Proof, 證明
의미[편집 | 원본 편집]
어떤 것이 진실이라는 것을 보이는 것. 이 단어가 자주 쓰이는 분야는 수학, 과학, 법률 등이 있으며, 어느 분야든지 의미는 변하지 않는다.
수학에서[편집 | 원본 편집]
수학에서 증명이란, 몇몇 공리를 가정한 뒤, 그 공리를 이용하여 다른 명제가 참이라는 것을 보이는 것을 말한다. 참고로 어떤 명제가 거짓이라는 것을 보이는 것도 역시 증명이다. 경우에 따라서는, 증명이 불가능하단 것을 보일 수도 있다. 또한, 공리나 정의는 당연한 것으로 받아들이고 시작하는 것이기 때문에 저 둘을 증명한다는 것은 말도 안 되는 소리다. 본디 증명은 논리를 통해 이루어져야 하지만, 대부분의 증명은 논리적 기호만이 아닌, 인간의 언어(자연어)도 포함한다. 하지만 자연어는 때때로 애매한 의미를 지니기 때문에, 명제에서 이 애매함을 없애는 것은 매우 중요하다. 간단한 예시를 통해 확인해 보자.
“ [math]\displaystyle{ x^2=-1 }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 없다. “
[math]\displaystyle{ x }[/math]에 대한 조건이 주어지지 않았기 때문에 위 명제는 굉장히 애매한 명제가 된다. 만약 [math]\displaystyle{ x }[/math]의 조건에 관계없이 명제의 참, 거짓이 하나로 결정되어 있다면 다행이지만, 이 명제는 그렇지 않다. [math]\displaystyle{ x }[/math]가 실수이면 참이지만, [math]\displaystyle{ x }[/math]가 복소수라면 거짓이 되기 때문. 만약 여기에 다른 조건을 덧붙여 명제를 명확하게 만든다면, 덧붙인 조건에 따라 증명의 방법이 달라지게 될 것이다.
학교에서는 중학교 때 증명이라는 것을 처음 보게 된다. 집합과 명제에서 증명을 다루기도 하지만, 본격적인 증명은 평면기하학 파트에서 하게 된다. 만약 이 부분을 이해하지 못하고 해맨다면 그 학생은 수포자의 길을 걷게 될 가능성이 농후하다. 이후의 수학은 증명이란 것을 떼어놓을 수 없기 때문에...
만약 어떤 명제가 있는데 참/거짓 여부를 모른다면, 그 명제는 추측(Conjecture)이 된다. 대표적인 추측으로는 골드바흐의 추측이 있다.
증명 방법[편집 | 원본 편집]
- 직접 증명법: 말 그대로 직접 증명하는 것. 구성은 대체로 다음과 같다.
- H는 참이다 (가정). H→P, P→Q, …, X→C (결론). Modus ponens와 Chaining에 의해 C가 얻어진다.
- 대우 명제: H→C를 증명하기 위해 ~C→~H를 증명하는 것.
- 귀류법: H and ~C를 가정한 뒤, 모순을 이끌어 낸다. 따라서, H and C가 되어야 하고, 곧 C를 얻을 수 있다. 대표적인 예시로는 [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]가 유리수가 아님을 보이는 것이 있다.
- 수학적 귀납법: 항목 참조.
- 예시를 통한 증명: 어떤 명제가 거짓임을 보일 때 주로 쓰인다.
- "모든 자연수에 대해 C이다."라는 명제가 있다고 하자. 그런데 어떤 자연수 n은 C가 아니다. 반례가 있으므로 저 명제는 거짓임이 증명되었다.
- 반대로 위 명제가 참이라고 하자. 이 경우엔 예시를 통해 저 명제가 참임을 보이는 것은 불가능하다. 모든 자연수에 대해 성립함을 보여야 하는데, 자연수의 개수는 무한하기 때문.