원론은 4권까지는 도형에 대해 설명하고 있으나 원론 5권부터는 수치적인 계산에 대해 설명하고 있다. 그러나 원론 자체가 기하학적으로 설명하는 서적이기에 기하학적인 방법으로 설명하고 있다.
정의[편집 | 원본 편집]
용어 자체가 이해하기 쉽지 않은 편. 괄호에 적힌 부연설명도 참조하자.
1. 작은 객체와 큰 객체가 있을 때 작은 객체를 일정한 단위(unit, magnitude)로 이용해서 큰 객체의 크기를 잴 수 있다.
2. 큰 객체가 작은 객체를 단위로 삼아 상대적 크기를 잴 때 큰 객체가 작은 객체 n개의 크기의 합과 같을 때 큰 객체는 작은 객체의 n배가 된다. 만약 작은 객체 n개의 크기의 합과 큰 객체 m개의 크기의 합이 같으면(n>m) 큰 객체는 작은 객체의 n/m배가 된다.
3. 한 객체(a)의 크기가 어떤 단위객체의 크기의 m배이고, 다른 객체(b)의 크기가 그 단위객체의 n배일 때 a에 대한 b의 상대적인 크기 n/m은 a에 대한 b의 비율이라고 한다. (여담으로 5권에서는 유리수에 대해서만 언급하며, 무리수는 10권에서 언급된다.)
4. 만약 두 객체에 대해 작은 객체의 n배가 큰 객체보다 더 커지는 수 n이 있다면 두 객체는 상대적인 비율을 갖는다고 말할 수 있다. (어떤 개체가 다른 개체의 유한한 숫자를 곱해서 같게 만들 수 있다는 이야기. 유한선분과 직선은 상대적인 비율을 갖지 않는다.)
5. 만약 첫 번째 객체(a)에 대한세 번째 객체(b)의 비율(c/a)과 두 번째 객체(d)에 대한 네 번째 객체(d)의 비율(d/b)이 같다고 가정하자.(c/a=d/b) 그러면 첫 번째 객체와 두 번째 객체에 대한 일정한 배율을 가진 객체와(ka, kb),세 번째 객체와 네 번째 객체에 대한 일정한 배율을 가진 객체(lc, ld)가 있을 때 첫 번째 객체의 배율체와 세 번째 객체의 배율체의 크기 관계는 두 번째 객체의 배율체와 네 번째 객체의 배율체의 크기 관계와 동일하다. (즉, ka>lc이면 kb>ld임을 말하는 것으로 용어를 정의하는 것이 아닌 정리 5번을 증명하기 위해 "공리적으로" 사용하는 명제.)
6. 만약 첫 번째 그룹의 k번째 객체(ak)에 대한 두 번째 그룹의 k번째 객체(bk)의 비율이 k값과 상관없이 같을 때 (bk/ak=bl/al ), 두 번째 그룹의 객체들은 첫 번째 그룹의 객체들에 비례한다고 말한다.
7. 만일 첫 번재 객체에 첫 번째 수만큼의 배율 (mA)이 두 번째 객체의 특정한 배율(nB)보다 더 크나(mA>nB) 세 번째 객체의 첫 번째 수만큼의 배율(mC)이 네 번째 객체의 두 번째 수만큼의 배율(nD)보다 크기 않으면 (mC≤nD) 첫 번째 객체의 두 번째 객체에 대한 비율은 세 번째 객체의 네 번째 객체에 대한 배율보다 더 크다 (A/B>C/D).
8. 최소한 3개의 객체가 있어야 두 객체에 대한 상대적인 비율을 정의할 수 있다. (즉b/a와 c/b의 비율을 비교하기 위해서는 최소한 세 개의 대상이 필요하다는 것을 의미한다.)
9. 만일 3개의 객체에 대해 연비 관계가 있다면 (즉, b/a=c/b이면), 가장 작은 객체에 대한 가장 큰 객체의 비율은 가장 작은 객체에 대한 두 번째 객체의 비율의 제곱(duplicate ratio)이다.
10. 만일 4개의 객체에 대해 연속적인 연비 관계가 있다면(즉, b/a=c/b=d/c), 가장 작은 객체에 대한 가장 큰 객체의 비율은 가장 작은 객체에 대한 두 번째 객체의 비율의 세제곱(triplicate ratio)이다.
11. 어떤 네 객체에 대해 비율이 같으면, (즉 a:b=c:d), 비율의 앞 항(antecedent)은 앞 항끼리, 비율의 뒤 항(consequents)은 뒤 항끼리 대응한다고 부른다. (즉, a와 c개 서로 대응하고, b와 d가 서로 대응한다고 말할 수 있습니다.)
12. 어떤 네 객체에 대해 등비 공식이 존재할 때 교대 비율(alternative ratio)은 두 앞 항의 앞쪽 객체에 대한 뒤쪽 객체의 비율이자, 두 뒤항의 앞쪽 객체에 대한 뒤쪽 객체의 비율이다. (즉, a:b=c:d가 주어지면 c/a가 주어진 등비관계식의 교대 비율이 되고, 이것은 d/b와도 같다는 것을 의미한다.)
13. 어떤 네 객체에 대해 등비 공식이 존재할 때 그 등비의 역비율(Inverse ratio)은 뒤 항에 대한 앞 항의 비율로 정의된다. (a:b=c:d일 때 b/a의 역비율은 c/d로 정의된다.)
14. 어떤 비율에 대한 결합 비율(taken jointly)은 뒤 항에 대한 앞 항과 뒤 항의 합의 비율을 의미한다. (즉 b/a =b:a에 대해 (a+b)/a=(a+b):a를 의미한다.)
15. 앞항이 뒤의 항보다 더 클때 어떤 비율에 대한 차이의 비율(taken seperately)은 뒤 항에 대한앞 항과 뒤 항의 차의 비율을 의미한다. (즉, b>a 일 때 b/a=b:a에 대한 (b-a)/a = (b-a): a를 의미합니다.)
16. 앞의 항이 뒤의 항보다더 클 때 어떤 비율에 대한 전환 비율은(conversion of a ratio) 뒤의 항에 대한 앞의 항과 뒤의 항의 차의 비율을 의미한다. (즉, a>b일 때 b/a=b:a에 대한 (a-b)/a = (a-b):a를 의미합니다.)
17. 엑스 아이퀄라이(ex aequali, 비율의 결합법칙)은 여섯 객체에 대해 a:b=d:e이고, b:c=e:f일 때 a:c=d:f임을 의미하는 것이다. (정리 22번을 설명하기 위한 개념설명.)
18. 교차 비율(perturbed proportion)은 여섯 객체에 대해 a:b=e:f이고, b:c=d:e일 때 a:c=d:f임을 보이는 것이다. (정의 23번을 설명하기 위한 개념설명.)
정리[편집 | 원본 편집]
모두 25개의 정리가 존재한다.
1. 어떤 객체들(a,b,c, …)이 존재한다. 그 객체들의 n배체들을 각각 작도하자(n*a, n*b, n*c …). 그렇다면 n배체들의 합은 원래 객체의 합의 정확히 n배가 된다.
2. 객체 A의 객체 B에 대한 배율이 객체 C의 객체 D에 대한 배율과 같다고 한다. 또한 객체 E의 객체 B에 대한 배율이 객체 F의 객체 D에 대한 배율과도 같자. 그렇다면 객체 A와 객체 E의 합의 객체 B에 대한 배율은 객체 C와 객체 F의 합의 객체 D에 대한 배율과 동일하다. (A:B=C:D, E:B=F:D then (A+E):B=(C+F):D )
3. A의 B에 대한 배율과 C의 D에 대한 배율이 같다고 한다. 이 때 E의 A에 대한 배율과 F의 C에 대한 배율아 같다고 하면 E의 B에 대한 배율과 F의 D에 대한 배율이 같다. (A:B=C:D, E:A=F:C, then E:B=F:D)
4. 객체 A의 객체 B에 대한 배율이 객체 C의 객체 D에 대한 배율과 같다고 한다. A에 대한 배율과 C에 대한 배율이 동일한 여러 가지 객체쌍(ni*A, ni*C)들이 존재할 때 그 객체쌍들은 B에 대한 배율과 D에 대한 배율이 같다. (A:C=B:D이면 ni*A:ni*C=B:D)
5. 만일 객체 A의 객체 B에 대한 배율이 객체 C의 객체 D에 대한 배율과 같다. 그렇다면 그 배율은 A와 C의 B와 D의 차의 배율과 같다. (A:B=C:D, E:B=F:D이면 (A-E):B=(C-F):D)
6. 만약 A의 B에 대한 배율이 C의 D에 대한 배율과 같다. 이 때 A에서 B의 n배를 빼고, C에서 D의 n배를 뺄 때 그 각각의 나머지의 B에 대한 배율과 D에 대한 배율은 동일하다. (A:B=C:D이면 A-nB:B=C-nD:D)
7. 만약 A와 B가 크기가 같으면 C의 A에 대한 배율과 C의 B에 대한 배율과 같다. 또한 A의 n배체와 B의 n배체는 동일하며, C의 n배체의 A의 n배체에 대한 배율은 C의 n배체의 B의 n배체에 대한 비율과 같다. (A=B → nA=nB)
8. 만약 A가 B보다 더 크면 A의 C에 대한 배율은 B의 C에 대한 배율보다 더 크다. 반면 D의 A에 대한 배율은 D의 B에 대한 배율보다 더 작다. (A>B이면 A/C>B/C이며, D/A <D/B이다.)
9. C의 A에 대한 배율과 C의 B에 대한 배율이 같으면 A와 B는 길이가 같다. (7의 역)
10. A의 C에 대한 배율이 B의 C에 대한 배율보다 더 크면 A는 B보다 더 크다. (8의 역)
11. 만일 A에 대한 B의 배율이 C에 대한 D의 배율과 같고, C에 대한 D의 배율이 E에 대한 F의 배율과 같다. 그러면 A에 대한 B의 배율과 E에 대한 F의 배율은 같다.
12. n개의 순서쌍 (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)이 있다고 하자. 만약 앞의 것에 대한 뒤의 것의 배율이 모두 같으면 앞의 것의 합에 대한 뒤의 것의 합의 배율은 모두 동일하다.
13. 만일 A에 대한 B의 배율이 C에 대한 D의 배율과 같고, C에 대한 D의 배율이 E에 대한 F의 배율보다 더 크다고 가정하자. 그렇다면 A에 대한 B의 배율은 E에 대한 F의 배율보다 더 크다.
14. 만일 A에 대한 B의 비율과 C에 대한 D의 비율이 같다고 하자. 그렇다면 A가 C보다 더 클 때 B가 D보다 더 크고, A와 C가 같으면 B와 D도 같고, A가 C보다 더 작으면 B는 D보다 더 작다.
15. 만일 A의 B에 대한 배율이 C의 D에 대한 배율과 같다고 하면 (A=kB, C=kD), A의 C에 대한 비율은 B의 D에 대한 비율과 같다.
16. 만일 A에 대한 B의 비율과 C에 대한 D의 배율이 같으면 A에 대한 C의 배율과 B에 대한 D의 배율은 동일하다.
17. A와 C의 합의 C에 대한 비율과 B와 D의 합의 D에 대한 비율이 같으면 A의 C에 대한 비율과 B의 D에 대한 비율은 동일하다.
18. A의 C에 대한 비율과 B의 D에 대한 비율이 같으면 A와 C의 합의 C에 대한 비율과 B와 D의 합의 D에 대한 비율은 동일하다. (17번의 역)
19. B가 A의 부분이고, D가 C의 부분이라고 가정하자. A의 C에 대한 비율이 B의 D에 대한 비율과 동일하면 그 비율은 A와 B의 차의 C와 D의 차에 대한 비율과 같다.
20. A, B, C, D, E, F 여섯 선분이 존재한다. 이 때 A에 대한 B의 비율이 D에 대한 E의 배율과 같고, B에 대한 C의 배율이 E에 대한 F의 배율과 같다고 하자. 이 때 A가 C보다 더 크면 D는 F보다 더 크고, A가 C와 같으면 D는 F와 같으며, A가 C보다 더 작으면 D는 F보다 더 작다.
21. A, B, C, D, E, F 여섯 선분이 존재한다. 이 때 A에 대한 B의 비율이 E에 대한 F의 배율과 같고 B에 대한 C의 배율이 D에 대한 E의 배율과 같다. 그렇다면 A가 C보다 더 크면 D는 F보다 더 크고, A가 C와 같으면 D는 F와 같고, A가 C보다 더 작으면 D는 F보다 더 작다.
22. A, B, C, D, E, F 여섯 선분이 존재한다. 이 때 A에 대한 B의 비율이 D에 대한 E의 배율과 같고, B에 대한 C의 배율이 E에 대한 F의 배율과 같다고 하자. 이 때 A에 대한 C의 배율은 D에 대한 F의 배율과 동일하다. (ex equali : A:B=D:E, B:C=D:F이면 A:C=D:F)
23. A, B, C, D, E, F 여섯 선분이 존재한다. 이 때 A에 대한 B의 비율이 E에 대한 F의 배율과 같고 B에 대한 C의 배율이 D에 대한 E의 배율과 같다. 그렇다면 A에 대한 C의 비율은 D에 대한 F의 비율과 동일하다. (ex aequali A:B=E:F, B:C=D:E이면 A:C=D:F)
24. A와 B의 비율과 C와 D의 비율이 같고, E와 B의 비율과 F와 D의 비율이 동일하면 A와 E의 합과 B의 비율은 C와 F의 합과 D의 비율과 동일하다.
25. A와 B의 비율이 C와 D의 비율과 동일하다고 가정하자. 그러면 가장 긴 선분과 가장 짧은 선분의 합은 나머지 두 선분의 합보다 더 길다.
참조[편집 | 원본 편집]
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