네쌍둥이 소수

네쌍둥이 소수(Prime quadruplet)는 [math]\displaystyle{ (p, p+2, p+6, p+8) }[/math] 형태의 소수 순서쌍을 말한다. 달리 말해 연속한 네 소수가 존재해서 최대 항과 최소 항의 차이가 8인 순서쌍을 뜻한다.

연속한 네 소수의 최대-최소 차이가 8보다 작은 경우는 (2, 3, 5, 7) 하나뿐이다. 차이가 8인 예로 (3, 5, 7, 11)도 있으나, 이쪽은 셋째 성분이 위 조건과 일치하지 않으며 네쌍둥이 소수로 취급하지 않는다. 또, 차이가 10인 경우로 [math]\displaystyle{ (p, p+4, p+6, p+10) }[/math]의 순서쌍도 있지만 이 역시 네쌍둥이로 보지 않는다.

목록

아래 목록에서 알 수 있듯이 첫 항을 제외하고 일의 자리수가 (1, 3, 7, 9) 형태를 띠며, 10으로 나눈 몫은 전부 일치함을 알 수 있다.

• (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9341, 9343, 9347, 9349), (13001, 13003, 13007, 13009), … (OEIS의 수열 A120120)

7 이상의 소수에 대해, [math]\displaystyle{ (p, p+2, p+6, p+8) }[/math]이 네쌍둥이 소수가 되려면 네 성분 모두 2, 3, 5의 배수가 아니어야 한다. 그러려면 순서쌍의 중앙값인 [math]\displaystyle{ p+4 }[/math]가 15의 배수이면서 홀수가 되어야 하며, 달리 표현하면 순서쌍은 [math]\displaystyle{ (30n+11, 30n+13, 30n+17, 30n+19) }[/math]와 같은 형태이다. 이때문에 십진법으로 쓸 때 일의 자리수만 1, 3, 7, 9로 변하는 것이다. 첫 항인 (5, 7, 11, 13)의 경우 5는 5의 배수이지만 그 자체로 소수이므로 예외로 포함되어 있다.

더 나아가서, 11 이상의 소수에 대해 순서쌍의 모든 성분이 7의 배수가 아니도록 하려면 [math]\displaystyle{ n=7m+k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ k \in \{0, 3, 6\} }[/math]이어야 한다. 즉 위 식에 대입하면, 아래 셋 중 한 가지 형태를 띠게 된다.

• [math]\displaystyle{ (210m+11, 210m+13, 210m+17, 210m+19) }[/math]
• [math]\displaystyle{ (210m+101, 210m+103, 210m+107, 210m+109) }[/math]
• [math]\displaystyle{ (210m+191, 210m+193, 210m+197, 210m+199) }[/math]

알려진 가장 큰 소수

네쌍둥이 소수는 쌍둥이 소수나 쌍둥이 소수처럼 개수가 무한히 많을 것으로 추정하고 있다.

아래 표는 2022년 9월 4일까지 알려진 가장 큰 네쌍둥이 소수를 나타낸 것이다. [math]\displaystyle{ N+\{a, b, c, d\} }[/math] 표시는 순서쌍 [math]\displaystyle{ (N+a, N+b, N+c, N+d) }[/math]를 나타낸다.

순위	소수	자릿수	발견 일시
1	[math]\displaystyle{ 667674063382677  \cdot  2^{33608}+\{-1, 1, 5, 7\} }[/math]	10132	2019년 2월
2	[math]\displaystyle{ 4122429552750669 \cdot  2^{16567}+\{-1, 1, 5, 7\} }[/math]	5003	2016년 3월
3	[math]\displaystyle{ 101406820312263   \cdot  2^{12042}+\{-1, 1, 5, 7\} }[/math]	3640	2018년 6월
4	[math]\displaystyle{ 2673092556681 \cdot 15^{3048}+\{-4, 2, 2, 4\} }[/math]	3598	2015년 9월
5	[math]\displaystyle{ 2339662057597 \cdot  10^{3490}+\{1, 3, 7, 9\} }[/math]	3503	2013년 12월

개수 확장

순서쌍의 성분 수를 다섯 개 이상으로 확장할 수 있다. 이때 순서쌍의 형태의 조건은 연속한 소수들의 최대 및 최소의 차이가 최솟값이고, 작은 소수의 특수성은 제외한다. (즉 목록으로 쭉 적어나갈 수 있어야 한다)

이를테면 다섯쌍둥이 소수(prime quintuplet)의 경우 (2, 3, 5, 7, 11)이나 (3, 5, 7, 11, 13)의 경우 최대-최소 차이가 각각 9, 10이지만 이렇게 작은 텀을 두는 연속한 소수의 순서쌍은 이들 둘 뿐이다. 따라서 차이가 12인 경우가 다섯쌍둥이 소수의 조건이 되며, 아래 두 유형으로 전개할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ (p, p+2, p+6, p+8, p+12) }[/math] 꼴: (5, 7, 11, 13, 17), (11, 13, 17, 19, 23), (101, 103, 107, 109, 113), (1481, 1483, 1487, 1489, 1493), (16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (21011, 21013, 21017, 21019, 21023), (22271, 22273, 22277, 22279, 22283), (43781, 43783, 43787, 43789, 43793), … (OEIS의 수열 A022006)
• [math]\displaystyle{ (p, p+4, p+6, p+10, p+12) }[/math] 꼴: (7, 11, 13, 17, 19), (97, 101, 103, 107, 109), (1867, 1871, 1873, 1877, 1879),(3457, 3461, 3463, 3467, 3469), (5647, 5651, 5653, 5657, 5659), (15727, 15731, 15733, 15737, 15739), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789), … (OEIS의 수열 A022007)

그리고 항 하나를 덧붙여서 여섯쌍둥이 소수(prime sextuplet)도 생각할 수 있다. 연속한 여섯 소수에서, 최대 항과 최소 항의 차이는 16이다.

• [math]\displaystyle{ (p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+16) }[/math] 꼴: (7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793), (1091257, 1091261, 1091263, 1091267, 1091269, 1091273), (1615837, 1615841, 1615843, 1615847, 1615849, 1615853), (1954357, 1954361, 1954363, 1954367, 1954369, 1954373), (2822707, 2822711, 2822713, 2822717, 2822719, 2822723), … (OEIS의 수열 A022008)

같이 보기

• 쌍둥이 소수
• 세쌍둥이 소수