디리클레 판정법

진술

수열 [math]\displaystyle{ (a_n),(b_n) }[/math]에 대해

• [math]\displaystyle{ (b_n) }[/math]이 단조감소, 즉 임의의 [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ b_n \ge b_{n+1} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n=0 }[/math]
• 양수 [math]\displaystyle{ M }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sum_{i=1}^n a_i\right| \le M }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n }[/math]은 수렴한다.

증명

[math]\displaystyle{ S_n = \sum_{i=1}^n a_n, S_0=0 }[/math]이라 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{i=1}^n a_ib_i &= \sum_{i=1}^n (S_i - S_{i-1})b_i\\ &=(S_1 - S_0)b_1 + (S_2 -S_1)b_2+\cdots + (S_n - S_{n-1})b_n\\ &=S_1(b_1-b_2)+S_2(b_2-b_3)+\cdots + S_{n-2}(b_{n-2}-b_{n-1})+S_{n-1}(b_{n-1}-b_n)+S_n b_n\\ &=\sum_{i=1}^{n-1}S_i(b_i - b_{i+1}) + S_n b_n \end{align} }[/math]

이다. 한편 [math]\displaystyle{ -M b_n \le S_n b_n \le Mb_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} b_n =0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} Mb_n =0 }[/math]이다. 따라서 샌드위치 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} S_n b_n=0 }[/math]이다. 또한 [math]\displaystyle{ 0\le|S_i(b_i-b_{i+1})|\le M(b_i-b_{i+1}) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1}M(b_i-b_{i+1})=M(b_1 - b_n) }[/math]이므로 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}S_n(b_n-b_{n+1}) }[/math]은 절대수렴한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n }[/math]도 수렴한다.

예시

다음 급수는 디리클레 판정법으로 수렴함을 증명할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(n+1)} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n} }[/math]
• 추가바람