아벨 판정법

진술

수열 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴하고, [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math]이 단조수열이며 유계라면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n }[/math]은 수렴한다.

증명

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴하므로, [math]\displaystyle{ \left|\sum_{i=1}^n a_i\right| }[/math]는 유계이다. [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math]이 단조감소한다고 가정하자. [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} b_n = L }[/math]이면 [math]\displaystyle{ (b_n - L) }[/math]은 단조감소하고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (b_n -L)=0 }[/math]이다. 그러면 디리클레 판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n(b_n - L) }[/math]는 수렴한다. 한편 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} La_n }[/math]이 수렴하므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n=\sum_{n=1}^{\infty} a_n(b_n - L) + \sum_{n=1}^{\infty} La_n }[/math]은 수렴한다. [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math]이 단조증가한다고 가정할 때도 비슷한 방법으로 증명하면 된다.

예시

추가바람