원론 7권은 거의 순수한 수론에 대해 언급하고 있다. 또한 원론 7권에 있는 정리들은 1권부터 6권까지의 내용을 전혀 사용하지 않고, 7권에서 새로 정의한 22개의 정의만을 이용해서 증명한다. 첫번째부터 단위(unit)라는 것을 정의하고 있으며, 단위를 기반으로 "자연수"라는 개념도 설명하고 있다.
정의[편집 | 원본 편집]
모두 22개가 있으며, 1권에서 6권까지의 내용을 하나도 사용하지 않는다.
1. 단위(unit)란 1이라고 정의된 하나의 도형이다. (공집합을 원소로 하는 집합을 1로 정의하는 집합론에서의 1의 개념과는 달리 원론은 구체적으로 도형을 이용해서 작도하므로 이런 개념으로 설명한다. 당시에는 집합론이라는 개념 자체가 없었으므로 이 방법으로밖에 설명할 수 없었을 터.)
2. 자연수(number)는 1에서 정의된 단위를 몇 개로 복사해서 연결한 것이다. (페아노의 공리와 자연수 집합의 형성방식이 유사하다는 것을 알 수 있다. 1의 다음 수를 1+1=2, 2의 다음수를 2+1=3 이런 식으로 정의한다.)
3. 두 자연수 m과 n이 있다. 이 때 m을 몇 배로 연결하고 복사해서 n을 구성할 수 있으면 m은 n의 인수(m is a part of n)라고 한다. (사실 직역하면 "작은 수가 큰 수의 단위로 측정할 수 있으면 작은 수는 큰 수의 한 부분이라고 한다"라고 말하지만 이해하기 어렵다. 쉽게 말하자면 약수(인수)의 개념으로 받아들일 수 있다. 다만 여기서는 '부분'이라는 말을 통해 자기 자신은 자기자신의 인수라고 정의되지 않는 것을 알 수 있다.)
4. 그러나 m을 몇 배로 연결하고 복사해서 n을 구성할 수 없다면 m은 n의 부분들의 합(m is parts of n)이라고 한다. (약수로 표현할 수 없는 경우)
5. 큰 수 M이 작은 수 N의 몇 배의 복사한 것을 연결한 것으로 만들 수 있다면 M은 N의 배수라고 한다.(M is a multiple of N) (자연수에서 배수는 약수와 반대개념이라고 생각하면 된다. 즉, 큰 수가 두 작은 수의 곱으로 나타낼 때 그 큰 수는 두 작은 수의 배수가 된다.)
6. 짝수(even number)는 단위의 2배체를 몇 배로 복사해서 구성할 수 있는 수를 말한다.
7. 홀수(odd number)는 단위의 2배체를 몇 배로 복사해서 구성할 수 없는 수를 말한다.
8. 짝수의 짝수배(even times even number)는 짝수를 짝수번으로 배가한 수를 말한다.
9. 홀수의 짝수배(even times odd number)는 훌수를 짝수번으로 배가한 수를 말한다.
10. 홀수의 홀수배(odd times odd number)는 홀수룰 홀수번으로 배가한 수를 말한다.
11. 소수(a prime number)는 1만을 (진)인수로 갖는 수를 말한다.
12. 두 수 M과 N의 공통 인수가 1뿐일 때 M과 N을 서로소(relative prime)이라고 한다.
13. 합성수(a composite number)는 1보다 큰 수를 인수로 갖는 수를 말한다.
14. 두 수 M과 N의 공통 인수가 1 이외 수를 가지면 M과 N이 공인수를 갖는다(relatively composite)고 한다. (최대공약수가 1이 아닌 경우)
15. 어떤 수 M을 N번 더했을 때의 결과를 M과 N과의 곱(multiply M by N)이라고 표현한다.
16. 그리고 어떤 두 수 M과 N을 곱할 때 M과 N의 곱을 평방수(plane number), M과 N을 그 사각수의 인수(sides, 변)라고 한다. (제곱수의 제곱근)
17. 어떤 세 수 L, M, N의 곱을 입방수(solid number), 그 세 수 L, M, N을 입방수의 인수(sides)라고 부른다.
18. 어떤 수 M이 같은 두 수의 평방수로 구성되면(즉 M=N*N) 그 수 M을 제곱수(Square)라고 부른다.
19. 어떤 수 M이 같은 세 수의 입방수로 구성되면(즉, M=N*N*N), 그 수 M을 세제곱수(Cubic)라고 부른다.
20. 어떤 수 A, B, C, D가 있을 때 A가 B의 k배(혹은 B가 A의 l배)이고, C가 D의 k배(혹은 D가 C의 l배, 앞의 괄호의 내용과 상응)일 때 네 수 A, B, C, D는 서로 비례관계(A, B, C, D is proportional) 에 있다고 한다.
21. 두 2차원수(혹은 3차원수) A, B가 있을 때 각각의 인수가 서로 비례관계에 있으면 두 2차원수(혹은 3차원수) A, B는 닮은꼴(similar)이라고 부른다.
22. 완전수(A perfect number)는 자신의 진인수(parts)들의 합이 자신의 값과 동일한 수를 의미한다.
정리[편집 | 원본 편집]
모두 39가지가 있다. 얼핏 보면 5, 6권에 있던 정리들과 매우 유사해 보이는 데자뷰 같은 인상을 주는 것들도 있다. 하지만 증명방식은 오직 7권에 있는 정리들만을 이용해서 증명하므로 증명방법이 완전히 다르다.
1. 서로 다른 두 자연수가 있다. A>B일 때 A를 B를 이용해서 계속 빼낸다. 0<A-kB<B일 때 B를 (A-kB)를 이용해 계속 빼낸다. 이런 과정을 반복할 때 마지막으로 남은 수 중 1이 있을 때는 A와 B는 서로소이다. ( 유클리드 호제법의 특수한 경우)
2. 두 수가 서로소가 아닐 때 두 수의 가장 큰 공통인수(최대공약수)를 구할 수 있다. (증명과정 자체는 유클리드 호제법이다.)
3. 임의의 여러 수가 주어졌을 때 그 수들의 가장 큰 공통인수(최대공약수)를 구할 수 있다. (기본적으로 정리 2번을 이용해서 A1과 A2의 최대공약수 -> A1, A2, A3의 최대공약수 처럼 귀납적으로 증명할 수 있다는 것을 의미한다. 정리 2번의 일반화.)
4. 두 수 A와 B가 주어졌을 때 A는 B의 인수이거나 B의 인수의 특정한 배수가 된다. (이것을 증명하기 위해서는 A와 B가 공통단위(unit)의 배수라는 전제가 있어야 합니다. 10권에서는 무리수에 관해 다루는데, 이것은 단위에 대해 이 정리 4번을 만족하지 않는다.)
5. 어떤 수 A가 B의 약수이고, 어떤 수 C가 D의 약수이면서 A의 k배가 B일 때 C의 k배가 D이면, A+C는 B+D의 약수이고, A+C의 k배는 B+D이다. (B=kA, D=kC -> A+C=(B+D)/k)
6. 어떤 수 A가 B의 약수의 몇 배(A=k/l*B), 또 다른 수 C가 D의 약수의 몇 배이이면서 C가 D/l의 k배이면, A+C는 B+D의 약수의 몇 배이고, A+C는 B+D의 l분 약수의 k배이다. (A=(k/l)B, C=(k/l)D이면 A+C=(k/l)(B+D)이다. 정리 5의 일반화이다.)
7. 어떤 수 A가 B의 약수이고(A*k=B), A보다 작은 수 C가 B보다 작은 D의 약수이면서(C*k=D), A의 k배가 B일 때 C의 k배가 D이면 A-C의 k배는 B-D이다. (kA=B, kC=D일 때 k(A-C)=B-D이다.)
8. 어떤 수 A가 B의 약수의 몇 배이고 (A=k*(B/l)), A보다 작은 수 C가 B보다 작은 D의 약수의 몇 배이면서 A가 B를 l로 나눈 수의 k배일 때 C가 D를 l로 나눈 수의 k배이면 A-C는 B-D를 l로 나눈 수의 k배이다. (정리 7번의 일반화. A=(k/l)B, C=(k/l)D이면 (A-C)=(k/l)(B-D)라는 것을 증명한다.)
9. 어떤 수 A가 B의 약수이면서 A의 k배가 B이다. 또한 어떤 수 C가 D의 약수이면서 C의 k배가 D이다.(즉, B/A=D/C) 그렇다면 A가 C를 l개로 나눈 부분의 k배일 때 B는 D를 l개로 나눈 부분의 k배가 된다. (다시 말해 A/C=B/D가 성립한다는 것을 의미한다. A:B=C:D이면 A:C=B:D이다는 것을 보여주는 정리이다.)
10. 어떤 수 A가 B를 l개로 나눈 부분의 k배이고, C도 마찬가지로 D를 l개로 나눈 부분의 k배이다. 그렇다면 A가 C를 m개로 나눈 부분의 n배일 때 B는 D를 m개로 나눈 부분의 n배가 된다. (9번의 일반화입니다. 역시 A:B=C:D이면 A:C=B:D가 성립한다는 것을 보여준다.)
11. 어떤 수 A와 B가 있으며, C를 A의 부분, D를 B의 부분이라고 하자. 이 때 A의 B에 대한 비율이 C의 D에 대한 비율이 같으면 이것은 A-C의 B-D에 대한 비율과 동일하다. (이것은 숫자에 관한 5권 정리 19번과 유사하다.)
12. 만일 A1, A2, …, An의 B1, B2, …, Bn에 대한 비율이 서로 같으면(A1:B1=A2:B2=…=An:Bn) A1에서 An의 합에 대한 B1에서 Bn의 합에 대한 비율은 각각의 쌍의 비율과 같다. (A1:B1=A2:B2=…=An:Bn=(A1+A2+…+An):(B1+B2+…+Bn)이 성립합니다. 이것은 5권 정리 12번과 유사하다.)
13. 만일 A, B, C, D가 두 쌍씩 비례관계가 성립하면, A, C, B, D는 두 쌍씩 비례관계가 성립한다. (A:B=C:D 이면 A:C=B:D이다는 내용으로 5권 정리 16번과 유사하다.)
14. 만일 A, B, C, D가 두 쌍씩 비례관계가 성립하고, C, D, E, F가 두 쌍씩 비례관계가 성립하면 A, B, E, F는 두 쌍씩 비례관계가 성립한다. (일반적으로 x1:x2=y1:y2, x2:x3=y2:y3, ..., xn-1:xn=yn-1:yn이 성립하면 x1:xn=y1:yn이 성립한다. 이것은 5권 정리 22번과 유사하며, 이것을 ex equali라고 한다.)
15. 어떤 수 A의 k배가 B이고, C의 k배가 D라고 하자. 반대급부로 A의 l배를 C라고 하면 D는 B의 l배가 된다. (정리 9번의 특수한 경우라고 볼 수 있다. 다만 증명과정에서는 정리 9번을 사용하지 않는다.)
16. A를 B로 곱한 수는 B를 A로 곱한 수와 같다. (AB=BA, 즉, 곱셈의 교환법칙을 설명하는 것이다.)
17. A, B, C가 주어졌을 때 B에 대한 C의 비율은 A를 B로 곱한 수에 대한 A를 C로 곱한 수의 비율과 동일하다. (식으로는 B:C=AB:AC를 보이는 정리이다.)
18. A, B, C가 주어졌을 때 B에 대한 C의 비율은 B를 A로 곱한 수에 대한 C를 A로 곱한 수의 비율과 동일하다. (식으로는 B:C=BA:CA를 의미하고, 수치적으로는 정리 17번과 같지만 원론에서는 다른 방법으로 증명한다.)
19. 만일 A에 대한 B의 비율이 C에 대한 D의 비율과 동일할 때 A를 D로 곱한 수는 B를 C로 곱한 수와 동일하다. (식으로는 A:B=C:D일 때 AD=BC임을 나타내며, 6권 정리 16번의 자연수화된 공식이라고 볼 수 있다.)
20. 만일 A에 대한 B의 비율이 C에 대한 D의 비율과 같고, A, B가 모두 C, D보다 작을 때 C가 A의 k/l배이면 D는 B의 k/l배이다. (식으로는 A:B=C:D일 때 C/A=D/B임을 보여준다.)
21. 두 수 A, B가 서로소이고 A, B, C, D가 순서대로 서로의 비례관계가 성립하면 A는 C보다 크지 않고, B는 D보다 크지 않다. (두 수가 A, B가 서로소인 경우에는 두 수를 서로 나누어서 생긴 분수는 더 작은 자연수의 나눗셈을 이용해서 표현할 수 없다는 것을 의미한다.)
22. 두 수 A, B가 정해져 있을 때 C, D가 C에 대한 D의 비율이 A에 대한 B의 비율과 같게 하는 최소한의 쌍일 때 C와 D는 서로소이다. (A:B=C:D이면서 C, D가 최소한의 수이면 C와 D는 서로소이라는 것을 설명합니다. 이것은 정리 21번의 역이라고도 볼 수 있다.)
23. 두 수 A, B가 서로소이고, C가 A의 인수일 때 B와 C는 서로소이다.
24. 두 수 A, B가 C와 서로소일 때 A를 B로 곱한 수도 C와 서로소이다.
25. 두 수 A, B가 서로소일 때 A의 제곱은 B와 서로소이다. (24번 정리의 특수한 경우.)
26. A와 C, B와 D가 서로소이면 A와 B의 곱은 C와 D의 곱과 서로소이다. (24번 정리를 중복해서 사용하면 된다.)
27. 만일 두 수 A, B가 서로소이면 A의 제곱과 B의 제곱, A의 세제곱과 B의 제곱, A의 세제곱과 B의 세제곱 등 A를 임의의 횟수만큼 곱한 수와 B를 임의의 횟수만큼 곱한 수는 서로소이다. (즉, A와 B가 서로소이면 An과 Bm은 서로소다는 것을 보여준다. 26번 정리를 활용하면 유도할 수 있다.)
28. 두 수 A, B가 서로소이면 A+B는 A, B와 서로소이다. 한편 A+B가 A, B와 모두 서로소이면 A와 B도 서로소이다.
29. 어떤 수 A가 소수이고, B가 A의 몇 배관계가 성립하지 않을 때 A와 B는 서로소이다.
30. 어떤 수 A가 소수이고, B를 C로 곱한 수가 A의 몇 배관계가 성립하면 B나 C 중 하나는 A와 몇 배관계가 성립한다. (즉 A가 소수이면서 BC를 나누면 B나 C중 하나는 나눈다는 것을 의미한다.)
31. 어떤 합성수 A에 대해 B의 몇 배가 A가 되게 만드는 소수 B가 존재한다. (다시 말해 어떤 합성수도 소수인 진약수를 갖는다는 것을 의미한다.)
32. 1 아닌 어떤 수는 모두 소수이거나 소수의 배수이다. (사실상 31번 정리의 따름정리라고 볼 수 있다.)
33. 임의의 n개의 수 A1, A2, A3, ..., An이 주어졌을 때 A1:B1=A2:B2=...=An:Bn을 만족하는 최소한도의 n개의 수의 집합 B1, B2, B3,..., Bn을 찾을 수 있다.
34. 두 수 A, B가 있을 때 두 수 A, B로 배율로 가능한 최소의 수(최소공배수)를 찾을 수 있다. (더 재미있는 것은 이 정리의 증명과정이 LCM(A,B)*GCD(A,B)=A*B임을 보인다.)
35. 두 수 A, B가 있을 때 C가 두 수 A, B의 배율로 가능한 수라고 하자. 그렇다면 그 수 C는 A, B의 최소공배수(정리 34번에서 구한 수치)의 배수이다.
36. 세 수 A, B, C가 있을 때 우리는 A, B, C 모두의 배수인 최소의 수(최소공배수)를 찾을 수 있다. (34, 35번 정리를 조합하면 됩니다. A1, A2, ..., An이 있을 때 그들의 최소공배수를 찾을 수 있다.)
37. 어떤 수 A가 B의 배율로 측정이 가능하면, A의 약수 C중 B배가 A인 수를 찾을 수 있다. (즉 b가 a의 약수이면 우리는 a의 1/b가 정수임을 설명한다.)
38. 어떤 수 C의 B배가 A이면 A는 B의 몇 배로 표현할 수 있다. (즉 c의 b배가 a이면 우리는 b가 a의 약수임을 보일 수 있다는 것입니다. 정리 37번의 역이다.)
39. 주어진 수 A1, A2, ...,, An에 대해서 각각의 수 Ci의 Ai배가 A가 되는 최소의 수 A를 찾을 수 있다. (사실 이것은 36번과 동일하게 A1, A2, ..., , An의 최소공배수를 구하는 것이다.)
참조[편집 | 원본 편집]
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