개요[편집 | 원본 편집]
타원 기하학의 특별한 경우로, 일반적인 타원체가 아닌 구 위에서의 기하학을 말한다. 주로 반지름이 1인 구(=[math]\displaystyle{ \mathbb{S}^2 }[/math])를 다루게 되는데, 모든 구는 서로 닮았기 때문에 반지름이 [math]\displaystyle{ r }[/math]이면 그에 맞게 비례상수를 곱해주면 되기 때문.
타원 기하학에 속하기 때문에, 타원 기하학과 동일한 모델을 사용한다. 구면 기하학에서의 점, 선, 삼각형. 원의 정의는 타원 기하학을 참조하자. 아래 내용은 전부 [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^2 }[/math]를 기준으로 한다.
상세[편집 | 원본 편집]
두 점 사이의 거리[편집 | 원본 편집]
구 위의 서로 다른 두 점을 [math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math], 구의 중심을 [math]\displaystyle{ O }[/math]라 하자. 일단 구를 [math]\displaystyle{ P,\,Q,\,O }[/math]를 지나는 평면으로 자르면 반지름이 1인 원이 된다. 이 때, [math]\displaystyle{ POQ }[/math]는 부채꼴이 되고, 중심각을 [math]\displaystyle{ \angle{POQ}=2\theta }[/math]라 하면 구면 기하학에서의 두 점 사이의 거리는 [math]\displaystyle{ 2\theta }[/math]가 된다. 하지만 3차원 공간에서 이 중심각의 크기를 찾기는 힘드므로, 다른 방법이 필요하다. 우선, [math]\displaystyle{ \triangle{POQ} }[/math]는 이등변삼각형이므로, [math]\displaystyle{ O }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \overline{PQ} }[/math]에 수선은 중심각 [math]\displaystyle{ \angle{POQ} }[/math]를 이등분한다. 즉, [math]\displaystyle{ \overline{PQ} }[/math]의 중점을 [math]\displaystyle{ M }[/math]이라 하면 [math]\displaystyle{ \angle{POM}=\angle{QOM}=\theta }[/math]인 것. 이제, 삼각함수를 사용하면 [math]\displaystyle{ PQ=2PM=2\sin\theta }[/math]이다.[1] 따라서, [math]\displaystyle{ \theta=\arcsin\left(\frac{1}{2}PQ\right) }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ 2\theta=2\arcsin\left(\frac{1}{2}PQ\right) }[/math]이다. 즉, 두 점의 유클리드 거리를 알면 구면 거리를 구할 수 있다.
삼각함수[편집 | 원본 편집]
구 위에 삼각형 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]가 있다고 하자. 먼저, [math]\displaystyle{ x=\vec{OA},\,y=\vec{OB},\,z=\vec{OC} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]를 각각 [math]\displaystyle{ \angle{A},\,\angle{B},\,\angle{C} }[/math]의 값이라고 하자. 우선, [math]\displaystyle{ A }[/math]의 크기를 찾아보자.
[math]\displaystyle{ A }[/math]는 구 위의 선분 [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math]가 이루는 각으로 정의된다. 그런데, 각 선분은 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,O }[/math]를 지나는 평면과 [math]\displaystyle{ A,\,C,\,O }[/math]를 지나는 평면 위에 존재하므로, 두 선분의 사이각은 두 평면의 사이각으로 정의된다. 한편, 두 평면의 사이각은 두 평면의 수직 벡터가 이루는 각으로 정의되고, 각 평면 위의 서로 다른 두 벡터[2]를 알고 있으므로, 외적을 이용하여 수직 벡터를 찾을 수 있다. 두 수직 벡터를 찾았다면 내적을 이용하여 각도를 구할 수 있다.
하지만 고작 각도 하나를 구하고자 외적에 내적에 여러 가지를 쓰자니 참 시간이 많이 걸리므로, 보통은 벡터 항등식을 이용하여 구면 기하학의 코사인 법칙과 사인 법칙을 유도한 뒤, 공식을 쓴다. 일단 구면 기하학의 코사인 법칙을 유도하자.
- [math]\displaystyle{ \begin{align*}\left(x\times y\right)\cdot\left(x\times z\right)&=x\cdot\left(y\times\left(x\times z\right)\right)\\&=x\cdot\left(x\cdot\left(y\cdot z\right)-z\cdot\left(x\cdot y\right)\right)\\&=y\cdot z-\left(x\cdot z\right)\left(x\cdot y\right)\\&=\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma\qquad\cdots1\end{align*} }[/math]
제일 마지막의 [math]\displaystyle{ \alpha,\,\beta,\,\gamma }[/math]는 [math]\displaystyle{ x,\,y,\,z }[/math]가 이루는 각들이다. 한편,
- [math]\displaystyle{ \begin{align*}\left(x\times y\right)\cdot\left(x\times z\right)&=\left\|x\right\|\left\|y\right\|\sin\gamma\cdot\left\|x\right\|\left\|z\right\|\sin\beta\cdot\cos A\\&=\sin\gamma\sin\beta\cos A\qquad\cdots2\end{align*} }[/math]
이므로, [math]\displaystyle{ 1=2 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \cos\alpha=\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma\cos A }[/math]를 유도할 수 있다. 비슷한 방법으로 다른 두 각에 대한 코사인 법칙을 유도할 수 있다.
그런데, [math]\displaystyle{ \alpha,\,\beta,\,\gamma }[/math]를 [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^2 }[/math] 위에서 실제로 계산하면, 삼각형의 세 변의 길이와 같다는 사실을 알 수 있다. 이제, 세 변의 길이를 [math]\displaystyle{ a,\,b,\,c }[/math]라 정의하면 코사인 법칙은 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \begin{align*}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos b&=\cos a\cos c+\sin a\sin c\cos B\\\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\end{align*} }[/math]
사인 법칙은 코사인 법칙에서 유도된다. [math]\displaystyle{ \cos A=\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c} }[/math]이므로,
- [math]\displaystyle{ \sin^2A=1-\cos^2A=1-\left(\frac{\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}\right)^2 }[/math]
이고, 우변을 정리하면 [math]\displaystyle{ \frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\left(1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c\right)^{\frac{1}{2}}}{\sin a\sin b\sin c} }[/math]이다. 그런데 우변을 잘 살펴보면, 대칭식임을 알 수 있다. 따라서,
- [math]\displaystyle{ \frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}=\frac{\left(1-\cos^2a-\cos^2b-\cos^2c+2\cos a\cos b\cos c\right)^{\frac{1}{2}}}{\sin a\sin b\sin c} }[/math]
이고, 이게 구면 기하학의 사인 법칙이다.
삼각형의 넓이[편집 | 원본 편집]
우선, 구 위의 두 선은 서로 대척점에서 만나며, 4개의 조각을 만들어낸다. 각 조각을 활꼴(Lune)이라 부르며, 4개의 활꼴은 두 쌍씩 동일하다는 사실을 알 수 있다.[3] 활꼴의 사이각을 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]라 한다면, 이 활꼴의 넓이는 구의 겉넓이의 [math]\displaystyle{ \tfrac{\alpha}{2\pi} }[/math]임을 알 수 있다. 한편, 구의 겉넓이는 [math]\displaystyle{ 4\pi r^2=4\pi }[/math]이므로, 사이각이 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]인 활꼴의 넓이는 [math]\displaystyle{ 2\alpha }[/math]가 된다.
이제 구 위의 세 선과 그 세 선이 이루는 삼각형을 생각하자. 먼저, 세 선은 구를 8개로 나누며, 8개의 조각은 두 쌍씩 동일하다. 삼각형의 세 내각을 각각 [math]\displaystyle{ \alpha,\,\beta,\,\gamma }[/math]라 하고, 삼각형의 넓이를 [math]\displaystyle{ \Delta }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha,\,\beta,\,\gamma }[/math]를 사이각으로 가지는 활꼴에서 삼각형을 뺀 부분의 넓이를 [math]\displaystyle{ \Delta\alpha,\,\Delta\beta,\,\Delta\gamma }[/math]로 정의하자. 그럼,
- [math]\displaystyle{ \Delta+\Delta\alpha=2\alpha }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Delta+\Delta\beta=2\beta }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Delta+\Delta\gamma=2\gamma }[/math]
이고, 세 식을 더하면 [math]\displaystyle{ 3\Delta+\Delta\alpha+\Delta\gamma+\Delta\gamma=2\left(\alpha+\beta+\gamma\right) }[/math]이다. 그런데, 8개의 조각이 쌍끼리 동일하므로, [math]\displaystyle{ 2\left(\Delta+\Delta\alpha+\Delta\gamma+\Delta\gamma\right)=4\pi }[/math]이다. 이 두 식을 정리하면, [math]\displaystyle{ \Delta=\alpha+\beta+\gamma-\pi }[/math]이다.
한편, 삼각형의 넓이는 양수이므로, 삼각형의 세 내각의 합은 180°보다 반드시 크다는 사실을 알 수 있다. 유클리드 기하학에서는 정확하게 180°, 쌍곡 기하학에서는 180°보다 작다는 것과 확실하게 구분되는 사실. 또한, 사케리-르장드르 정리에 따르면 절대 기하학에서의 삼각형의 내각의 합은 180°보다 작거나 같으므로, 구면 기하학은 절대 기하학이 아니라는 사실도 다시 한 번 확인할 수 있다. 게다가, 직사각형이 존재하지 않음도 알 수 있는데, 직사각형의 내각의 합은 360° 이고, 직사각형을 두 삼각형으로 쪼개면 두 삼각형 중 하나는 180°보다 작은 내각의 합을 가지게 되기 때문이다.
등거리 사상[편집 | 원본 편집]
등거리사상(Isometry)이란, 거리를 보존하는 사상을 말한다. 유클리드 기하학에서의 등거리 사상은 평행이동, 대칭이동, 회전이동, 그리고 평행이동과 대칭이동을 합한 그리고 미끄럼 반사(glide reflection)의 4종류로 나눠지지만, 구면 기하학에서는 대칭이동, 회전이동, 미끄럼 반사의 3종류만 존재한다. 평행이동이 없는 이유는, 평행이라는 개념 자체가 존재하지 않기 때문. 이 문단에서는 구면 기하학의 등거리 사상의 종류와 성질에 대해 간략하게 알아보자. [math]\displaystyle{ d }[/math]는 거리함수를 말한다.
정리
등거리 사상은 대척점을 대척점으로 옮긴다.
증명 [math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math]가 대척 관계에 있다면, [math]\displaystyle{ d\left(P,Q\right)=\pi }[/math]이고, 역도 성립한다. 한편, [math]\displaystyle{ f }[/math]를 임의의 등거리 사상이라 하면, [math]\displaystyle{ d\left(f\left(P\right),f\left(Q\right)\right)=d\left(P,Q\right)=\pi }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ f\left(P\right),\,f\left(Q\right) }[/math] 역시 대척 관계에 있다. |
정리
구 위의 두 점에 대해, 이 두 점까지의 거리가 같은 점들의 집합은 구의 중심을 지나는 평면이다.
증명 [math]\displaystyle{ P=\left(a_1,b_1,c_1\right),\,Q=\left(a_2,b_2,c_2\right) }[/math]을 구 위의 두 점이라 하자. 그럼, 거리가 같은 점들의 자취는 [math]\displaystyle{ \left(x-a_1\right)^2+\left(y-b_1\right)^2+\left(z-c_1\right)^2=\left(x-a_2\right)^2+\left(y-b_2\right)^2+\left(z-c_2\right)^2 }[/math]이고, 이를 정리하면 [math]\displaystyle{ \left(a_1-a_2\right)x+\left(b_1-b_2\right)y+\left(c_1-c_2\right)z=0 }[/math]이다. 이 방정식은 원점(=구의 중심)을 지나는 평면이다. |
정리
구면 기하학의 임의의 등거리 사상은 공선점이 아닌 세 점에 의해 결정된다. 또한, 임의의 등거리 사상은 최대 3개의 대칭변환의 합성이다.
정리
등거리 사상은 선(=대원)을 선으로 이동시킨다.
증명 3차원 유클리드 공간으로 확장시키자. 그럼 대원은 평면으로 확장된다. 평면을 평면에 대칭시키면 평면이 되고, 이를 다시 구 위로 제한시키면 대원이 된다. 따라서, 대칭변환은 선을 선으로 이동시킨다. 그런데, 구면 기하학의 임의의 등거리 사상은 대칭변환의 합성으로 나타낼 수 있으므로, 증명하고자 하는 바가 증명되었다. |
임의의 등거리 사상은 최대 3개의 대칭변환이라는 사실에서, 필요한 대칭변환의 수에 따라 등거리 사상을 분류할 수 있다. 대칭변환이 하나만 있다면 그것은 당연히 그냥 대칭변환이고, 대칭변환을 2개 합성했다면 유클리드 기하학과 마찬가지로 회전변환이 된다. 3개 합성했다면 일반적으로 미끄럼 반사(=회전변환+대칭이동)가 되지만, 서로 수직인 세 평면에 대칭시켰다면 대척점으로 이동시키는 대척변환(Antipodal map)이 된다.