원론 7권, 8권에 이어서 9권도 정수와 유리수의 수론에 관한 정리들을 모은 정리이다. 원론 9권도 새로 정의되는 정의는 없고, 36개의 정리들로만 구성되어 있다.
정리[편집 | 원본 편집]
모두 36가지가 있다.
1. 두 닮은꼴인 평면수의 곱은 제곱수이다.
2. 두 수를 곱했을 때 제곱수가 나오면, 두 수를 닮은 형식의 평면수로 표현할 수 있다. (즉, A*B=k2형식이면 A=as*at, B=bs*bt로 표현이 가능합니다., 1번 정리의 역)
3. 세제곱수 A애 대해 그 자신을 곱한 수도 세제곱수이다.
4. 세제곱수 A와 B에 대해 A와 B의 곱도 세제곱수이다.
5. 만일 세제곱수 A에 어떤 수 B를 곱해서 세제곱수를 만들면 어떤 수 B도 세제곱수이다.(4의 역중 하나라고 말할 수 있다.)
6. 어떤 수 A에 대해 A의 제곱이 세제곱수이면 그 자신도 세제곱수이다.(어찌 보면 이 정리는 3번의 역이자 5번의 특수한 경우라고도 말할 수 있다.)
7. 어떤 함성수 A에 어떤 수 B 곱한 수 A*B는 적어도 3개의 1 아닌 인수를 가지고 있다.
8. 어떤 수열이 1부터 시작해서 연속적으로 일정한 비율로 증가하는 정수열(continued proportion)이면 수열의 세 번째 원소는 제곱수, 네 번째 원소는 세제곱수, 그리고 일곱 번째 원소는 제곱수이자 세제곱수이다. (이걸 일반화시키면 n번째 원소는 n-1제곱수가 된다고 말할 수 있다.)
9. 어떤 수열이 1부터 시작해서 연속적으로 일정한 비율로 증가하는 정수열(continued propertion)이고, 두 번째 원소가 제곱수이면 나머지 원소들도 모두 제곱수가 된다. 또한 그 수열의 두 번째 원소가 세제곱수이면 나머지 원소도 모두 세제곱수가 된다. (역시 일반화시켜서 2번째 원소가 n제곱이면 나머지 원소도 n제곱수가 된다는 것을 보이는 것이다.)
10. 어떤 수열이 1부터 시작해서 연속적으로 일정한 비율로 증가하는 정수열(continued propertion)이고, 두 번째 원소가 제곱수가 아니면 짝수번째 원소들은 모두 제곱수가 되지 않는다. 또한 이 수열의 두 번째 원소가 세제곱수가 아니면 3n+1번째 숫자들을 제외하고는 세제곱수가 아니다.
11. 어떤 수열이 1부터 시작해서 연속적으로 일정한 비율로 증가하는 정수열이다. 그렇다면 이 수열에서 작은 원소는 큰 원소를 반드시 나누며, 그 나눈 것의 몫은 정수열 위의 어떤 원소가 된다.
- 따름정리 정리 11번의 수열에서 어떤 원소도 그 앞의 원소로 나누며, 큰 원소를 작은 원소로 나눈 몫의 크기는 둘째 원소에서 두 원소 사이의 간격을 제곱한 것만큼 크기가 같다.
12. 어떤 수열이 1부터 시작해서 연속적으로 일정한 비율로 증가하는 정수열이다. 그렇다면 이 원소 중 1아닌 원소가 어떤 소수 p를 나눌 때 이 소수 p는 두 번째 원소를 나눈다.
13. 어떤 수열이 1부터 시작해서 연속적으로 일정한 비율로 증가하는 정수열이다. 그렇다면 이 원소 중 1 다음 원소가 소수 p일 때 가장 큰 원소는 그 자신과 그 수열의 앞에 있는 원소들을 제외하고는 나누지 않는다.
14. 주어진 수 A가 주어진 소수 p1, p2, ..., pn을 나누는 가장 작은 수이면 그 수 A는 그 전에 주어진 소수를 제외한 나머지 어떤 소수로도 나뉘지 않는다.
15. 만일 세 수가 연속된 비례관계에 있으면서 그 비율을 가진 최소한의 수일 때 하나의 수와 나머지 두 수의 합은 서로소이다.
16. 두 정수 A, B가 서로소이면 A:B=B:C를 만족하는 수 C는 자연수에서 존재하지 않는다.
17. 만일 연속적으로 일정한 비율을 가진 정수열(등비수열)이 있을 때 두 양끝의 수가 서로소이면 마지막 수 N에 대한 수의 비율이 첫 번째 수에 대한 두 번째 수의 비율과 같은 어떤 수는 존재하지 않는다. (어찌 보면 정리 16번의 일반화로 볼 수 있다.)
18. 주어진 두 정수 A, B에 대해서 A:B=B:C를 만족하는 정수 C가 있는지 판별할 수 있다.
19. 주어진 세 정수 A, B, C, D에 대해서 A:B=C:D를 만족하는 정수 D가 있는지 판별할 수 있다.
20. 소수의 갯수는 아무 유한개의 소수의 곱보다 더 크다. (즉 소수가 무한하다는 것을 의미한다.)
21. 짝수들의 임의의 합은 짝수이다.
22. 임의의 홀수를 짝수번 더한 수는 짝수이다. 23. 임의의 홀수를 홀수번 더한 수는 홀수이다.
24. 짝수를 짝수로 빼면 짝수이다.
25. 짝수를 홀수로 빼면 홀수이다.
26. 홀수를 홀수로 빼면 짝수이다.
27. 홀수를 짝수로 빼면 홀수이다.
28. 홀수를 짝수로 곱하면 짝수이다.
29. 홀수를 홀수로 곱하면 홀수이다.
30. 어떤 홀수 A가 짝수 B를 나누면 그 홀수 A는 그 짝수 B의 절반을 나눈다.
31. 두 홀수 A, B가 서로소이면 홀수 A는 B를 2배한 수와도 서로소이다.
32. 2의 곱으로만 구성된 수는 1곱하기 자신을 제외하면 오로지 두 짝수의 곱으로만 표현할 수 있다.
33. 만일 어떤 수가 홀수의 2배이면 그 수는 홀수와 짝수의 곱으로만 표현이 가능하다.
34. 만일 어떤 짝수가 홀수의 2배도 아니고 2의 곱으로만 구성된 수도 아니면 그 수는 짝수 곱하기 홀수 또는 짝수 곱하기 짝수 둘 다 표현할 수 있다.
35. 주어진 수 a1, a2, ..., an이 연속적으로 비례 관계에 있는 수들(등비수열)일 때 a2와 a1의 차에 대한 an과 a1의 차의 비율은 a1에 대한 a1부터 an-1까지의 합의 비율과 동일하다. (이것은 등비수열의 합의 공식을 유도할 수 있는 공식입니다. a1+...+a_(n-1) = a(rn-1-1)/(r-1) =(a_n-a1)*a1/(a2-a1)임을 알 수 있습니다.)
36. 만일 1부터 시작하면서 계속 2를 곱해나가서 구할 수 있는 연속적으로 비례관계에 있는 수열(첫항 1, 공비 2인 등비수열)이 있다. 만일 이 수들의 합이 소수가 되면, 그 수열의 가장 큰 항과 수열들의 합을 곱한 수는 완전수가 된다. (완전수를 유도할 수 있는 공식이다. 즉, 2n-1이 소수이면 (2n-1)*(2n -1)은 완전수가 됩니다. 6, 28, 496, 8128이 대표적인 완전수이다. 그러나 5번째 완전수인 33550336는 찾지 못했다. 참고로 오일러(Leonhard Euler)는 짝수인 완전수는 모두 이런 형식으로 표현할 수 있다는 것도 증명했다.)
참조[편집 | 원본 편집]
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