유클리드의 원론/11권

유클리드의 원론 11권은 입체도형에 대해 주로 다룬다. 모두 28개의 정의와 39개의 정리가 있다.

정의[편집 | 원본 편집]

입체(solid)란 길이, 폭 두께를 모두 갖는 것을 말한다.
입체의 끝은 면이다.
어떤 직선이 평면과 한 점에서 만날 때 평면위에 있으면서 그 점을 지나는 모든 직선과 수직일 때 그 직선은 그 평면과 수직으로 만난다(a line meets at right angles to the plane)고 한다.
두 평면이 수직으로 만난다(a plane meets at right angles to a plane)는 뜻은 두 평면의 교선이 있고, 그 교선 위의 한 점에 대해 두 평면 위에서 수선을 그을 때 각각의 수선이 수직으로 만나는 경우를 의미한다.
직선(l)과 평면(p)이 만나서 생기는 각(The inclination of a straight line to a plane)은 직선과 평면이 한 점(A)에서 만날 때 직선 위에 있으면서 평면 밖의 점(B)에서 평면과 수직으로 만나는 선을 그은 다음, 그 수선이 평면과 만나는 점(BC⊥p)과 원래 직선이 평면과 만나는 점을 연결할 때 그 선분이 원래의 직선과 만나서 생기는 각(∠BAC)의 크기와 같다.
두 평면 사이의 각(The inclination of a plane to a plane)은 두 평면의 교선 위의 한 점에 대해 각각의 평면 위에서 수선을 그을 때(l,m) 이 두 교선이 이루는 예각을 말한다.
평면 A, B, C가 있을 때 평면 A가 B에 대해 C와 같은 각으로 만난다는 것은(similarly inclined to)A와 B 사이의 평면각의 크기가 B와 C 사이의 평면각의 크기가 같다는 것을 의미한다.
두 평면이 평행하다(Parallel planes)는 것은 두 평면이 만나지 않는다는 것을 의미한다.
두 입체가 닮은꼴이다(Similar solid figures)는 것은 두 입체를 구성하는 모든 면의 수가 같고, 각 면들이 같은 비율로 닮은꼴이 되는 경우를 말한다. (입체도형의 닮은꼴을 정의한다)
두 입체가 닮은 꼴이며 같은 모양이다(Equal and similar solid figures)는 두 입체를 구성하는 모든 면들이 개수도 동일하고, 완전히 동일한 면들이라는 것을 의미한다. (이건 입체도형의 합동을 정의한다)
입체각(solid angle)이란 한 평면 위에 있지 않은 세 개 이상의 직선들이 한 점에서 모일 때 그 직선들에 의해 형성되는 뿔 모양의 공간의 크기를 말한다. 달리 말하면 두 개 이상의 평면각이 있어서 이들이 같은 평면 위에 있지 않을 때 이들이 한 점에서 만나는 점을 중심으로 형성되는 각이다. (입체각은 뿔 모양의 공간이 벌어지는 정도를 의미한다. 크기는 각의 꼭짓점을 중심으로 하는 구면의 상대적인 넓이로 측정한다)
각뿔(pyramid)은 한 평면과 그 평면 밖의 한 꼭짓점을 연결하는 입체이다.
각기둥(prism)은 크기가 같고 평행한 두 도형을 연결하는 입체이다. 각기둥의 각 옆면은 평행사면형이다.
반원을 지름의 방향으로 한 바퀴 돌렸을 때 생기는 회전체를 구(sphere)라고 한다.
구의 축(axis of the sphere)은 정의 14번에서 반원을 한 바퀴 돌릴 때 돌리는 기준축을 말한다.
구의 중심(center of the sphere)은 구를 형성시키는 반원의 현의 중심과 동일하다.
구의 지름(diameter of the sphere)은 구의 중심을 지나는 직선이 구와 두 점에서 만날 때 그 두 점 사이의 거리를 의미한다.
직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 한 변을 중심으로 회전시켰을 때 생기는 도형은 원뿔(cone)이다. 만일 고정시킨 직선이 직각을 끼고 있는 나머지 한 변의 길이와 같으면 이 원뿔은 직각이고(right-angled;) 더 짧으면 이 원뿔은 둔각이고(obtuse-angled) 더 길면 이 원뿔은 예각이다(acute-angled). (사실 원뿔이 직각, 예각, 둔각인 것은 축을 끼고 있는 평면으로 원뿔을 자를 때 꼭지각의 크기가 예각, 직각, 둔각 중 하나로 나오는데, 그 크기를 의미한다)
원뿔의 축(axis of the cone)은 직각삼각형을 돌릴 때 고정된 변을 말한다.
원뿔의 밑면(base)은 직각삼각형의 밑변이 회전하면서 만들어내는 원을 말한다.
직사각형의 한 변을 고정시킨 다음, 그 변을 중심으로 1바퀴 회전해서 만든 도형을 원기둥(cylinder)이라고 한다.
원기둥의 축(axis of the cylinder)은 직사각형을 회전시킬 때 고정된 변을 말한다.
그리고 원기둥의 밑면(bases)은 원기둥의 축과 수직인 변들이 회전해서 만들어지는 두 개의 크기가 같은 원을 의미한다.
원뿔(또는 원기둥)과 대해 각각 축의 길이와 밑면의 반지름의 길이가 비례관계에 있으면 두 원뿔(또는 원기둥)은 닮은꼴(Similar cones and cylinders)이라고 말한다.
정육면체(cube)는 여섯 개의 크기가 같은 정사각형으로 둘러싸인 입체를 말한다.
정팔면체(octahedron)는 여덟 개의 크기가 같은 정삼각형으로 둘러싸인 입체를 말한다.
정이십면체(icosahedron)는 스무 개의 크기가 같은 정삼각형으로 둘러싸인 입체를 말한다..
정십이면체(dodecahedron) 는 열 두 개의 크기가 같은 정오각형으로 둘러싸인 입체를 말한다.

정리[편집 | 원본 편집]

직선의 일부분은 평면에 포함되고, 일부는 평면 밖에 존재할 수 없다.
두 직선이 서로 만나면 그 두 직선을 포함하는 평면이 존재하고, 두 직선을 두 변으로 하는 삼각형도 그 평면 위에 존재한다.
두 평면이 만나서 서로를 나누면 그 나누는 성분은 직선이다.
한 평면 위에 두 직선이 서로 만날 때 그 두 직선과 모두 수직인 선분을 두 직선의 교점 위에서 작도하면 그 직선은 평면과 수직이다. (수직의 조건: 교점을 지나는 서로 다른 두 직선하고만 수직이면 된다)
세 직선이 한 점에서 만날 때 이들의 교점에서 세 직선 모두에 수직인 직선을 만들 수 있으면 처음 세 직선은 한 평면 위에 있다.
서로 다른 두 직선이 같은 평면에 대해 수직이면 두 직선은 평행하다.
평행한 두 직선 위에서 각각 한 점씩 잡는다. 그러면 그 두 점을 있는 직선은 두 평행선과 같은 평면 위에 있다.
두 평행선 중 한 직선이 어떤 평면과 수직이면 나머지 직선도 그 평면과 수직이다.
두 직선(a, b)이 어떤 직선(l)과 평행하다고 하자. 그렇다면 두 직선(a,b)이 나머지 직선(l)과 함께 한 평면 위에 있지 않아도 평행하다. (1권 정리 31번의 일반화다)
두 직선(a, b)이 한 점에서 만난다. 이 때 두 직선과 각각 평행한 직선(l,m -> l//a, m//b)이 또 다른 한 점에서 만난다고 하자. 그렇다면 a, b가 만나는 각은 l,m이 만나는 각과 크기가 동일하다.
평면 밖의 점에서 그 점을 지나고 평면에 대한 수직선을 작도할 수 있다.
평면 위의 점에서 그 점을 지나고 평면에 대한 수직선을 작도할 수 있다.
평면 위의 점에서 그 점을 지나고 평면에 대한 수직선은 유일하다.
두 평면이 한 직선에 대해 수직이면, 두 평면은 평행하다.
두 직선 a, b가 만나고, 또 다른 두 직선 l, m이 만나는데, a//l이고, b//m일 때 a와 b에 의해 생기는 평면은 l과 m에 의해 생기는 평면과 "일치하거나" 평행하다.
평행한 두 평면이 어떤 평면과 만나면, 각각의 교선은 서로 평행하다.
평행한 평면들(p1, p2, ..., pn)이 두 직선(l,m)을 나눌 때 두 직선에서 평행한 평면 사이의 조각들(l과 m의 pi와 p_i+1 사이의 조각들)은 서로 비례관계에 있다. 즉, l/(p_1-p_2):m/(p_1-p_2) = l(p_2-p_3):m/(p_2:p_3)=...=l(p_(n-1)-p_n):m/(p_(n-1):p_n)
어떤 직선이 어떤 평면과 수직이면 그 직선을 포함하는 모든 평면은 처음에 주어진 평면과 수직이다.
두 평면이 어떤 평면과 수직이라고 하면, 그 두 평면의 교선도 어떤 평면과 수직이 된다.
세 개의 평면이 모여 입체각을 만든다고 하면, 세 개의 이면각이 생긴다. 이 때 두 개의 이면각의 합은 나머지의 이면각의 크기보다 더 크다.
세 개의 이면각들이 모여서 입체각을 이룰 때 이면각들의 합은 직각의 네 배보다 더 작다.
세 개의 평면각이 존재하고, 이 세 개가 모여 입체각을 이룰 때 세 평면각의 합이 4직각보다 더 작으면서 두 개의 평면각의 합이 나머지의 평면각의 크기보다 크다고 가정하자. 그러면 입체각을 이루도록 만나는 선분의 길이가 서로 같을 때 이 직선들의 끝점을 이어서 삼각형을 만들 수 있다.
세 개의 평면각이 존재하고, 이 세 평면각의 합이 4직각보다 작으면서 두 각의 합이 나머지 한 각의 크기보다 클 때 이 세 평면각을 이면각으로 하는 입체각을 작도할 수 있다.
어떤 육면체가 평행한 세 쌍의 평면으로 둘러싸여 있으면 평행한 평면의 쌍은 크기가 같은 평행사변형이다. (평행육면체 이야기)
평행육면체에서 옆면과 평행한 면으로 나눈다면, 나눠진 평행육면체의 부피의 비율은 밑면의 넓이의 비율과 동일하다.
직선 위에서 한 점을 잡았을 때 그 점을 꼭짓점으로 하면서 주어진 입체각과 동일한 입체각을 작도할 수 있다. (입체각은 크기가 같다고 해서 같은 모양이 되지 않는 점도 주의하시기 바란다)
어떤 직선과 어떤 평행육면체가 주어졌을 때 주어진 직선을 한 모서리로 하고, 주어진 평행육면체와 방향도 일치하면서 닮은꼴인 평행육면체를 작도할 수 있다.
평행육면체에서 서로 마주보는 두 평면의 대각선을 지나는(두 대각선은 서로 평행하다) 평면으로 나누면 그 평면은 주어진 평행육면체를 이등분한다.
두 평행육면체가 하나의 밑면을 공유하고, 높이가 동일하면서 두 입체의 밑면과 반대쪽 꼭짓점들이 두 평행선 위에 있다고 가정하자. 그러면 두 평행육면체의 부피는 동일하다.
두 평행육면체가 하나의 밑면을 공유하고, 높이가 동일하다고 가정하자. 그렇다면 두 입체의 밑면과 반대쪽 꼭짓점들이 두 평행성 위에 있지 않아도 두 평행육면체의 부피는 동일하다.
두 평행육면체가 밑면의 넓이가 같고, 높이가 같으면 두 평행육면체의 부피는 동일하다. (29→30→31번으로 일반화된다)
높이가 같은 두 평행육면체의 부피의 비율은 두 평행육면체의 밑면의 넓이의 비율과 동일하다.
두 평행육면체가 닮은꼴일 때 두평행육면체의 부피의 비율은 서로 대응되는 변의 비율의 세제곱의 비율과 동일하다.
Corollary. 만일 네 직선이 연속으로 비례관계에 있으면, 두 평행육면체가 서로 닮은꼴이면서 대응되는 한 변의 길이가 각각 첫 번째 직선의 길이와 두 번째 직선의 길이와 같으면 두 평행육면체의 부피의 비율은 첫 번째 직선과 네 번째 직선의 길이의 비율과 동일하다.
두 평행육면체의 부피가 동일하면 두 평행육면체의 밑면의 비율은 높이의 비율에 반비례한다. 즉, 밑면의 비율과 높이의 비율이 역으로 비례할 때 두 평행육면체의 부피는 동일하다.
두 평면각 ∠BAC와 ∠EDF가 크기가 같다고 하자. 이 때 점 A에서 직선 AG를 작도하고, 점 D에서 직선 DK를 작도하자. 여기서 각 ∠BAG=∠EDK,∠CAG=∠FDK라고 하자. 그렇다면 직선 AG와 평면 BAC 사이의 각의 크기는 직선 DK와 평면 EDF 사이의 각의 크기와 동일하다.
세 직선이 서로 비례관계에 있다고 하자. 그렇다면 세 직선이 한 점에서 만나 구성된 평행육면체의 부피는 그 평행육면체와 각의 크기가 같고, 변의 길이가 가운데 길이의 직선으로 구성된 평행육면체의 부피와 동일하다.
네 직선이 서로 비례관계에 있다고 하자. 그렇다면 네 개의 닮은 꼴인 평행육면체에서 서로 대응되는 변의 길이가 주어진 네 직선의 길이와 동일하면 네 평행육면체의 부피도 서로 비례관계에 있다. 역으로 네 평행육면체가 서로 비례관계에 있으면, 그 평행육면체의 서로 대응하는 변의 길이도 서로 비례관계에 있다.
정육면체의 마주보는 두 변들을 이등분한 다음, 그 점들을 지나도록 두 평면을 잡는다. 그렇다면 이 두 평면의 교선은 정육면체의 네(입체적인) 대각선을 이등분한다.
높이가 같은 두 각기둥이 있는데, 하나는 면이 평행사변형이고, 다른 하나는 면이 삼각형이다. 이 때 평행사변형의 넓이가 삼각형의 넓이의 두 배라고 하면, 두 각기둥의 부피는 동일하다. (정확히 말해서는 평행사변형을 이등분한 삼각형을 밑면으로 하는 각기둥의 부피와 원래의 삼각기둥의 부피가 동일하다는 것을 의미한다)

참고[편집 | 원본 편집]