유클리드의 원론/10권

유클리드의 원론 10권은 무리수에 관한 정리들을 다룬다. 가장 긴 내용으로 여러 개의 정의와 무려 115개의 정리로 구성되어 있다. 편의상 정의/정리를 한 파트로 간주하면 3개 파트로 나뉜다.

Part 1 정의

이 문서에서는 원칙적으로 commensurable는 '같은 측도로 측정가능한', rational은 '비율을 가지는'이라는 뜻이나 흔히 말하는 유비수(유리수)와의 정의와 상응하는 설명을 위해 commensurable을 '유비 관계에 있는', rational을 '비율을 가진다'고 설명하고, A와 B가 commensurable일 때 A/B를 유비수, rational일 때는 A/B를 제곱이 유비수인 수라고 정의한다.

1. 두 도형 A, B가 하나의 단위를 이용해 자연수로 표현할 수 있을 때 두 도형이 유비 관계에 있다(commensurable )고 하고, 그렇지 않으면 유비 관계가 아니다(incommensurable)고 한다. (두 도형 A/B가 유비수인지 무비수인지를 정의한다. A/B가 0이나 무한대가 되는 것도 무비수이다.)

2. 두 도형 A, B가 어떤 정사각형의 넓이와 같을 때 두 도형 A, B와 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이가 유비관계를 가지면 두 도형은 제곱으로 유비관계를 가진다(commensurable in square)고 하고, 그렇지 않으면 제곱으로 유비관계를 갖지 않는다(incommensurable in square )고 한다.

3. 위의 가정들을 바탕으로 어떤 직선과 유비관계에 있는 직선과 유비관계에 있지 않은 직선이 무한한 것을 증명할 수 있다. 또한 어떤 직선들에 대해서 길이는 유비관계를 갖지 않지만 제곱은 유비관계를 가지는 직선들과 길이와 길이의 제곱 모두 유비관계를 갖지 않는 직선들을 무수히 많이 찾을 수 있다. 단위 1이 주어졌을 때 어떤 수 A가 주어진 단위 또는 주어진 단위의 제곱에 대해 유비관계를 가지면 A를 비율을 가진다(rational,)라고 하고, A가 주어진 단위와 유비 관계를 갖지 않으면 비율을 갖지 않는다 (irrational.)고 한다. (정의 3번에서 길이에서의 유비수는 제곱이 유비수일 때를 의미한다. 통상적으로 쓰는 유비수(rational)의 의미와는 다르니 주의할 것.)

4. 주어진 정사각형이 단위 정사각형과 유비적 관계를 가진다고 하자. 그렇다면 다른 정사각형이 주어진 정사각형과 유비 관계에 있으면 그 정사각형의 변은 제곱으로 비율을 가지고, 그 정사각형이 처음에 주어진 정사각형과 유비적 관계를 갖지 않으면 제곱으로 비율을 갖지 않는다. (넓이에서 유비수값은 일상적으로 정의하는 유비수랑 동일하다. 다르게 말해서는 다각형과 넓이가 같은 정사각형의 변의 길이가 "유비수"가 될 때 그 다각형의 넓이도 "유비수"가 된다.)

Part 1 정리

일부 따름정리들은 설명이 길어지기에 생략.

1. 두 개의 크기가 다른 객체가 주어졌을 때 큰 객체에서 자신의 절반보다 큰 객체를 빼고, 그 남은 객체에서 자신의 절반보다 더 큰 객체를 빼는 식으로 반복하면 원래의 주어진 작은 객체보다 더 작게 만들 수 있다. ((1/2)^n->0이라는 것을 말로 설명하는 것입니다.)

2. 크기가 다른 두 객체가 주어졌을 때 큰 객체에서 작은 객체를 빼고, 남은 두 객체 중 큰 객체에서 작은 객체를 빼는 과정을 되풀이한다. 그럴 때 남는 것이 이전것들과 유비관계를 갖지 않으면 이전 객체들끼리는 유비관계를 갖지 않는다.

3. 유비 관계가 있는 두 도형이 주어졌을 때 두 도형을 측량할 수 있는(즉 중첩해서 크기가 같은 도형을 만들 수 있는) 하나의 도형을 찾을 수 있다.

Corollary. 어떤 도형 C가 두 도형 A, B로 측량가능할 때 그 도형 C는 두 도형 A, B를 공통으로 측량하는 가장 큰 도형을 측량한다.

4. 유비관계가 있는 세 도형이 주어졌을 때 세 도형을 모두 측량하는 도형을찾을 수 있다.

Corollary. 어떤 도형 D가 세 도형 A, B,C로 측량가능할 때 그 도형 D는 세 도형 A, B, C를 모두 즉량하는 가장 큰 도형을 측량한다. 마찬가지로 우리는 숫자가 더 많을 때에도 일반화할 수 있다.

5. 유비관계의 두 도형의 비율은 어떤 두 자연수의 비율과 동일하다. (이 정리가 도형의 넓이랑 자연수의 관계는 동일하게 유도할 수 있다는 것을 보이는 것입니다.) 6. 두 양들의 비율이 어떤 두 수의 비율과 같으면 두 양은 유비관계를 갖는다. (5번의 역입니다.)

Corollary. (요지만 설명하자면 두 수 a, b와 주어진 변 A가 주어졌을 때 a:b=A^2:B^2를 만족하는 변 B를 찾을 수 있다는 것을 의미합니다.)

7. 두 도형이 유비관계를 갖지 않으면 두 도형의 비율을 어떤 두 자연수의 비율로 묘사할 수 없다. 8. 두 도형의 비율을 두 수의 비율로 묘사할 수 없으면 두 도형은 유비관계를 갖지 않는다.  9. 두 변 a,b가 유비관계를 가지면 그 두 변으로 구성된 정사각형에 대해 제곱수 x, y가 있어서 정사각형의 비율이 두 제곱수의 비율과 일치하게 만들 수 있다. 반면에 두 정사각형의 비율이 어떤 두 제곱수의 비율과 동일하면 두 변이 유비관계를 갖는다. 반대로 두 변 a,b가 유비관계를 갖지 않으면 그 두 변으로 구성된 정사각형의 비율은 두 제곱수 x,y의 비율로 표현할 수 없다. 한편 두 정사각형 A,B에 대해 제곱수의 비율로 표현할 수 없으면 그 정사각형의 두 변의 길이는 유비관계를 갖지 않는다.

Corollary. 두 변 a,b가 유비관계를 가지면 각각의 변으로 만들 수 있는 정사각형 둘은 유비관계를 가진다. 하지만 두 정사각형이 유비관계를 가진다고 해서 그 정사각형의 두 변이 유비관계를 가진다고 보증할 수 없다.

Cororally 2 Lemma. 닮은꼴인 두 평면수에 대해 두 제곱수 x,y가 있어 a:b=x:y를 만족한다. 반면에 a:b=x:y이고 x, y가 두 제곱수일 때 a,b를 평면수로 묘사할 수 있다.

Corollary 2. 두 평면수가 닮은꼴로 표현할 수 없으면 그 두 수의 비율은 두 제곱수의 비율로 묘사할 수 없다. 반면 두 평면수에 대해 a:b=x:y를 만족하는 두 제곱수 x,y가 없으면 두 평면수는 닮은골이 아니다.

10. 주어진 도형에 대해 그 도형의 제곱끼리도 공비관게에 있지 않은 도형을 작도할 수 있다. 11. 만일 네 도형 A, B, C, D가 두 쌍식 비례관계를 가진다고 하자. 그렇다면 A와 B가 유비관계를 가지면 C와 D도 유비관계를 가진다. 하지만 A와 B가 유비관계를 갖지 않으면 C와 D도 유비관계를 갖지 않는다. 12. 두 도형 A, B가 각각 어떤 도형 C에 대해 서로 유비관계를 가지면 두 도형 A,B도 유비관계를 가진다. 13. 두 도형 A, B가 유비관계를 가지고, 도형 A가 C와 유비관계를 갖지 않으면 B도 C와 유비관계를 갖지 않는다. 14. Lemma. 길이가 다른 두 직선 A, B가 주여젔을 때 A를 한 변으로 하는 정사각형에서 B를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 뺀 값을 넓이로 갖는 정사각형 C의 한 변의 길이를 구할 수 있다. 14. 네 직선 A, B, C, D가 비례 관계에 있다고 하자.(A:B=C:D) 그랗다면 A를 한 변으로 하는 정사각형에서 B를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이차를 넓이로 갖는 정사각형의 한 변 E가 A와 유비관계에 있으면 C를 한 변으로 하는 정사각형에서 D를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이차를 한 변으로 하는 정사각형의 한 변 F는 C와 유비관계를 갖는다. 반면 같은 조건 하에서 E와 F를 정의할 때 E가 A랑 유비관계를 갖지 않으면 F는 C랑 유비관계를 갖지 않는다. 15. 두 양들 A, B가 유비관계를 가지면 그들을 더한 결과도 원래의 객체와 유비관계를 가진다. 역으로 두 양의 합을 두 객체 중 하나랑 유비관계를 가지면 원래의 두 양은 유비관계를 가진다. 16. 두 양들 A, B가 유비관계를 갖지 않으면 그들을 더한 결과도 원래의 객채중 하나와 유비관계를 갖지 않는다. 역으로 두 양의 합을 원래의 객체와 유비관계를 잡을 수 없으면 두 양도 유비관계를 갖지 않는다. 17(Lemma.) 어떤 직선에대 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙이면 그 평행사변형의 넓이는 이것을 붙임에 따라서 원래 직선이 토막난 것을 가지고 만든 직사각형의 넓이와 같다. (다시 말해 AB를 C로 나누면 AC*CB=AB*BC-BC*BC와 같다는 것을 의미합니다.) 17. 길이가 다른 두 직선 A, B가 주어졌다고 하자. A가 B보다 더 길다고 했을 때 A의 부분 C에 대해 A-C와 C로 구성해서 만든 직사각형이 B를 한 변으로 하는 정사각형의 1/4만큼 된다고 하자. 그렇다면 A-C와 C가 유비관계에 있으면 A로 만든 정사각형에서 B로 만든 정사각형의 넓이를 뺀 것과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한 변의 길이는 A와 유비관계를 가진다.또한 A를 C, A-C로 나눌 때 C와 A-C로 구성된 도형이 B를 한 변으로 하는 정사각형의 1/4라고 하자. 이 때 A의 제곱이 B의 제곱의 차이가 A랑 유비관계에 있는 한 변의 정사각형의 넓이와 같을 때 A와 A-C는 유비관계를 가진다. (즉, 4(A-C)*C=B^2일 때 A-C와 C가 유비관계를 갖는 것과 A^2-B^2의 제곱근과 A와 유비관계를 갖는 것은 동치라는 소리입니다. 참고로 이차방정식 근의 공식으로 나타내면 에서 가 됩니다. 이 정리를 쉽게 확인할 수 있죠?) 18. 길이가 다른 두 직선 A, B가 주어졌다고 하자. A가 B보다 더 길다고 했을 때 A의 부분 C에 대해 A-C와 C로 구성해서 만든 직사각형이 B를 한 변으로 하는 정사각형의 1/4만큼 된다고 하자. 그렇다면 A-C와 C가 유비관계에 있지 않으면 A로 만든 정사각형에서 B로 만든 정사각형의 넓이를 뺀 것과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한 변의 길이는 A와 유비관계를 갖지 않는다.또한 A를 C, A-C로 나눌 때 C와 A-C로 구성된 도형이 B를 한 변으로 하는 정사각형의 1/4라고 하자. 이 때 A의 제곱이 B의 제곱의 차이를 넓이로 하는 정사각형의 한 변이 A와 유비관계를 갖지 않을 때 A와 A-C는 유비관계를 갖지 않는다. (17번 정리의 역입니다.) 19(Lemma.) (상당히 긴 내용이고, 이 정리의 요지는 어떤 변의 길이가 유비수이면 그 변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이도 유비수가(여기서는 제곱이 유비수) 되지만 그 역은 성립하지 않는다는 내용입니다.) 19. 한 변의 길이가 유비수이고 다른 변의 길이가 그 변과 유비관계에 있을 때 직사각형의 넓이는 유리수이다.(즉 유리수의 곱도 유비수(제곱이 유리수)라는 이야기입니다.) 20. 어떤 직사각형이 넓이가 유비수이고, 그 중 한 변의 길이가 유비수이면 나머지 변의 길이도 유비수이고, 우리는 나머지 변의 길이를 잴 수 있다. (두 유리수의 나눌 때 몫도 유리수라는 이야기입니다.) 21. 어떤 직사각형의 두 변이 모두 유비수이지만 두 변끼리는 유비관계를 가지지 않는다. 그렇다면 그 직사각형의 넓이는 유비수가 될 수 없다. 또한 그러한 직사각형의 넓이의 제곱근을 중용수(medial)라고 정의한다. (이 정리는 중용수라고 해서 자신은 유비수가 아니지만 제곱은 유비수가 되는 수를 정의합니다. 제곱근의 무리수와 유리수의 곱은 유리수가 될 수 없으며, 이러한 유리수의 제곱근의 제곱근을 중용수라고 정의합니다. 혼동할 수 있으니 주의해야 합니다. 넓이에서 중용은 그냥 제곱해서 유비수가 되는 수라고 받아들이면 됩니다.) 22(Lemma.) 두 직선의 비율은 첫 직선의 제곱과 첫 직선과 둘째 직선의 곱으로 구성된 직사각형의 넓이의 비율과 같다. 22. 길이가 중용수인 직선의 제곱과 넓이가 같은 직사각형에서 한 변의 길이가 유비수이면 이때 생기는 다른 변의 길이는 그 변과는 크기가 다른 유비수가 된다. 23. 중용수와 유비관계에 있는 수는 중용수이다.

Corollary. 어떤 도형이 다른 도형과 유비 관계에 있으며 한 도형의 넓이가 중용수이면 다른 도형의 넓이도 중용수이다.

24. 유비관계에 있는 두 중용수의 길이를 변으로 가지는 직사각형의 넓이는 중용이다. 25. 각각의 제곱이 유비관계에 있는 두 중용수의 길이를 변으로 가지는 직사각형의 넓이는 유비수가 될 수도 있고 중용수가 될 수도 있다. 26. 두 도형의 넓이가 중용수이면 두 도형의 넓이의 차이는 유비수가 될 수 없다. 27. 제곱의 넓이만이 유비 관계에 있고, 길이는 유비 관계에 있지 않으면서 그들의 곱이 유비수로 나타나도록 만들게 길이가 중용수인 두 직선을 찾을 수 있다. (길이가 중용인 것이랑 넓이가 중용인 것은 다릅니다. 길이가 중용인 것은 네제곱이 유리수이면서 제곱이 유리수가 되지 않는 수입니다.) 28. 제곱의 넓이만이 유비관계를 가지면서 길이는 유비관계를 갖지 않으며, 두 직선의 곱이 중용수가 되게 하는 두 중용수의 직선을 찾을 수 있다. 29. Lemma 1. 합이 역시 제곱수가 되게 하는 두 제곱수를 찾을 수 있다.

Lemma 2. 합이 제곱수가 되지 않는 두 제곱수를 찾을 수 있다.

29. 두 수 A, B에 대해 둘 다 유비수이면서 A와 B가 제곱으로만 유비관계에 있으면서 A의 제곱과 B의 제곱의 차이가 긴 직선 A의 제곱과 유비관계가 되게 하는 두 직선 A, B를 작도할 수 있다. (예를 들면 2와 √3) 30. 두 수 A, B에 대해 둘 다 유비수이면서 A와 B가 제곱으로만 유비관계에 있으면서 A의 제곱과 B의 제곱의 차이가 긴 직선 A의 제곱과 유비관계를 갖지 않도록 하는 두 직선 A, B를 작도할 수 있다. (예를 들면 2와 √2) 31. 두 수 A, B에 대해 둘 다 중용수이면서, 그들의 정사각형만 유비관계에 있으며, 그들의 곱으로 구성된 직사각형의 넓이는 유비수이며, 긴 직선의 제곱과 짧은 직선의 제곱을 뺀 넓이와 동일한 정사각형의 한 변의 길이가 긴 직선과 유비관계에 있는 두 직선 A, B를 작도할 수 있다. (예를 들면 ⁴√12와 ⁴√(3/4)) 32. 두 수 A, B에 대해 둘 다 중용수이면서, 그들의 정사각형만 유비관계에 있으며, 그들의 곱으로 구성된 직사각형의 넓이는 중용수이며, 긴 직선의 제곱과 짧은 직선의 제곱을 뺀 넓이와 동일한 정사각형의 한 변의 길이가 긴 직선과 유비관계에 있는 두 직선 A, B를 작도할 수 있다. (예를 들면 ⁴√12와 ⁴√(9/2) 같은 수죠 ) 33.(Lemma.) (직각삼각형에서 직각의 각에서 맞변에 수선을 내렸을 때의 공식들을 모았습니다.) 33. 두 직선 A,B에 대해서 각각의 제곱이 유비수가 아니며, 각각의 제곱의 합이 유비수이면서 두 변의 곱이 중용이 되게 하는 두 직선 A, B를 찾을 수 있다. (예를 들면 길이로 √(2+√2)와 √(2-√2)같은 수를 말합니다.) 34. 두 직선 A,B에 대해서 각각의 제곱이 유비수가 아니며, 각각의 제곱의 합이 중용수이면서 두 변의 곱이 유비수가 되게 하는 두 직선 A, B를 찾을 수 있다. (예를 들면 길이로 √(√3+1)과 √(√3-1)같은 수를 말합니다.) 35. 두 직선 A,B에 대해서 각각의 제곱이 유비수가 아니며, 각각의 제곱의 합이 중용수이면서 두 변의 곱이 중용수가 되며, 그 제곱의 합과 곱이 유비관계를 갖지 않는 두 직선 A, B를 찾을 수 있다. (예를 들면 길이로 √(√3+√2)와 √(√3-√2)같은 수를 말합니다.) 36. 만일 길이가 유비수인 두 직선이 제곱만 유비관계를 가지면 두 수의 합은 유비수가 아니다. 이 수를 이항수(binomial)이라고 부른다.(즉 서로 유비관계를 가지지 않은 두 유리수 제곱근의 합을 이항수라고 정의합니다. 예를 들면 1+√2같은 수를 말합니다.) 37. 만일 길이갸 중용수인 두 직선이 그들로 만든 정사각형의 넓이만 유비관계를 갖고, 그들의 곱으로 구성된 직사각형의 넓이가 유비수일 때 그들을 더하면 길이는 유비수가 되지 않는다. 이것의 길이를 첫 번째 이중용수(first bimedial )라고 부른다. (예를 들면 ^4√2+ ^4√8같은 수를 말합니다. ) 38. 만일 길이갸 중용수인 두 직선이 그들로 만든 정사각형의 넓이만 유비관계를 갖고, 그들의 곱으로 구성된 직사각형의 넓이가 중용수일 때 그들을 더하면 길이는 유비수가 되지 않는다. 이것의 길이를 두 번째 이중용수(second bimedial )라고 부른다. (예를 들면 ^4√2+ ^4√32같은 수를 말합니다. ) 39. 두 직선의 제곱이 유비 관계를 갖지 않으며, 두 직선의 제곱의 합이 유비수이면서 두 직선의 곱이 중용수라고 하자(정리 33번의 경우) 그들을 더하면 전체 길이는 유비수가 되지 않는다. 그들의 합을 대직선(major) 이라고 놓는다.. (예를 들면 길이가 √(2+√2)+√(2-√2)인 경우를 말합니다. ) 40. 두 직선의 제곱이 유비관계에 있지 않고, 제곱의 합은 넓이로서 중용이며, 그들이 만드는 직사각형의 넓이가 유비수일 때(정리 34번의 경우) 그들의 합은 유비수가 아니다. 이 합의 길이를 유비수와 중용수의 넓이의 변(side of a rational plus a medial area )이라고 부른다.. (즉, √(√3+√2)+√(√3-√2) 같은 수가 이런 부류에 해당되는 수입니다.) 41. 두 직선의 제곱이 유비관계에 있지 않고 제곱의 합이 넓이로써 중용이고, 그들이 만드는 직사각형의 넓이도 중용수인데, 직사각형의 넓이와 제곱의 합이 유비관계에 있지 않으면 그들의 합도 유비수가 아니다. 이러한 수를 중용수인 두 넓이의 변( side of the sum of two medial areas ) 이라고 부른다..(즉, √(√3+√2)+√(√3-√2) 같은 수를 말합니다.) Lemma. (정리 36-41에서 길이가 바르지 않은 직선들은 원래 조건을 만족하는 방법으로는 단 한 방법으로만 나눌 수 있다. ) (바로 정리 42-47번의 내용입니다. 예를 들어 정리 42번에 따르면 1+√2를 다른 방법으로 두 유리수의 제곱근의 합으로 표현할 수 없다는 것을 의미합니다.) 42.이항 직선은 (길이의 순서가 바뀌지 않는 한) 한 점에서만 정리 36번의 조건을 만족하게 두 수로 나눌 수 있다. 43. 첫 번째 이중용 직선은 한 점에서만 정리 37번의 조건을 만족하게 두 수로 나눌 수 있다. 44. 두 번째 이중용 직선은 한 점에서만 정리 38번의 조건을 만족하게 두 수로 나눌 수 있다. 45. 대직선은 한 점에서만 정리 39번의 조건을 만족하게 두 수로 나눌 수 있다. 46. 유비수와 중용수의 넓이의 합의 변에 해당하는 수는 한 점에서만 정리 40번의 조건을 만족하게 두 수로 나눌 수 있다.. 47. 두 중용수 넓이의 합의 변에 해당하는 수는 한 점에서만 정리 41번의 조건을 만족하게 두 수로 나눌 수 있다.

Part 2 정의

Part 1에서 정의한 이항수(binomial)의 여섯 유형에 대해 정의한다. 제곱해서 정수가 되는 두 수의 합이 이항수이다.

1. 길이가 유비수인 직선 A와 이항수인 직선 B가 있다. 이 때 B를 토막내어서 두 변의 제곱의 차이가 서로 유비관계에 있게 놓자.(유일성은 정리 42번에 의해 보장) 또한 긴 토막의 제곱과 짧은 토막의 제곱의 차이가 긴 토막과 유비관계를 갖는 어떤 선분의 제곱이라고 하자. 이 때 긴 토막이 처음의 유비수랑 유비관계에 있으면 이 직선의 길이는 첫 번째 유형의 이항수(first binomial straight line)이다.

2. 한편, 정의 1번의 분할과정으로 B를 나눌 때 찗은 토막이 A와 유비관계에 있으면 선분 B는 두 번째 유형의 이항수(second binomial;)길이를 갖는다고 정의한다.

3. 마찬가지로 정의 1번의 분할과정으로 B를 나눌 때 두 토막 모두 A와 유비관계를 갖지 않으면 선분 B는 세 번째 유형의 이항수(third binomial)의 길이를 갖는다고 정의한다.

4. 정의 1의 조건에서 B를 토막네어 두 변의 제곱의 차이가 서로 유비관계에 있게 놓을 때 긴 토막의 제곱의 차이와 짧은 토막의 제곱의 차이가 긴 토막과 유비관계를 갖지 않는 어떤 선분의 제곱이라고 하자. 이 때 긴 토막이 처음의 유비수 A랑 유비관계를 가지면 이 직선의 길이는 네 번째 유형의 이항수(fourth binomial)이라고 한다.

5. 정의 4의 조건을 만족할 때 B의 짧은 토막이 A랑 유비관계를 가지면 이 직선의 길이는 다섯 번째 유형의 이항수(fifth binomial)의 길이를 갖는다고 한다.

6. 정의 4의 조건을 만족할 때 B의 두 토막 모두 A랑 유비관계를 갖지 않으면 이 직선의 길이는 여섯 번째 유형의 이항수(sixth binomial. )의 길이를 갖는다고 한다.

Part 2 정리

48. 첫 번째 유형의 이항수의 길이를 갖는 직선을 찾을 수 있다.

49. 두 번째 유형의 이항수의 길이를 갖는 직선을 찾을 수 있다.

50. 세 번째 유형의 이항수의 길이를 갖는 직선을 찾을 수 있다.

51. 네 번째 유형의 이항수의 길이를 갖는 직선을 찾을 수 있다.

52. 다섯 번째 유형의 이항수의 길이를 갖는 직선을 찾을 수 있다.

53. 여섯 번째 유형의 이항수의 길이를 갖는 직선을 찾을 수 있다.

54(Lemma.) (두 정사각형이 한 꼭짓점을 공유할 때 그 공유한 꼭짓점에서 한 쌍의 변이 일직선이면 다른 한 쌍의 변도 일직선이 된다는 이야기입니다.)

54. 직사각형의 두 변이 각각 유비수와 첫 번째 이항수를 길이로 가질 때 그 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 유비수가 아닌 이항수이다.

55.어떤 직사각형의 두 변이 각각 유비수와 두 번째 이항수를 길이로 가질 때 그 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 유비수가 아닌 첫번째 이중용수이다.

56.어떤 직사각형의 두 변이 각각 유비수와 세 번째 이항수를 길이로 가질 때 그 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 유비수가 아닌 두 번째 이중용수이다.

57.어떤 직사각형의 두 변이 각각 유비수와 네 번째 이항수를 길이로 가질 때 그 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 유비수가 아닌 대직선의 수이다.

58.어떤 직사각형의 두 변의 길이가 각각 유비수와 다섯 번째 이항수를 길이로 가질 때 그 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 유비수가 아닌 "유비수와 중용수의 넓이의 합의 한 변에 해당되는 수"이다.

59.어떤 직사각형의 두 변의 길이가 각각 유비수와 여섯 번째 이항수를 길이로 가질 때 그 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 유비수가 아닌 "두 중용수의 넓이의 합의 한 변에 해당되는 수"이다.

60. Lemma. 어떤 직선을 두 조각으로 나눌 때 두 조각으로 구성된 직사각형의 넓이는 그 직선의 반을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이보다 더 작거나 같다.

60. 어떤 직사각형의 한 변의 길이가 유비수이고, 넓이가 이항수의 제곱과 동일하다면 그 직사각형의 나머지 한 변의 길이는 첫 번째 유형의 유비수가 된다.(정리 54과는 역관계를 갖고 있습니다.)

61.어떤 직사각형의 한 변의 길이가 유비수이고, 넓이가 첫 번째 이중용 직선의 길이를 제곱한 것과 같으면 그 직사각형의 나머지 한 변의 길이는 두 번째 유형의 유비수가 된다.(정리 55번과 역관계를 갖고 있습니다.)

62.어떤 직사각형의 한 변의 길이가 유비수이고, 넓이가 두 번째 이중용 직선의 길이를 제곱한 것과 같으면 그 직사각형의 나머지 한 변의 길이는 세 번째 유형의 유비수가 된다.(정리 56번과 역관계를 갖고 있습니다.)

63.어떤 직사각형의 한 변의 길이가 유비수이고, 넓이가 대직선의 길이를 제곱한 것과 같으면 그 직사각형의 나머지 한 변의 길이는 네 번째 유형의 유비수가 된다.(정리 57번과 역관계를 갖고 있습니다.)

64.어떤 직사각형의 한 변의 길이가 유비수이고, 넓이가 "중용수와 유비수의 넓이의 합의 한 변에 해당되는 수"의 제곱일 때 그 직사각형의 나머지 한 변의 길이는 다섯 번째 유형의 유비수가 된다.(정리 58번과 역관계를 갖고 있습니다.)

65.어떤 직사각형의 한 변의 길이가 유비수이고, 넓이가 "두 중용수의 넓이의 합의 한 변에 해당되는 수"의 제곱일 때 그 직사각형의 나머지 한 변의 길이는 여섯 번째 유형의 유비수가 된다.(정리 59번과 역관계를 갖고 있습니다.)

66. 이항수의 길이를 갖는 직선 A와 유비관계에 있는 직선은 이항수의 길이를 갖는다.

67. 이중용수의 길이를 갖는 직선 A(이것이 첫 번째 유형이건, 두 번째 유형이건)와 유비관계에 있는 짃너은 이중용수의 길이를 갖는다.

68. 대직선의 길이를 갖는 직선 A와 유비관계에 있는 직선은 대직선의 길이를 갖는다.

69. "유비수와 중용수의 넓이의 합의 한 변"의 길이를 갖는 직선 A와 유비관계에 있는 직선은 "유비수와 중용수 넓이의 합의 한 변"에 해당되는 길이를 갖는다.

70."두 중용수의 넓이의 합의 한 변"의 길이를 갖는 직선 A와 유비관계에 있는 직선은 "두 중용수의 넓이의 합의 한 변"의 길이를 갖는다.

71. 유비수와 중용수의 넓이의 합을 넓이로 가지는 정사각형의 한 변은 이항수, 첫 번째 이중용수, 대직선의 수, 또는 "유비수와 중용수 넓이의 합의 한 변에 해당되는 수"의 길이를 가진다.

72. 두 중용수의 넓이의 합을 넓이로 가지는 정사각형의 한 변의 길이는 두 번째 이중용수 또는 "두 중용수의 넓이의 합의 한 변에 해당되는 수"이다.

Corollary 위에서 설명한 이항 직선과 그 밖의 무비수 유형들의 직선은 중용수가 되지 않는다.

73. 길이가 유비수인 두 직선의 길이를 뺄 때 두 직선이 넓이로만 유비 관계를 가지면 그 남는 것은 유비수가 아니다. 이것을 유비수의 차(apotome)라고 정의한다. (이항수에서 작은 수의 부호가 -로 바뀔 때 생기는 수라고 생각하시면 됩니다.).

74. 길이가 중용수인 직선에서 길이가 중용수인 직선을 뺐을 때 두 직선이 제곱으로만 유비관계를 갖는다고 하자. 그리고 이들로 만든 직사각형의 넓이는 유비수라고 하자. 그렇다면 남는 것은 유비수가 아니다. 이것의 길이는 중용수의 첫 번째 유형의 차( first apotome of a medial )라고 정의한다. (첫 번째 이중용수에서 작은 수의 부호가 -로 바뀔 때 생가는 수라고 생각하시면 됩니다.)

75. 길이가 중용수인 직선에서 길이가 중용수인 직선을 뺐을 때 두 직선이 제곱으로만 유비관계를 갖는다고 하자. 그리고 이들로 만든 직사각형의 넓이는 중용수라고 하자. 그렇다면 남는 것은 유비수가 아니다. 이것의 길이를 중용수의 두 번째 유형의 차( second apotome of a medial )라고 정의한다. (두 번째 이중용수에서 작은 수의 부호가 -로 바뀔 때 생기는 수라고 생각하시면 됩니다.)

76. 직선에서 어떤 직선을 뺐을 때 이들의 제곱이 유비 관계에 있지 않고, 이들의 제곱의 합이 유비수이고, 이들로 구성된 직사각형의 넓이가 중용수일 때 남는 것은 길이가 유비수가 아니다. 이것을 소직선의 수(minor. )라고 부른다. (대직선에서 작은 수의 부호가 -로 바뀔 때 생기는 수라고 생각하시면 됩니다.)

77. 직선에서 어떤 직선을 뺐을 때 이들의 제곱이 서로 유비 관계에 있지 않고, 이들의 제곱의 합이 중용이고, 이들로 구성된 직사각형의 넓이가 유비수일 때 두 직선의 차는 유비수가 아니다. 이러한 길이를 "중용수와 유비수 넓이의 차이의 한 변"( that which produces with a rational area a medial whole.)이라고 부른다. ("중용수와 유비수 넓이의 합의 한 변"에서 작은 수의 부호가 -로 바뀐 것이라고 생각하시면 됩니다.)

78. 직선에서 어떤 직선을 뺐을 때 이들의 제곱이 서로 유비관계에 있지 않고, 이들의 제곱의 합이 중용이고, 이들로 구성된 직사각형의 넓이가 유비수일 때 두 직선의 차이는 유비수가 아니다. 이러한 길이를 "두 중용수 차이의 한 변의 수"( that which produces with a medial area a medial whole. )라고 부른다. ("두 중용수의 넓이의 합"에서 작은 수의 부호가 -로 바뀐 것이라고 생각하시면 됩니다.)

79. 유비수의 차 A에 대해 A를 표현하는 두 유비수 B, C가 A=B-C를 만족하게 하는 B, C는 유일하다. (정리 73번의 차분할이 유일함을 보이는 정리입니다.)

80. 첫 번째 유형의 중용수의 차 A에 대해서 두 중용수 B, C가 제곱으로만 유비관계에 있을 때 A=B-C를 먄족하게 하는 B, C는 유일하다. (정리 74번의 차분할이 유일함을 보이는 정리입니다.)

81. 두 번째 유형의 중용수의 차 A에 대해서 두 중용수 B, C가 제곱으로만 유비관계에 있을 때 A=B-C를 먄족하게 하는 B, C는 유일하다. (정리 75번의 차분할이 유일함을 보이는 정리입니다.)

82. 소직선의 수 A에 대하여 두 수 B, C가 정리 76번의 조건을 만족할 때 A=B-C를 만족하는 두 수 B, C는 유일하게 존재한다.

83. "중용수와 유비수 넓이의 차의 한 변"에 해당되는 길이 A에 대해 두 수 B, C가 정리 77번의 조건을 만족한다면 A=B-C를 만족하는 두 수 B, C는 유일하게 된다.

84. "두 중용수 넓이의 차의 한 변"에 해당되는 길이 A에 대해 두 수 B, C가 정리 78번의 조건을 만족한다면 A=B-C를 만족하는 두 수 B, C는 유일하게 된다.

Part 3 정의

이번에는 "길이의 유비수의 차수"를 여섯 유형으로 분류한다. 이항수와는 달리 제곱해서 유비수가 되는 두 수의 차를 말한다.

1. 유비수인 직선 A와 "유비수의 차수"인 직선 B가 있다. 이 때 B에 어떤 유비수 D를 더해서 유비수의 선분 C를 작도할 수 있다고 하자. (유일성은 정리 79번에 의해 보장) 이 때 C의 제곱과 D의 제곱의 차이가 C랑 유비관계에 있는 어떤 수의 제곱이고, 유비수인 직선 A와 유비관계에 있으면 첫 번째 유형의 유비수의 차(first apotome straight line)이다.

2. 1번의 조건에서 C의 제곱과 D의 제곱의 차이가 C랑 유비관게에 있는 어떤 유비수의 제곱이고 B에 더해진 유비수 D가 A와 유비관계에 있으면 이 B를 두 번째 유형의 유비수의 차 (second apotome.) 라고 한다.

3. 또한 1번의 조건에서 C의 제곱과 D의 제곱의 차이가 C랑 유비관계에 있는 어떤 유비수의 제곱이고, C, D 모두 유비수가 아니면 B를 세 번째 유형의 유비수의 차 (third apotome.)라고 한다.

4. 다시 유비수 A, 유비수의 차수 B가 있다. 이 때 B에 어떤 유비수 D를 더해서 유비수의 선분 C를 작도할 수 있다고 하자. 이 때 C의 제곱의 차이와 D의 제곱의 차이가 C랑 유비관계에 있지 않는 어떤 유비수의 제곱이고, 긴 토막 C가 직선 A와 유비관계에 있으면 직선 B의 길이는 네 번째 유형의 유비수의 차(fourth apotome;)이다.

5. 정의 4번의 조건을 만족하되, 긴 토막 C가 아닌 짧은 토막 D가 직선 A와 유비관계에 있으면 B는 다섯 번째 유형의 유비수의 차(a fifth apotome) 이다.

6. 정의 4번의 조건을 만족하되, 긴 토막 C와 짧은 토막 D 모두 A와 유비관계에 있지 않을 때 B는 여섯 번째 유형의 차(a sixth apotome). 이라고 한다.

Part 3 정리

85. 첫 번째 유형의 유비수의 차를 작도할 수 있다.

86. 두 번째 유형의 유비수의 차를 작도할 수 있다.

87. 세 번째 유형의 유비수의 차를 작도할 수 있다.

88. 네 번째 유형의 유비수의 차를 작도할 수 있다.

89. 다섯 번째 유형의 유비수의 차를 작도할 수 있다.

90. 여섯 번째 유형의 유비수의 차를 작도할 수 있다.

91. 어떤 정사각형의 넓이가 유비수와 첫 번째 유형의 유비수의 차의 곱과 동일하면, 그 정사각형의 변은 유비수의 차이가 된다.

92. 어떤 정사각형의 넓이가 유비수와 두 번째 유형의 유비수의 차의 곱과 동일하면, 그 정사각형의 변은 첫 번째 유형의 중용수의 차수가 된다.

93. 어떤 정사각형의 넓이가 유비수와 세 번째 유형의 유비수의 차의 곱과 동일하면, 그 정사각형의 변은 두 번째 유형의 중용수의 차수가 된다.

94. 어떤 정사각형의 넓이가 유비수와 네 번째 유형의 유비수의 차의 곱과 동일하면 그 정사각형의 변은 소직선의 수가 된다.

95. 어떤 정사각형의 넓이가 유비수와 다섯 번째 유형의 유비수의 차의 곱과 동일하면 그 정사각형의 변은 중용수에서 유비수를 뺀 넓이의 변의 수와 동일하다.

96. 어떤 정사각형의 넓이가 유비수와 여섯 번째 유형의 유비수의 차의 곱과 동일하면 그 정사각형의 변은 두 중용수의 넓이의 차의 변의 수와 동일하다.

97. 유비수의 차를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 유비수와 첫 번째 유형의 유비수의 차의 길이로 구성된 직사각형의 넓이와 동일하다.

98. 첫 번째 중용수의 차를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 유비수와 두 번째 유형의 유비수의 차의 길이로 구성된 직사각형의 넓이와 동일하다.

99. 두 번째 중용수의 차를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 유비수와 세 번째 유형의 유비수의 차의 길이로 구성된 직사각형의 넓이와 동일하다.

100. 소직선의 수를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 유비수와 네 번째 유형의 유비수의 차의 길이로 구성된 직사각형의 넓이와 동이랗다.

101. 중용수와 유비수의 넓이의 차의 한 변의 수를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 유비수와 다섯 번째 유형의 유비수의 차의 길이로 구성된 직사각형의 넓이와 동일하다.

102. 두 중용수의 넓이의 차의 한 변의 수를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 유비수와 여섯 번째 유형의 유비수의 차의 길이로 구성된 직사각형의 넓이와 동일하다.

103. 어떤 변이 유비수의 차수의 길이를 가지고 있는 변과 유비 관계를 가지면 그 변의 길이도 유비수의 차수의 길이를 갖는다.

104. 어떤 변이 첫 번째 유형(두 번째 유형)의 중용수의 차의 길이를 가지고 있는 변과 유비 관계를 가지면 그 변의 길이도 첫 번째 유형(두 번째 유형)의 중용수의 차의 길이를 갖는다.

105. 어떤 변이 소직선의 길이를 가진 변과 유비 관계에 있으면 그 변도 소직선의 길이를 갖는다.

106. 어떤 변이 중용수와 유비수의 넓이의 차의 변의 수의 길이를 가진 변과 유비관계에 있으면 그 변도 중용수와 유비수의 넓이의 차의 변의 수의 길이를 갖는다.

107. 어떤 변이 두 중용수의 넓이의 차의 변의 수의 길이를 가진 변과 유비관계에 있으면 그 변도 "두 중용수의 넓이의 차의 변의 수의 길이"를 갖는다.

108. 어떤 정사각형의 넓이가 유비수의 넓에에서 중용수의 넓이를 뺀 것과 동일하면 한 변의 길이는 유비수의 차의 길이나 소직선의 길이와 동일하다.

109. 어떤 정사각형의 넓이가 중용수의 넓이에서 유비수의 넓이를 뺀 것과 동일하면 한 변의 길이는 첫 번째 유형의 중용수의 차거나 중용수와 유비수의 넓이의 차의 한 변의 수가 된다.

110. 어떤 정사각형의 넓이가 서로 유비관계에 있지 않은 중용수의 넓이의 차와 같으면 한 변의 길이는 두 번째 유형의 중용수의 차이거나 두 중용수의 넓이의 차의 한 변의 수가 된다.

111. 유비수의 차는 이항수와 다르다.

Corollary. 유비수의 차와 그 뒤에 나오는 모든 유형의 무비수들은 서로 다르다.

중용수

이항수

첫 번째 유형의 중용수의 합

두 번째 유형의 중용수의 합

대직선의 수

유비수와 중용수의 합의 넓이의 변

두 중용수의 합의 넓이의 변

유비수의 차

첫 번째 유형의 중용수의 차

두 번째 유형의 중용수의 차

소직선의 수

중용소의 유비수 넓이의 차의 한 변

두 중용수 넓이의 차의 한 변

112. 어떤 정사각형의 넓이가 유비수일 때 이것과 넓이가 같은 직사각형의 한 변이 이항수(C+D)라고 하자. 그렇다면 그 직사각형의 나머지 한 변은 유비수의 차수(E-F)가 되고, 이항수의 두 성분과 유비수의 차수를 구성하게 하는 두 유비수는 서로 쌍으로 유비관계를 갖는다.( C>D일 때 C와 E는 유비관계를 갖고, D와 F는 유비관계를 갖습니다. 그뿐만 아니라 C:E=D:F도 성립합니다.)

113. 어떤 정사각형의 넓이가 유비수일 때 이것과 넓이가 같은 직사각형의 한 변이 유비수의 차(C-D)라고 하자. 그렇다면 그 직사각형의 나머지 한 변은 이항수(E+F)가 되고, 이항수의 두 성분과 유비수의 차수를 구성하게 하는 두 유비수는 서로 쌍으로 유비관계를 갖는다.( E>F일 때 C와 E는 유비관계를 갖고, D와 F는 유비관계를 갖습니다. 그뿐만 아니라 C:E=D:F도 성립합니다)

114. 어떤 직사각형의 한 변이 유비수의 차수(A-B)이고, 다른 한 변은 이항수(C+D, C>D)일 때 뺀 직선과 이항 직선의 성분들을 같이 잴 수 있고, 그 비율이 같으면 (A:C=B:D) 그 직사각형의 넓이는 유비수이다.

Corollary. 두 무비수를 곱해서 유비수를 만들 수 있다.

115. 중용수인 직선에서 무비수인 직선들을 무수히 작도할 수 있고, 이들은 모두 다르다.

참조

• 빛의 편지 블로그 10권 Part 1
• 빛의 편지 블로그 10권 Part 2
• 빛의 편지 블로그 10권 Part 3
• D. E. Joyce 교수의 원론 10권 설명

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