일반항 판정법

일반항 판정법(limit term test, term test)는 일반항을 이용해 수열의 수렴 여부를 판정하는 정리이다.

진술

복소수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴하면 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_n = 0 }[/math]이다.

증명

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴한다고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}a_n }[/math]의 부분합 [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{i=1}^n a_i }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}S_n = S }[/math]인 [math]\displaystyle{ S }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}S_n=S }[/math]이면 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |S_n - S| \lt \varepsilon }[/math]이다. 여기서 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ N+1 }[/math]을 설정하면 임의의 [math]\displaystyle{ n \gt N+1 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n-1 \gt N }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ |S_{n-1} - S|\lt \varepsilon }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}S_{n-1}=S }[/math]이다. [math]\displaystyle{ a_n=S_n-S_{n-1} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ (S_n),(S_{n-1}) }[/math]이 모두 수렴하므로 수열의 극한의 기본 성질에 의해

[math]\displaystyle{ \begin{align} \lim_{n\to\infty}a_n &= \lim_{n\to\infty} (S_n - S_{n-1})\\ &=\lim_{n\to \infty} S_n - \lim_{n\to \infty}S_{n-1}\\ &= S- S\\ &=0 \end{align} }[/math]

으로 원하는 결과를 얻는다.

다른 증명

[math]\displaystyle{ \mathbb R^k }[/math]은 complete하므로 부분합들의 수열이 수렴함과 그 수열이 Cauchy sequence임은 동치이다. 즉 임의의 양수 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]에 대하여 어떤 정수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해서 두 정수 [math]\displaystyle{ m }[/math]과 [math]\displaystyle{ t = n-1 \lt m }[/math]이 [math]\displaystyle{ N }[/math] 이상일 때 [math]\displaystyle{ \left|\sum_{k=1}^m a_k - \sum_{k=1}^t a_k \right| = \left|\sum_{k=n}^m a_k \right|\le \varepsilon }[/math]이어야만 한다. 여기서 나중의 조건을 약화시키면: [math]\displaystyle{ m=n }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ |a_n| \le \varepsilon }[/math]이므로 충분히 큰 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \left| a_n \right| }[/math]이 임의의 양수보다 작으므로 [math]\displaystyle{ a_n \to 0 }[/math]이다.

예시

일반항 판정법을 이용해 다음 급수가 발산함을 보일 수 있다.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\cos n }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^2+1} }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-2)^n }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^{20150416}} }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}n^{\frac{1}{n}} }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n }{(\ln n)^{72}} }[/math]

일반항 판정법의 역은 성립하지 않는다. 다시 말해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_n = 0 }[/math]이라고 해서 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}a_n }[/math]가 수렴하는 것은 아니다. 예를 들어,

• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 }[/math]이지만 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }[/math]은 발산한다.
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n}=0 }[/math]이지만 [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n} }[/math]은 발산한다.
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n \ln(\ln n)}=0 }[/math]이지만 [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n \ln(\ln n)} }[/math]은 발산한다.