원론 12권은 11권에 이어서 입체도형에 관한 정리들을 설명하고 있다. 정의는 따로 정의하지는 않으나 18개의 정리가 있다. 정리 숫자는 적지만 정리 증명과정이 상당히 복잡하므로 유의할 것.
정리[편집 | 원본 편집]
1. 닮은꼴 다각형들을 원에 내접시킬 때 그들의 넓이의 비율은 그들의 외접원의 넓이의 비율과 동일하다.
2. 원의 넓이의 비율은 원의 지름으로 만든 정사각형의 넓이의 비율과 동일하다.
Lemma for XII.2. (정리 증명과정에서 설명하는 법칙입니다. 상당히 복잡하니 생략하겠습니다.)
3.임의의 삼각뿔은 전체의 삼각뿔과 합동인 두 개의 합동인 삼각뿔과 부피가 동일하고 전체 각뿔 부피의 1/4보다 더 큰 각기등으로 나눌 수 있다.
4. 높이가 같은 두 삼각뿔이 있다. 이들 각각을 두 합동의 삼각뿔과 두 각기둥으로 나누고, 두 각기둥이 부피가 같도록 한다. 그러면 한 각뿔의 밑면과 나른 각뿔의 밑면의 넓이비율은 한 각뿔에서 나온 모든 각기둥들을 더한 것과 다른 각뿔에서 나온 모든 각기둥을 더한 것의 비율과 동일하다.(부피의 비율 = 파편화된 밑면의 비율과 동일함)
Lemma for XII.4.
5. 두 삼각뿔의 높이가 같을 때 부피의 비율은 밑면의 넓이의 비율과 동일하다.
6. 두 다각뿔의 높이가 같을 때 부피의 비율은 밑면의 넓이의 비율과 동일하다.
7. 삼각기둥은 부피가 같은 세 개의 삼각뿔로 나눌 수 있다. (그 중 한 조각은 밑넓이와 높이가 원래의 삼각기둥과 동일합니다.)
- Corollary. 삼각기둥과 삼각뿔의 밑면의 넓이와 높이가 같은 경우 삼각뿔의 부피는 삼각기둥의 부피의 1/3이다 .
8. 서로 닮은 꼴인 두 삼각뿔의 부피비율은 서로 대응하는 변의 세제곱의 비율과 동일하다.
- Corollary. 서로 닮은꼴인 두 다각뿔의 부피비율은 서로 대응하는 변의 세제곱의 비율과 동일하다.
9. 부피가 같은 두 삼각뿔은 밑면의 넓이가 높이에 반비례한다. 그리고 밑면의 넓이가 높이에 반비례하는 경우 두 삼각뿔의 부피는 동일하다.
10. 원뿔이 원기둥에 들어가 있고, 밑면의 넓이와 높이가 같으면 원뿔의 부피는 원기둥의 부피의 1/3이다.
11. 높이가 같은 원뿔들이나 원기둥들의 부피비율은 밑면의 넓이의 비율과 동일하다.
12. 닮은꼴인 원뿔들이나 원기둥의 부피 비율은 밑면의 지름의 비율의 세 제곱의 비율과 동일하다.
13. 어떤 원기둥을 양쪽 면에 평행한 평면으로 자를 때 자른 두 면에 의해 생긴 원기둥의 부피의 비율은 두 평면 사이의 거리의 비율과 동일하다. (이것은 밑면이 동일할 때 부피가 높이와 비례한다는 것을 의미합니다.)
14. 밑면의 넓이가 같은 원뿔들이나 원기둥들의 부피의 비율은 그들의 높이 비율과 동일하다. (정리 13번의 일반화)
15. 부피가 같은 원뿔이나 원기둥들은 밑면의 넓이와 높이가 반비례한다. 그리고 밑면의 넓이와 높이에 반비례하는 경우, 원뿔이나 원기둥의 부피는 동일하다.
16. 공통중점을 가진 크기가 다른 두 원이 있을 때 큰 원의 안에 변의 개수가 짝수인 정다각형을 내접시키되, 작은 원과 만나지 않게 작도할 수 있다. (이것은 다각형의 각을 많이 늘려 임의의 "근접한 정도로" 원에 가깝게 작도할 수 있다는 것을 의미합니다.)
17. 공통중점을 가진 크기가 다른 두 구가 있을 때 큰 구의 안에 다면체를 내접시키되, 작은 구와 만나지 않게 작도할 수 있다.(정리 16번을 구의 경우로 확장시킨 경우입니다. 역시 다면체를 임의의 오차로 구에 가깝게 작도할 수 있다는 것을 의미합니다.)
- Corollary to XII.17.
18. 공들의 부피의 비율은 지름의 길이 비율의 세 제곱과 동일하다.
참조[편집 | 원본 편집]
유클리드의 원론 각 권 둘러보기 |
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