유클리드의 원론 제1권은 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형에 대한 간단한 설명이 나온다. 1권은 23개의 정의, 5개의 공준과 5개의 상식을 기초로 논리를 전개하고 있다.
정의[편집 | 원본 편집]
정의(Definitions)들을 나열하고 있다.
- 점(point)은 부분(part)이 없는 것이다.
- 선(line)은 폭(breadth)이 없는 '길이(length)'다.
- 선의 끝(the edge of line)은 점이다.
- 직선(straight line)은 점이 일정하게 놓인 선이다.
- 면(surface)는 길이와 폭만을 갖는 것이다.
- 면의 끝은 선이다.
- 평면(plane surface)은 직선이 일정하게 놓인 면이다.
- 평면각(plane angle)은 평면 위의 두 직선이 만나서 생기는 것이다.
- 각을 형성하는 두 선이 직선일 때 곧은 각(rectilinear)이라고 한다.
- 한 직선이 다른 직선과 만나 나누어 생긴 두 각의 크기가 같을 때 두 각을 직각(Right angle)이라고 한다.
- 직각보다 더 큰 각을 둔각(Obtuse angle)이라고 한다.
- 직각보다 더 작은 각을 예각(Acute angle)이라고 한다.
- 경계(Boundary)는 모든 것(기하학적 객체)의 끝부분을 말한다.
- 도형(Figure)이란 (모든 방향으로) 경계를 가진 것이다.
- 원(Circle)이란 평면상의 한 점에 대해 그 점과 거리가 같은 점들을 경계로 하는 도형이다.
- 그리고 15번에서 그 평면상의 그 점을 중심(Center)이라고 한다.
- 지름(Diameter)이란 원의 중심을 지나는 임의의 직선에 대해 원과 만나는 두 점 사이의 부분을 말한다.
- 반원(Hemicircle)이란 원의 한 지름과 지름에 의해 나누어진 호를 경계로 하는 도형이다,
- 다각형(Rectilinear Figure)이란 (유한한) 직선 경계를 가지는 객체이다. 경계를 형성하는 직선이 3개면 삼각형(Triangle), 4개면 사각형(Quadrilateral), 4개를 넘을 때 다각의(Multilateral) 도형이라고 한다.
- 삼각형 중에 세 변의 길이가 같으면 정삼각형(Equilateral Triangle),두 변의 길이가 같으면 이등변삼각형(Isosceles triangle), 세 변의 길이가 모두 다르면 부등변삼각형(Scalene Triangle)이라고 한다.
- 또한 삼각형 중 직각을 갖고 있으면 직각삼각형(Right-angled Triangle), 둔각을 갖고 있으면 둔각삼각형(Obtuse Triangle), 예각만 갖고 있으면 예각삼각형(Acute Triangle)이라고 한다.
- 사각형 중 등변이며, 직각으로 둘러싸인 사각형을 정사각형(Square), 직각으로 둘러싸였지만 등변이 아니면 직사각형(Oblong or Rectangle), 등변이지만 직각으로 둘러싸이지 않은 사각형을 마름모(Rhombus), 마주보는 변(대변-對邊)과 각(대각-對角)이 서로 같지만 변의 길이도 각도도 모두 같지 않으면 평행사변형(Parallelogram or Rhomboid)이라고 한다.
- 두 직선이 평행하다(Two lines are Parallel)는 말은 두 직선이 같은 방향을 가진다는 말이다. 다시 말해 두 직선은 만나지 않는다는 소리이다.
공준과 상식[편집 | 원본 편집]
공준(Postulates)과 상식(Common Notion)은 유클리드 원론에서의 모든 기하학적인 대상에 대해 설명하고 있다. 다만 공준은 기하학적인 객체에 한정한 공리인 반면 상식은 기하학적인 객체 이외에도 모든 수학적 대상에 대한 공리라고 볼 수 있다.
공준[편집 | 원본 편집]
- 임의의 점에서 임의의 점 사이로 직선을 그을 수 있다.
- 임의의 선분을 연장해서 그을 수 있다.
- 임의의 점을 중심으로 특정한 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.
- 모든 직각은 서로 같다.
- 1개의 직선과 2개의 직선이 만날 때 서로 마주보는 각(이것을 동측내각이라고 한다)의 합이 2직각보다 작은 쪽에서 두 직선이 만난다.
상식[편집 | 원본 편집]
등식과 부등식에 대한 정리
- 같은 것끼리는 서로 같다. 즉, A=B, B=C이면 A=C.
- 같은 것을 더해서 같은 것은 서로 같다. 즉, A+C=B+C이면 A=B.
- 같은 것을 빼서 같은 것은 서로 같다. 즉, A-C=B-C이면 A=B.
- 서로 대응하는 것이 완전히 일치하는 것은 서로 같다.
- 전체는 부분보다 더 크다.
정리 목록[편집 | 원본 편집]
각 정리의 증명과정은 D.E.Joyce 교수의 원론 정리 증명 문서를 참조할 것.
- 주어진 선분을 한 변으로 하는 정삼각형을 작도할 수 있다.
- 주어진 선분 밖의 한 점을 끝점으로 하여 주어진 선분을 이동시킬 수 있다.
- 두 선분이 주어지면 긴 선분에서 짧은 선분을 자른 길이를 가진 선분을 작도할 수 있다.
- 두 삼각형이 서로 대응하는 두 변의 길이와 그 두 변 사이에 존재하는 대응하는 각의 크기가 같으면 두 삼각형은 합동이고 나머지 대응하는 각과 변의 크기도 동일하다.
- 이등변삼각형에서 등변의 하나와 밑변이 이루는 두 각(밑각)의 크기는 같다.
- (5의 역) 삼각형에서 두 각의 크기가 같으면 그두 각이 공유하지 않은 각각의 두 변의 길이는 같다.
- 선분 a의 양 끝점을 지나는 직선 b와 직선 c가 존재할 때 선분 a의 양 끝점과 직선 b, c의 교점의 거리를 측정한다. 이 때 한 쪽 방향에서 b, c의 교점과 a의 양 끝점과의두 거리가 정확하게 일치하는 점은 존재하지 않는다.
- 대응하는 세 쌍의 변의 길이가 같은 두 삼각형은 합동이며, 대응하는 각의 크기도 서로 같다.
- 주어진 각을 이등분할 수 있다.
- 주어진 선분을 이등분할 수 있다.
- 직선 위에 주어진 점에서 그 직선의 수선을 그을 수 있다.
- 직선 밖의 주어진 점에서 그 직선의 수선을 그을 수 있다.
- 한 선분의 끝점이 한 직선 위에 있을 때 만나서 생기는 두 각의 크기의 합은 2직각이다.
- (13의 역) 두 선분(a, b)이 한 점을 공유하고 또 다른 선분(c)과 만나서 생기는 각각의 각(ac, bc)의 합이 2직각이면 그 두 선분(a, b)은 한 직선을 이룬다.
- 두 선분(직선)이 한 점에서 만나면 서로 마주보는 각의 크기는 똑같다.
- 삼각형의 외각은 그 외각과 접하지 않은 나머지 두 내각의 크기보다 더 크다.
- 삼각형의 임의의 두 각의 크기의 합은 2직각보다 더 작다.
- 삼각형에서 가장 긴 변 맞은편에 있는 각이 가장 크다.
- (18의 역) 삼각형에서 가장 큰 각 맞은편에 있는 변이 가장 길다.
- 삼각형에서 임의의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 더 길다.
- 임의의 삼각형(A)이 존재할 때 한 변과 삼각형 내부의 점으로 이루어진 또 다른 삼각형(B)을 작도하면 그 삼각형(B)의 나머지 두 변의 길이의 합은 바깥쪽 삼각형(A)의 것보다 작지만 (B의)대각의 크기는 바깥쪽 삼각형(A)의 것보다 더 크다.
- 어떠한 두 변의 길이의 합이 다른 한 변의 길이보다 더 크다는 조건을 만족하는 세 변이 주어질 때 삼각형을 작도할 수 있다.
- 끝점이 있는 선분과 임의의 (직선)각이 주어질 때 주어진 선분에 그 각과 크기가 같은 각을 작도할 수 있다.
- 두 삼각형이 서로 대응하는 두 변의 길이가 같지만 각이 다른 경우에는 각이 더 큰 쪽이 그 각의 대변(對邊)의 길이도 더 길다.
- 두 삼각형이 서로 대응하는 나머지 두 변의 길이가 같으면 밑변의 길이가 긴 삼각형의 밑변의 대각이 밑변의 길이가 짧은 삼각형의 밑면의 대각보다 더 크다.
- 두 삼각형의 두 각의 크기가 같고 그 사이에 대응되는 변의 길이가 같으면 두 삼각형은 합동이고, 나머지 한 각의 크기와 두 변의 길이도 동일하다.
- 한 직선(X)이 다른 2개의 직선(A, B)과 만날 때 생기는 각 중 서로 엇갈린 위치에 있는 두 각(alternative angles)의 크기(예: XA의 바깥쪽 왼쪽 각과 XB의 바깥쪽 오른쪽 각)가 같으면 두 직선은 평행하다.
- 한 직선(X)이 다른 2개의 직선(A, B)과 만날 때 어떤 각이 다른 직선의 같은 방향에 있는 각의 크기가 같거나(예: XA의 위 왼쪽 각과 XB의 위 왼쪽 각) 2개 직선을 통과하는 한 직선을 기준으로 같은 쪽에 있는 내각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.
- (27, 28의 역) 평행선이 한 직선과 만날 때 어떤 각의 크기는 한 직선과 만나 생기는 각 중 엇갈린 위치에 있는 각의 크기나 같은 위치에 있는 각의 크기와 동일하고, 같은 쪽에 있는 두 내각의 크기의 합은 2직각이 된다.
- 한 직선이 평행선 중 하나와 평행하면 나머지 한 직선과도 평행하다.
- 주어진 직선 위를 지나지 않는 한 점을 지나며 그 직선과 평행한 (유일한) 직선을 작도할 수 있다.
- 삼각형의 외각의 크기는 그 외각과 변을 공유하지 않은 나머지 두 내각의 크기의 합과 같다.
- 평행하고 길이가 같은 두 선분의 끝을 (나란히) 연결시킨 두 직선은 그 자체가 평행하다.
- 평행사변형에서 엇갈려 있는 두 각의 크기는 동일하며, 대각선은 평행사변형을 이등분한다.
- 밑변과 그 밑변의 평행선을 공유하는 두 평행사변형의 넓이는 같다.
- 밑변의 길이가 같고 각각의 밑변이 서로 같은 평행선 안에 있는 두 평행사변형의 넓이는 같다.
- 밑변을 공유하고 나머지 한 점이 같은 평행선 위에 있는 두 삼각형의 넓이는 같다.
- 밑변의 길이가 같고 밑변과 나머지 한 점이 모두 같은 평행선 위에 있는 두 삼각형의 넓이는 같다.
- 넓이가 같고 밑변을 공유하는 두 삼각형의 꼭짓점을 이은 선분은 밑변과 평행하다.
- 넓이가 같고 밑변의 길이가 같으며 두 밑변이 한 직선 위에 있을 때 두 삼각형의 꼭짓점을 이은 선분은 밑변을 포함하는 직선과 평행하다.
- 평행사변형의 넓이는 밑변을 공유하고 꼭짓점이 밑변과 마주보는 변 위에 있는 삼각형의 넓이의 2배가 된다.
- 주어진 각을 한 각으로 하며, 주어진 삼각형의 넓이와 똑같은 평행사변형을 작도할 수 있다.
- 평행사변형에서 한 대각선 위를 지나는 점으로 평행사변형을 네 개의 평행사변형으로 나눌 때 중간 크기의 엇갈려 있는 두 평행사변형(complements about a diameter)의 크기는 동일하다.
- 한 선분, 한 각, 한 삼각형이 주어질 때 주어진 선분을 한 변의 길이로 하고, 주어진 각을 내각의 크기로 하며 주어진 삼각형의 면적과 동일한 평행사변형을 작도할 수 있다.
- 주어진 다각형과 면적이 동일한 평행사변형을 작도할 수 있다.
- 한 선분이 주어졌을 때 그 선분을 변으로 하는 정사각형을 작도할 수 있다.
- 직각삼각형에서 빗변의 정사각형의 넓이는 나머지 두 변으로 작도한 정사각형의 넓이의 합과 동일하다. (피타고라스의 정리)
- 가장 긴 변의 정사각형의 넓이가 나머지 두 변으로 작도한 정사각형의 넓이의 합과 동일하면 짧은 두 변 사이의 각은 직각이다. (47번의 역)
참조[편집 | 원본 편집]
- 빛의 편지 블로그 - 고전서적 탭에 원론 관련 포스팅을 참조할 것.
- D. E. Joyce 교수의 유클리드 원론
- [참고](유클리드 기하학 원론,구텐베르크 프로젝트,존 케이시 1885 ,아일랜드왕립대학교)http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc
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