원론 6권에서는 도형의 면적의 비례와 닮은꼴에 대해 주로 언급하고 있다.
정의[편집 | 원본 편집]
1. 두 다각형(A, B)이 서로 대응하는 각의 크기가 같고, 서로 대응하는 변의 길이가 같을 때 두 다각형을 닮은꼴(Similar)이라고 한다.
2. 두 다각형 A, B에 대해 서로 대응하는 각을 구성하는 두 변(만일 A의 각 ∠X랑 B의 각 ∠Y가 어떤 각의 일대일대응의 순서쌍일 때 각 ∠X를 두르는 두 변과 각 ∠Y를 두르는 두 변)이 있다. 이 때 그 대응하는 두 쌍의 변의 곱이 같을 때 두 도형이 "교대적 비례관계를 가진다(Reciprocally Related)"라고 부른다.
3. 어떤 선분 AB가 주여지고, 그 중간의 점 C가 선분을 나눌 때 전체에 대한 큰 조각의 비율이 큰 조각에 대한 작은 조각의 비율과 동일할 때 그 선분은 황금비율로 나누어진다(Cut in extreme and mean ratio)[1]고 한다.
4. 어떤 도형의 높이(Height)는 그 도형의 한 꼭짓점에서 밑변에 그은 수선의 길이를 의미한다.
정리[편집 | 원본 편집]
모두 33가지가 있다. 단순히 말로는 설명하기 쉽지 않으니 편의상 기호를 이용해서 도형을 묘사한다.
1. 높이가 같은 삼각형과 평행사변형의 넓이는 밑변의 길이와 비례 관계에 있다.
2. 어떤 삼각형 내부의 선분이 한 선분에 평행하다면(DE//BC), 그 선분의 두 끝점은 나머지 두 변을 같은 비율(AD:AB=AE:AC)로 나눈다. 반면에, 한 꼭짓점에 대해 그 꼭지를 포함하는 두 변에 대해 각각의 변 위에 있는 점들이 변을 나눈 비율이 같으면(AD:AB=AE:AC) 그 두 점을 이은 선분은 나머지 한 변과 평행하다(DE//BC).
3. 어떤 삼각형에서 각이 이등분되면(∠A), 이 이등분선이 밑변 BC를 나누는 점을 D라고 놓자. 그렇다면 나머지 두 변(AB, AC)의 비율은 나뉜 밑변(BD, CD)의 비율과 일치한다. 즉, AB:AC=BD:DC이다.
4. 두 삼각형이 대응하는 각이 모두 같으면 같은 크기의 각의 쌍에 마주하는 세 쌍의 변은 서로 비례관계에 있다. (AA닮음, 상응하는 합동의 정리는 1권 정리 26번)
5. 만일 두 삼각형이 서로 대응하는 변이 모두 같으면, 두 삼각형의 대응하는 변의 맞은각의 크기는 서로 같다.( 4번의 역입니다, 닮은 꼴인 두 삼각형은 대응하는 각의 크기가 같다는 뜻이다. SSS닮음, 상응하는 합동의 정리는 1권 정리 8번)
6. 만일 두 삼각형이 크기가 같은 각(∠A=∠D)을 하나 공유하고 있고, 그 각을 구성하는 두 쌍의 변이 변의 길이비율을 공유하고 있으면(AB:DE=AC:DF) 두 삼각형은 서로 대응하는 각의 크기가 같고 나머지 한 쌍의 변의 비율을 보존한다. (SAS닮음, 상응하는 합동의 정리는 1권 정리 4번)
7. 만일 두 삼각형이 크기가 같은 각을 하나 공유하고 있고(∠A=∠D), 그 각 이외의 다른 대응되는 각(예시 ∠B, ∠E)을 구성하는 두 쌍의 변에 대한 비율이 같고(예 : BA:ED=BC:EF), 그 각들(∠B, ∠E)이 모두 직각보다 작거나 직각보다 더 크면 두 삼각형은 서로 대응하는 각의 크기가 같고, 나머지 한 쌍의 변의 비율을 보존한다. (ASS닮음, ASS가 같은 두 삼각형은 한 가지 또는 두 가지 형태로 나올 수 있다)
8. 어떤 직각삼각형 ABC가 주여졌을 때 직각인 각 C에서 맞은변에 수선을 내린다. 그러면 이 수선을 한 변으로 하는 작은 삼각형 CAD와 CDB는 모두 전체 삼각형 ABC와 닮은꼴이 된다.
- 따름정리 : 정리 8번에서 수선의 길이는 밑변의 두 조각의 길이의 기하평균이 된다. 즉 CD:AD=DB:CD이다.
9. 주어진 선분 AB를 정해진 (유리수) 비율대로 나눌 수 있다.(여기서 정해진 비율은 특정한 유리수를 의미하며, 아무 유리수 비율로 나눌 수 있다는 것을 의미한다.)
10. 나누어지지 않은 선분 AB와 점 E로 나뉜 선분 CD가 있을 때 그 선분과 나뉜 비율이 같게 선분 AB를 나눌 수 있다. (다시 말해 AF:CE=FB:ED가 되게 나눌 수 있다는 것을 의미한다.)
11. 두 선분 a, b가 주어졌을 때 세 번째 선분 c가 비례관계에 있게 선분을 만들 수 있다. (즉, a:b=b:c를 만족하게 하는 선분 c를 작도할 수 있다는 것을 의미한다.)
12. 세 선분 a,b,c가 주여졌을 때 a:b=c:d의 비례식을 만족하는 네 번째 선분 d를 만들 수 있다.
13. 두 선분 a, b가 주어졌을 때 a:c=c:b를 만족하는 선분 c를 작도할 수 있다. (이것은 두 선분 a, b의 기하평균 c를 작도할 수 있음을 의미합니다. 2권 정리 14번 참조.)
14. 면적이 같고, 서로 대응되는 각이 같은 두 평행사변형의 인접한 변의 쌍은 "교대적 비례관계"를 가진다. 한편 서로 대응하는 각이 같고, 인접한 두 쌍의 변이 "교대적 비례관계"를 가지면, 두 평행사변형의 면적이 같다. (평행사변형의 면적공식을 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.)
15. 면적이 같고, 서로 대응되는 각이 같은 두 삼각형이 있다. 이 때 서로 대응하는 두 쌍의 변은 "교대적 비례관계"를 가진다. 한편 서로 대응하는 각이 같고, 서로 대응되는 두 쌍의 변이 "교대적 비례관계"를 가지면, 두 삼각형의 면적이 같다. (14번 정리를 삼각형으로 변형시킨 것.)
16. 만일 네 선분이 서로 비례관계를 가지고 있으면(a, b, c, d), 가장 짧은 변과 가장 긴변으로 구성된 직사각형의 넓이는 두 중간의 변으로 구성된 직사각형의 넓이와 같다. (ad=bc), 한편 네 선분이 주어졌을 때 가장 짧은 변과 가장 긴 변으로 구성된 직사각형의 넓이가 두 중간변으로 구성된 직사각형의 넓이와 동일하면 네 선분은 서로 비례관계를 가진다.
17. 만일 세 선분이 서로 비례관계를 가지고 있으면(a,b,c), 가장 짧은 변과 가장 긴 변으로 구성된 직사각형의 넓이는 중간변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다(ac=b^2), 한편 세 선분이 주여졌을 때 가장 잛은 변과 가장 긴 변으로 구성된 직사각형의 넒이가 가운데 길이변을 한 변으로 하는 정사각형의 넒이와 같으면 세 선분은 서로 비례관계를 갖는다.
18. 어떤 다각형과 변이 주어졌을 때 그 변을 한 변으로 하면서 주어진 다각형과 닮은꼴인 다각형을 작도할 수 있다. (그 다각형을 대각선을 통해 삼각형의 모임으로 나눌 수 있고, 세 각이 같은 삼각형은 닮은꼴이라는 정리를 이용해서 닮은꼴 삼각형의 조합으로 만들 수 있다.)
19. 두 삼각형이 닮은 꼴일 때(ABC∝DEF) 면적의 비율은 서로 대응되는 한 변의 제곱의 비율과 동일하다. (ABC:DEF=AB²:DE²) (두 두형이 닮은 꼴일 때 면적비율은 변의 비율의 제곱과 비례한다는 것을 설명한다.)
따름정리 : 만일 a, b, c가 비례관계에 있고, a를 한 변으로 하는 삼각형과 b를 한 변으로 하는 삼각형이 서로 닮은 꼴이면서 a와 b가 닮은꼴의 대응관계에 있다. 그렇다면 두 삼각형의 면적의 비율은 a와 c의 비율과 일치한다.
20. 두 다각형 A와 B가 닮은꼴이라고 하고, a,b는 A의 인접한 두 변, c, d는 a,b와 대응되는 두 변이라고 하며, a,b의 끝점을 이은 대각선을 e, c,d의 끝점을 이은 대각선을 f라고 놓자. 그렇다면 삼각형 abe와 cdf는 서로 닮은꼴이고 abe:cdf=A:B=a²:c²가 성립한다. (닮은꼴 다각형의 부분으로 구성된 다각형은 대응되는 변과 대각선이 일치할 때 전체 다각형의 비율과 동일한 비율로 닮은꼴이 된다는 것을 의미합니다.)
- 따름정리 : 어떤 두 다각형 A와 B가 닮은꼴이고, A의 한 변 a와 B의 한 변 b가 닮은꼴에서 대응될 때 A:B=a²:b²가 성립한다.
21. 도형 A, B, C에 대해 A와 B가 닮은꼴이고, B와 C가 닮은꼴일 때 A와 C도 닮은꼴이다.
22. 네 선분 a,b,c,d가 a:b=c:d의 비례관계를 가진다. 또한 A, B가 서로 닮은꼴이면서 a와 b가 서로 대응되고, C, D가 서로 닮은꼴이면서 c와 d가 서로 대응될 때 넓이에 대해 A:B=C:D의 비례식을 만족한다. 한편 A, B가 서로 닮은 꼴이고, C, D가 서로 닮은 꼴일 때 A:B=C:D를 만족하면 닮은꼴에 대응하는 a와 b, c와 d에 대해 a:b=c:d를 만족한다.
23. 두 평행사변형 A ,B가 같은 각을 공유하면 넓이의 비율은 인접한 두 변의 곱에 비례한다. (즉, A의 인접한 변 a,b와 B의 인접한 변 x,y에 대해 A:B=a*b:x*y가 성립함을 보입니다. 정리 14번의 일반화라고 생각하시면 됩니다.)
24. 만일 평행사변형 A에서 대각선 위의 점 X에 대해 변에 평행한 두 변을 작도한다. 그렇다면 대각선 위에 두 평행사변형 조각은 서로 닮은꼴이며, 이것은 전체 평행사변형 A과도 닮은꼴이다.
25. 두 다각형 A,B가 주여젔을 때 A와 넒이가 같으면서 B와 닮은꼴인 도형을 작도할 수 있다.
26. 두 평행사변형 A, B가 존재한다. 이 때 A와 B가 닮은꼴이면서 한 각을 "정확하게" 공유하고 있으면 그 공유한 각에 대한 A, B의 대각선은 일직선위에 있다. (정리 24번의 역.)
27. 평행사변형 A가 존재한다. 여기서 A를 이등분하는 평행선 l이 존재한다. 이등분된 평행사변형을 B, C라고 놓을 때 C의 대각선을 m이라고 놓자. 그렇다면 대각선 m위의 점을 꼭짓점으로 하는 평행사변형의 존재를 D라고 놓자. 그렇다면 D는 B보다 작다.
28. 주어진 다각형 A와 변 UV, 평행사변형 B가 주어졌다. 이 때 변 UV를 절반으로 나누고, 중점을 X라고 놓자. UX를 밑변으로 하고 B와 닮은꼴인 평행사변형 C가 A보다 작지 않다고 하자. XV를 밑변으로 하고 C와 높이가 같은 평행사변형 D의 대각선 중 V를 지나는 대각선을 l이라고 놓자. 그렇다면 l 위의 점 중 이 점을 U와 반대편 꼭짓점으로 하면서 주어진 다각형 A와 넓이가 같은 점이 존재한다.
29. 주어진 다각형 C와 평행사변형 D, 변 AB가 주어진다. 그러면 변 AB를 한 변으로 하고 면적 C와 같은 평행사변형 E를 작도할 수 있다. 그리고 이것보다 작지 않으면서 평행사변형 D와 닮은꼴인 평행사변형 F를 작도할 수 있다.
30. 주어진 선분을 황금비율(extreme and mean ration)로 나눌 수 있다.
31. 직각삼각형 A에서 각 변 a,b,c(a,b는 직각의 변, c는 빗변)를 한 변으로 하는 세 다각형 B,C,D가 존재한다. 이 때 B, C,D가 서로 닮은꼴이고, 변 a,b,c가 B, C, D의 닮은꼴에서 서로 대응되는 변일 때 가장 큰 다각형 D의 넓이는 B와 C의 넓이의 합과 같다. (1권 정리 47번 피타고라스의 정리의 일반형)
32. 만일 두 삼각형 A, B가 꼭짓점 하나를 공유하고 있고, A의 변 a와 B의 변 d, A의 변 b와 B의 변 e가 서로 평행하면서 a:d=b:e를 만족한다. (자연스럽게 a와 d중 하나랑 b와 e중 하나는 공유하는 꼭짓점을 지나가지 않습니다.) 그렇다면 A의 나머지 변 c와 B의 나머지 변 f는 일직선상위에 있다.
33. 두 원 A와 B가 동일할 때 A의 원호인 l과 B의 원호인 m의 길이의 비율은 각각의 중심각의 비율이나 원주각의 비율과 일치한다. (즉 l의 중심각을 ∠X, 원주각을 ∠Y, m의 중심각을 ∠Z, 원주각을 ∠W로 놓을 때 l:m=∠X:∠Z=∠Y:∠W로 놓을 수 있습니다.)
참조[편집 | 원본 편집]
유클리드의 원론 각 권 둘러보기 |
---|
- ↑ 직역하면 양 끝점에 의해 형성된 평균비율