교대급수판정법

진술

실수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0 \le a_{n+1} \le a_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n = 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_n }[/math]은 수렴한다.

증명

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_n }[/math]의 부분합을 [math]\displaystyle{ S_n }[/math]이라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ S_n =\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_i }[/math]이다. 한편 [math]\displaystyle{ (S_{2n}) }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \begin{align} S_{2k+2}&=(a_1 - a_2) + (a_3 - a_4)+\cdots + (a_{2k-1}+a_{2k})+(a_{2k+1}-a_{2k+2})\\ &=S_{2k}+(a_{2k+1}-a_{2k+2}) \end{align} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ (a_{2k+1}-a_{2k+2})\ge 0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ (S_{2n}) }[/math]는 단조증가한다. 그리고

[math]\displaystyle{ \begin{align} S_{2k}&=a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)-\cdots-(a_{2k-2}-a_{2k-1})-a_{2k}\\ &\le a_1 \end{align} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ a_1 }[/math]은 [math]\displaystyle{ (S_{2n}) }[/math]의 상계이다. 따라서 단조수렴정리에 의해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} S_{2n}=S }[/math]인 [math]\displaystyle{ S }[/math]가 존재한다. 한편 [math]\displaystyle{ S_{2n-1}=S_{2n}-a_{2n} }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \begin{align} \lim_{n\to\infty} S_{2n-1}&=\lim_{n\to\infty}(S_{2n}-a_{2n})\\ &=\lim_{n\to\infty}S_{2n}-\lim_{n\to\infty}a_{2n}\\ &=S-0\\ &=S \end{align} }[/math]

이다. 극한의 정의에 의해 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N_1,N_2 }[/math]가 존재해 임의의 [math]\displaystyle{ n_1 \gt N_1, n_2 \gt N_2 }[/math]에 대해 각각 [math]\displaystyle{ |S_{2n_1-1}-S|\lt \varepsilon }[/math]이고 [math]\displaystyle{ |S_{2n_2}-S|\lt \varepsilon }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ N=\max\{2N_1, 2N_2+1\} }[/math]로 두면 임의의 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n \gt 2N_1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ n \gt 2N_2+1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ |S_n - S| \lt \varepsilon }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} S_n = S }[/math]로 원하는 결론을 얻는다.

예시

다음 급수는 교대급수판정법으로 수렴함을 증명할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} }[/math]