의

두 변수 x, y가 있을 때, x가 정해지면 그에 따라 y가 하나로 정해질 때, y를 x의 함수(function of x)라고 하고,

y=f(x)

와 같이 나타낸다.

예를 들어 한 권에 1,000원짜리 공책을 x권 사는 경우를 생각해 보자. 그럼 지불해야 할 금액 y원은 아래와 같다.

y = f(x)

구입한 권수 x (권)	1	2	3	4	5
지불할 금액 y (원)	1,000	2,000	3,000	4,000	5,000

이처럼 공책을 한 권 사면 천 원, 두 권 사면 이천 원이라는 식으로 가격이 하나로 정해지지, 한 권 샀는데 가격이 천 원이지만 이천 원이기도 하다는 식으로 되지는 않는다. 따라서 위 지불할 금액 y는 과연 구입한 권수 x의 함수가 된다.

이때 공책 세 권을 살 때(즉 x=3)의 가격은 함수의 이름 f를 써서 f(3)과 같이 나타내며, 위 표에 따르면 f(3)=3,000임을 알 수 있다. 이러한 x에 따라 결정된 y의 값, 즉 f(1), f(3) 등을 함숫값이라고 한다.

위 함수는 y = 1,000 x라는 식으로 간단하게 나타낼 수 있다. 함숫값을 구하기 위해서는 이 함수식에 원하는 x 값을 대입하면 된다.

한편, 하나의 x 값에 대한 y 값은 하나여야 하지만, 하나의 y 값에 대한 x 값은 여럿이어도 된다. 예를 들어 아래와 같아도 여전히 함수이다.

y = g(x)

구입한 권수 x (권)	1	2	3	4	5
지불할 금액 y (원)	1,000	2,000	2,000	3,000	4,000

(학기초에 공책 3권에 2,000원으로 묶음판매한 경우)

이때는 앞서와 같이 y = 1,000 x라는 식으로 간단하게 나타내기는 곤란하다. 그렇다고 해서 함수가 아닌 것은 아니다! 즉 규칙을 찾기 곤란하다고 함수가 아닌 것은 아니다. 언제나 정의대로 x가 정해지면 그에 따라 y가 하나로 정해질 때 y를 x의 함수라고 한다.

그럼 이런 경우에는 함숫값은 어떻게 구하는가? 표를 보고 구하면 된다.

진짜 정의는 아래에 있다.

정의

이항관계 [math]\displaystyle{ f\subseteq X\times Y }[/math]가 주어졌다고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 다음 조건

• [math]\displaystyle{ \left(x,y\right)\in f }[/math]인 [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math]가 존재한다.
• [math]\displaystyle{ \left(x,y_1\right)\in f }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left(x,y_2\right)\in f }[/math]이면 [math]\displaystyle{ y_1=y_2 }[/math]이다.

을 만족하면, f를 X에서 Y로의 함수(function)라고 하고, [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]로 쓴다. 여기서 [math]\displaystyle{ X }[/math]를 정의역(Domain), [math]\displaystyle{ Y }[/math]를 공역(Codomain)이라 부른다. 즉, 함수가 되기위해서는 정의역의 각 원소를 단 하나의 공역의 원소와 대응이 되어야 한다. 해당 특성을 'well-defined'라고 부른다.

대안으로 다음과 같이 정의할 수도 있다. 이항관계 f가 조건

[math]\displaystyle{ \left(x,y_1\right)\in f }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \left(x,y_2\right)\in f }[/math]이면 [math]\displaystyle{ y_1=y_2 }[/math]이다.

를 만족하면 f를 함수라 한다. 만약 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} f=X ,\operatorname{ran} f\subseteq Y }[/math]라면 [math]\displaystyle{ f: X \to Y }[/math]로 표기한다.

책에 따라서는 함수라는 말 대신 사상(map)이라는 말을 쓰기도 한다. 일반적으로 함수와 사상은 동의어지만, 사상은 범주론에서 좀 더 일반화 된 의미를 가진다. 해석학에서는 그냥 동의어라 생각하자. 이제 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]에 대해, 정의역의 원소를 [math]\displaystyle{ x }[/math], 공역의 원소를 [math]\displaystyle{ y }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ f:x\mapsto y }[/math]는 우리가 흔히 알고 있는 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=y }[/math]와 동치이다.

정의역의 부분집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대해, 집합 [math]\displaystyle{ \left\{f\left(a\right)|a\in A\right\} }[/math]를 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 상(image)라 하며, [math]\displaystyle{ f\left(A\right) }[/math]라 쓴다. 반대로 공역의 부분집합 [math]\displaystyle{ B }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left\{x\in X|f\left(x\right)\in B\right\} }[/math]를 [math]\displaystyle{ B }[/math]의 원상(preimage) 혹은 역상(inverse image)이라 부르며, [math]\displaystyle{ f^{-1}\left(B\right) }[/math]로 쓴다. 특히, 정의역의 상을 치역(range)이라 부른다.

마지막으로 함수의 그래프는 [math]\displaystyle{ X\times Y }[/math]의 부분집합이다.

전사, 단사

이와 관련한 내용은 전사함수, 단사함수, 일대일대응에서 볼 수 있습니다.

함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]에 대해, 공역과 치역이 같을 경우, 전사 함수(onto, surjection)라 부른다. 그리고 치역의 임의의 서로 다른 두 원소가 서로 다른 원상을 가지면 그 함수를 단사 함수(one-to-one, injection)라 부른다. 간단하게 수식으로 표현하면, [math]\displaystyle{ \text{ran }f=Y }[/math]일 때 전사, [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_1=x_2 }[/math]일 때 단사가 된다. 만약 전사이며 단사인 함수라면, 전단사 함수(one-to-one correspond, 1-1 onto, bijection)가 된다. 뭔가 어려운 어휘를 쓴 것 같지만, 단사 함수는 일대일 함수를 말한다. 그리고 전단사 함수는 일대일 대응 함수를 부르는 말이다.

전사, 단사 함수의 존재를 통해 두 집합의 크기(Cardinality)를 비교할 수 있다. 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 전사 함수(onto)라면, 집합 X는 집합 Y보다 크거나 같다.(|X|≥|Y|) 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 단사 함수(one-to-one)라면, 집합 X는 집합 Y보다 작거나 같다.(|X|≤|Y|) 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 전단사 함수라면, 집합 X와 집합 Y의 크기는 서로 같다. 자세한 것은 농도 (수학) 참조.

역함수

이와 관련한 내용은 역함수에서 볼 수 있습니다.

간단하게 설명하면, 정의역과 치역을 뒤집은 것. 어떤 함수의 역함수가 존재하기 위해서는, 원 함수가 반드시 (전)단사 함수여야 한다. 고등학교에서는 일대일 대응을 조건으로 가르치지만 일대일만 되도 역함수는 존재한다. [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]의 역함수는 [math]\displaystyle{ f^{-1}:f\left(X\right)\to X }[/math]가 되며, 여기서 ^-1는 지수와는 조금 다른 의미이다. 만약 원 함수가 단사가 아니어서 역함수가 존재하지 않아도, 정의역을 잘 정의해 주어 역함수가 존재하게 만들 수 있다. 역삼각함수가 대표적인 예.

항등함수

이와 관련한 내용은 항등함수에서 볼 수 있습니다.

정의역과 공역이 같은 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \forall x\in X,\,f\left(x\right)=x }[/math]이면은 그 함수를 항등함수라 부른다. 간단히 설명하면 집어넣은 것 그대로 튀어나오는 함수. 표기는 [math]\displaystyle{ i_X,I_X,id_X }[/math]등 다양한 표기법이 있다. 참고로 항등함수는 필연적으로 전단사 함수가 된다.

합성

이와 관련한 내용은 합성함수에서 볼 수 있습니다.

한 함수의 치역이 다른 함수의 정의역의 부분집합이라고 하자. 이 두 함수를 이어서 한번에 나타내는 것을 함수의 합성(composition)이라 부른다. 고등학교에서는 치역과 정의역이 같아야 한다고 설명하지만 굳이 그럴 필요는 없다. 수식으로 표현하면, [math]\displaystyle{ f:X\to Y,\,g:U\to V,\,V\subseteq X }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ f\circ g:U\to Y }[/math]가 된다. 합성된 두 함수를 표시할 때는 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]를 쓰며, 다른 표현으로는 [math]\displaystyle{ f\left(g\left(x\right)\right) }[/math]이 있다. 중요한 것은, 합성된 함수를 풀어줄 때는 오른쪽부터 계산해 주어야 한다.

조건만 맞다면, 자기 자신을 합성할 수도 있다. [math]\displaystyle{ f\circ f }[/math], 혹은 [math]\displaystyle{ f^2 }[/math]라 표기하며, ²는 역함수와 마찬가지로 지수와는 다른 의미를 가진다. 즉, [math]\displaystyle{ f^2\left(x\right)\neq f\left(x\right)\times f\left(x\right) }[/math]라는 의미. 만약 함수의 거듭제곱을 표현하고 싶다면 [math]\displaystyle{ \left(f\left(x\right)\right)^2 }[/math] 이렇게 표현하자. 단, 삼각함수만은 예외다.

함수의 합성은 결합법칙이 성립한다. 하지만 교환법칙은 성립하지 않는다. 또한, 어떤 함수와 그 역함수를 합성하면 항등 함수가 나온다.

같이 보기

• 연속함수
• 삼각함수
• 초월함수