절대 기하학

절대 기하학(Absolute Geometry / Neutral Geometry)은 기하학의 공리 체계 중 하나로, 결합 기하학의 확장판이라고 생각하면 편하다. 결합 기하학 항목을 보면 알겠지만, 결합 기하학의 공리 3개 만으로는 별로 할 수 있는 것이 없기 때문에 확장이 불가피한데, 그 결과가 바로 이 절대 기하학이다. 절대 기하학은 중립 기하학이라는 이름으로도 불리는데, 절대 기하학의 모든 내용은 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학에 관계없이 모두 성립하기 때문이다. 하지만 타원 기하학에서 성립하지 않는 경우가 있는데, 타원 기하학은 결합 기하학이 아니기 때문. 타원 기하학은 절대 기하학과는 좀 많이 다른 독자적인 기하학 체계를 가진다.

모델

결합 기하학의 확장판인 만큼, 절대 기하학의 모델은 결합 기하학의 모델을 포함한다. 무정의 용어 중 점, 선, 공선점, 교점, 등은 결합 기하학과 같은 방법으로 정의하고, 추가로 거리, 반평면, 각도 같은 무정의 용어가 존재한다. 일단 공리를 살펴보자.

공리 1 (A1, 존재성 공준) 모든 점의 집합은 공집합이 아니며, [math]\displaystyle{ \mathbb{P} }[/math]로 나타낸다. 더욱이, [math]\displaystyle{ \mathbb{P} }[/math]에는 적어도 서로 다른 두 점이 존재한다. 공리 2 (A2, 결합 공준) 모든 선은 점들의 집합이며, 서로 다른 두 점에 대해, 그 두 점을 지나는 선이 유일하게 존재한다. 두 점을 [math]\displaystyle{ A,\,B }[/math]라 나타낸다면, 유일한 선을 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]로 나타낸다. 공리 3 (A3, 거리 공준) 서로 다른 두 점 [math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math] 사이의 거리를 나타내는 실수 [math]\displaystyle{ PQ }[/math]가 존재한다. 좀 더 구체적으로 풀어쓰면, [math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math]를 지나는 (유일한) 직선을 [math]\displaystyle{ l }[/math]이라 하면, 일대일대응 함수 [math]\displaystyle{ f:l\to\mathbb{R} }[/math]이 존재한다는 뜻이다. 만약 [math]\displaystyle{ f\left(P\right)=x,\,f\left(Q\right)=y }[/math]이라 하면, 두 점 사이의 거리는 [math]\displaystyle{ PQ=\left|x-y\right| }[/math]로 정의된다. 공리 4 (A4, 평면 분할) 임의의 직선 [math]\displaystyle{ l }[/math]에 대해서, [math]\displaystyle{ l }[/math]위에 존재하지 않는 점들은 분리된 공집합이 아닌 두 집합 [math]\displaystyle{ H_1,\,H_2 }[/math]를 구성한다. 이 두 집합을 [math]\displaystyle{ l }[/math]에 의해 결정된 두 반평면이라 부른다. 더욱이, 반평면은 볼록 집합이고, [math]\displaystyle{ P\in H_1,\,Q\in H_2 }[/math]이면 선분 [math]\displaystyle{ \overline{PQ} }[/math]는 [math]\displaystyle{ l }[/math]과 반드시 교차한다. 공리 5 (A5, 각도 공준) 임의의 각 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math]에 대해, 실수 [math]\displaystyle{ \mu\left(\angle{BAC}\right) }[/math]가 존재하여, 아래 네 성질을 만족한다. [math]\displaystyle{ 0\leq\mu\left(\angle{BAC}\right)\lt 180 }[/math] [math]\displaystyle{ \mu\left(\angle{BAC}\right)=0 }[/math]임과 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC} }[/math]임은 동치이다. (각도 작도) [math]\displaystyle{ 0\lt r\lt 180 }[/math]인 각 실수와 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]에 의해 결정된 두 반평면에 대해, 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AE},\,E\in H }[/math]([math]\displaystyle{ H }[/math]는 반평면 중 하나)이 존재하여 [math]\displaystyle{ \mu\left(\angle{EAB}\right)=r }[/math]이 성립한다. (각도 합) [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC} }[/math] 사이에 존재한다면, [math]\displaystyle{ \mu\left(\angle{BAC}\right)=\mu\left(\angle{BAD}\right)+\mu\left(\angle{DAC}\right) }[/math]이 성립한다. 공리 6 (A6, SAS 합동) 만약 두 삼각형 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC},\,\triangle{DEF} }[/math]가 [math]\displaystyle{ AB=DE,\,\mu\left(\angle{ABC}\right)=\mu\left(\angle{DEF}\right),\,BC=EF }[/math]임을 만족하면, [math]\displaystyle{ \triangle{ABC}\cong\triangle{DEF} }[/math]이다.

공리를 보면 알겠지만, 공리 안에서도 정의되지 않은 것들이 존재한다. 그렇기 때문에 절대 기하학을 배울 때는 6개의 공리를 한번에 다 배우지 않고, 공리 중간에 다른 정의나 정리를 배우고 다음 공리로 넘어가는 식으로 배우게 된다.

일단, 첫 번째 공리는 절대 기하학이라는 것이 존재할 수 있게 보장해준다. 점이 하나도 존재하지 않는 기하학이라니 상상이나 가는가(...). 두 번째 공리는 이름에서 느낌이 오듯이, 결합 기하학의 세 공리를 합친 것에 불과하다. 세 번째 공리부터 뭔가 새로운 것이 등장하는데, 각 공리당 딸려오는 정의와 정리가 상당히 많다. 이 공리들과 그에 딸려오는 정리들을 알고 싶다면 아래 해석 문단을 참고하자.

해석

일단 A1~A3까지 가정하고, 선과 거리에 대해서 먼저 알아보자.

선과 거리

거리에 대해서 알기 위해서는 먼저 선에 대해서 알 필요가 있다. 먼저 두 점 사이에 존재한다는 것과, 선분, 반직선에 대해 정의하자.

정의

[math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]를 서로 다른 세 점이라고 가정하자. 만약 이 세 점이 공선점이고, [math]\displaystyle{ AC+CB=AB }[/math]이면, [math]\displaystyle{ C }[/math]가 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 [math]\displaystyle{ B }[/math] 사이에 있다고 하며, 기호로는 [math]\displaystyle{ A*C*B }[/math]로 나타낸다. [math]\displaystyle{ A,\,B }[/math]를 서로 다른 두 점이라고 가정하자. 그럼, 선분 [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math]를 [math]\displaystyle{ \left\{A,\,B\right\}\cup\left\{C|A*C*B\right\} }[/math]로 정의한다. 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cup\left\{C|A*B*C\right\} }[/math]로 정의한다.

선에 대한 정의는 이걸로 끝. 이제 거리에 대한 가장 기본적인 성질을 살펴보자.

정리

[math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math]를 임의의 두 점이라고 가정하자. [math]\displaystyle{ PQ=QP }[/math] [math]\displaystyle{ PQ\geq0 }[/math] [math]\displaystyle{ PQ=0\Leftrightarrow P=Q }[/math]

증명 A3(거리 공준)에 의해, 점 [math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math]에 대응하는 두 실수 [math]\displaystyle{ x,\,y }[/math]를 찾을 수 있다. 그럼, [math]\displaystyle{ PQ=\left|x-y\right|=\left|y-x\right|=QP }[/math]. 또한, 실수의 성질에 의해, [math]\displaystyle{ PQ\geq0 }[/math]. 마지막으로, [math]\displaystyle{ PQ=\left|x-y\right|=0\Leftrightarrow x=y\Leftrightarrow P=Q }[/math].

수학을 조금 배운 사람이라면, 위 세 성질은 거리공간이 되기 위한 조건의 일부라는 것을 알 수 있다. 마지막 조건인 삼각부등식은 한참 뒤에 가서야 증명이 가능하므로 일단 생략하자.

A3만으로도 충분히 거리에 대해 완전한 이해가 가능하지만, 너무 추상적이라는 문제가 있다. 점과 실수를 일대일로 대응시킨다니, 직관적으로 상상이나 가는가? 이 문제를 해결하기 위한 것이 바로 좌표함수(Coordinate Function)이다. 좌표함수는 아래와 같이 정의된다.

정의

[math]\displaystyle{ l }[/math]이 직선이고, 단사함수 [math]\displaystyle{ f:l\to\mathbb{R} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \forall P,\,Q\in l }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ PQ=\left|f\left(P\right)-f\left(Q\right)\right| }[/math]을 만족하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]를 [math]\displaystyle{ l }[/math]의 좌표함수라 부른다.

A3을 잘 살펴보면, A3은 좌표함수가 존재한다는 것을 보장해준다는 것을 알 수 있다. 이해를 돕기위해 좌표함수의 한 예를 들어보자. 데카르트 평면 위의 두 점 [math]\displaystyle{ P=\left(a,b\right),\,Q=\left(c,d\right) }[/math]에 대해, 이 두 점 사이의 거리는 [math]\displaystyle{ \sqrt{\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2} }[/math]임을 누구나 다 알고 있다. 이제, [math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math]를 지나는 직선을 [math]\displaystyle{ l:y=mx+k }[/math]이라 정의하면, 한 좌표함수는 [math]\displaystyle{ f\left(x,y\right)=x\sqrt{1+m^2} }[/math]이다. 증명은 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일이라는 것과 [math]\displaystyle{ PQ=\left|f\left(P\right)-f\left(Q\right)\right| }[/math]임을 만족한다는 것을 보이면 된다. 쉬우므로 생략.

벡터와 관련된 문제를 풀다보면, 한 점을 원점으로 가정하고 풀면 문제가 간단해 지는 경우가 많다는 것을 알고 있을 것이다. 그럼 거리를 측정할 때도 한 점을 원점으로 두고 측정하면 간단해 진다는 것을 유추할 수 있는데, 무슨 방법으로 한 점을 원점으로 고정시킬 수 있을까? 바로 앞서 정의한 좌표함수를 이용한다.

정리 (거리 재배열, Ruler Placement)

두 점 [math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ f:\overleftrightarrow{PQ}\to\mathbb{R},\,f\left(P\right)=0,\,f\left(Q\right)\gt 0 }[/math]을 만족하는 좌표함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 존재한다.

증명 A3에 의해, 좌표함수 [math]\displaystyle{ g:\overleftrightarrow{PQ}\to\mathbb{R} }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ g\left(P\right)=c }[/math]이라 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ f:\overleftrightarrow{PQ}\to\mathbb{R} }[/math]를 [math]\displaystyle{ f\left(X\right)=g\left(X\right)-c }[/math]로 정의하면, [math]\displaystyle{ f\left(P\right)=0 }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ f\left(Q\right)\gt 0 }[/math]이면, 증명은 끝. 만약 [math]\displaystyle{ f\left(Q\right)\lt 0 }[/math]이면, [math]\displaystyle{ -f }[/math]가 원하는 좌표함수이다.

위 증명에서는 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 좌표함수이면 [math]\displaystyle{ f+c,\,-f }[/math] 역시 좌표함수라는 사실을 이용하였다. 이것에 대한 증명은 간단하므로 역시 생략.

좌표함수와 선에 관한 정의를 잘 살펴보면 아래 세 가지 성질을 알 수 있다.

서로 다른 세 점 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]가 [math]\displaystyle{ B\in\overrightarrow{AC} }[/math]이라고 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ A*B*C\Leftrightarrow AB\lt AC }[/math]. [math]\displaystyle{ A,\,B }[/math]가 임의의 두 점이고 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 재배열된 좌표함수라면, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=\left\{P\in l|f\left(P\right)\geq0\right\} }[/math]. (점 작도) [math]\displaystyle{ A,\,B }[/math]가 서로 다른 두 점이고 [math]\displaystyle{ d\geq0 }[/math]인 실수라면, [math]\displaystyle{ C\in\overrightarrow{AB},\,AC=d }[/math]인 [math]\displaystyle{ C }[/math]가 존재한다.

위 세 성질 중 가장 중요하게 봐야할 것은 당연 3번째, 점 작도 성질로, 이를 이용해 중점의 존재성과 유일성을 보일 수 있다. 먼저 중점에 대해 정의하자.

정의

선분 [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ AM=MB }[/math]를 만족하는 [math]\displaystyle{ M\in\overline{AB} }[/math]를 선분의 중점이라 부른다.

증명 (중점의 존재성과 유일성) A3에 의해, 좌표함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 존재한다. 이제, [math]\displaystyle{ M }[/math]을 [math]\displaystyle{ f\left(M\right)=\left(f\left(A\right)+f\left(B\right)\right)/2 }[/math]를 만족하는 점이라 하자. 이러한 점은 점 작도 성질에 의해 존재한다. 그럼, [math]\displaystyle{ AM=\left|f\left(A\right)-f\left(M\right)\right|=\left|\left(f\left(A\right)-f\left(B\right)\right)/2\right|=\left|f\left(B\right)-f\left(M\right)\right|=BM }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ M }[/math]은 중점이다. 또한, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 일대일 함수이므로, [math]\displaystyle{ M }[/math]은 유일하다.

A1~A3으로 할 수 있는 것은 여기까지. 이제 A4를 가정하자. A4는 A5를 위한 준비 과정으로, A5에서 증명할 딥 다크(...)한 정리들의 기반이 된다.

평면 분할

먼저 A4가 뭔 소리를 하는 것인지 알아보자. 한 평면과 그 평면 안에 한 직선이 있다고 생각하자. 그럼 평면은 그 직선 위쪽과 아래쪽, 그리고 직선 그 자체의 세 가지로 구분된다. 여기서 직선 그 자체를 제외한 다른 두 개를 각각 반평면(Half-plane)이라 부르는 것이다. 반평면이 볼록 집합(convex)이라는 것은, 반평면 위의 두 점을 찍었을 때, 그 두 점을 이은 선분 전체 역시 반평면에 속해 있다는 것을 뜻한다. 마지막으로, 두 반평면에서 각각 점 하나씩 찍고, 그 두 점을 이으면, 반평면을 구분하는 직선과 만난다는 것이 마지막 내용. 그림으로 그리면 좀 더 직관적으로 이해할 수 있을 것이다. 마지막 내용을 다르게 표현하면 아래와 같다.

[math]\displaystyle{ A,\,B\not\in l }[/math]이라 하자. 만약 [math]\displaystyle{ A,\,B }[/math]가 [math]\displaystyle{ l }[/math]을 기준으로 같은 반평면에 속해있다면, [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cap l=\emptyset }[/math]이다. 역도 성립한다.

위 성질을 응용하면 아래 명제를 증명할 수 있다. 증명은 쉬우므로 생략.

정리 (반직선 정리)

직선 [math]\displaystyle{ l }[/math]과 두 점 [math]\displaystyle{ A,\,B }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ A\in l,\,B\not\in l }[/math]이라 하자. 만약 [math]\displaystyle{ C\in\overrightarrow{AB} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ C\neq A }[/math]라면, [math]\displaystyle{ B,\,C }[/math]는 [math]\displaystyle{ l }[/math]을 기준으로 같은 반평면에 속해 있다.

이제 본격적으로 각도와 삼각형에 대해 정의해보자.

정의

두 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{AC} }[/math]이지만 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB}=\overleftrightarrow{AC} }[/math]이면 두 반직선을 서로 반대라고 한다. 각도는 반대가 아닌 두 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC} }[/math]의 합집합으로 정의하며, 기호로는 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math]나 [math]\displaystyle{ \angle{CAB} }[/math]을 사용한다. 각도 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math]가 있다고 가정하자. 직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} }[/math]에 의해 결정되는 두 반평면 중 [math]\displaystyle{ C }[/math]를 포함하는 쪽을 [math]\displaystyle{ H_C }[/math], 직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AC} }[/math]에 의해 결정되는 두 반평면 중 [math]\displaystyle{ B }[/math]를 포함하는 쪽을 [math]\displaystyle{ H_B }[/math]라고 하면, 각도의 내부를 [math]\displaystyle{ H_B\cap H_C }[/math]로 정의한다. 만약 두 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC} }[/math]가 반대라면 내부는 공집합이다. 만약 [math]\displaystyle{ D }[/math]가 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math]의 내부에 존재하면, 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]를 두 반직선 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC} }[/math] 사이에 존재한다고 부른다. 공선점이 아닌 세 점 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]에 대해, 삼각형 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]를 [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cup\overline{BC}\cup\overline{CA} }[/math]으로 정의한다.

여기까지 정의했으면, 아래 정리와 파슈(Pasch)의 공리를 증명할 수 있다. 공리인데 왜 증명하냐 싶지만, 그건 다른 공리계를 받아들였을 때 얘기이다. A4를 받아들이면 파슈의 공리의 당위성을 보일 수 있다.

정리

[math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]를 공선점이 아닌 세 점이라 하고, [math]\displaystyle{ D }[/math]를 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{BC} }[/math]위의 한 점이라 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ B*D*C }[/math]라면 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC} }[/math] 사이에 존재한다. 역도 성립한다.

증명 [math]\displaystyle{ B*D*C }[/math]라 가정하자. 그럼 반직선 정리에 의해 [math]\displaystyle{ C,\,D }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]를 기준으로 같은 반평면에 속해있다. 마찬가지로, [math]\displaystyle{ B,\,D }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AC} }[/math]를 기준으로 같은 반평면에 속해있다. 이는 곧 [math]\displaystyle{ D }[/math]가 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math] 내부에 있다는 뜻이고, 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC} }[/math] 사이에 존재한다. 역으로, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC} }[/math] 사이에 존재한다고 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ D }[/math]는 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math] 내부에 존재한다. 따라서 [math]\displaystyle{ B,\,D }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AC} }[/math]를 기준으로 같은 반평면에 속해있고, 마찬가지로 [math]\displaystyle{ C,\,D }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]를 기준으로 같은 반평면에 속해있다. 이는 곧 [math]\displaystyle{ B*D*C }[/math]임을 의미한다.

파슈의 공리

삼각형 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]와 직선 [math]\displaystyle{ l }[/math]이 존재하고, [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C\not\in l }[/math]이라 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ l\cap\overline{AB}\neq\emptyset }[/math]이면, [math]\displaystyle{ l }[/math]은 [math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math]나 [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math] 중 하나와 교차한다.

증명 [math]\displaystyle{ l }[/math]에 의해 결정되는 두 반평면을 [math]\displaystyle{ H_1,\,H_2 }[/math]라 하자. [math]\displaystyle{ l }[/math]과 [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math]가 교차하므로, [math]\displaystyle{ A,\,B }[/math]는 다른 반평면에 존재한다. [math]\displaystyle{ A\in H_1,\,B\in H_2 }[/math]라 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ C\not\in l }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ C\in H_1 }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ C\in H_2 }[/math]이다. 전자의 경우, [math]\displaystyle{ B,\,C }[/math]는 다른 반평면에 속해있고, 따라서 [math]\displaystyle{ l }[/math]과 [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math]는 교차한다. 후자의 경우, [math]\displaystyle{ l }[/math]은 [math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math]와 교차한다.

사실 반평면은 각도와 각도의 내부를 정의하기 위해 쓰인 도구일 뿐이다. 이제 A5를 받아들이고, 딥 다크한 각도의 세계를 살펴보자.

각도

A5는 네 가지 파트로 나뉜다. 먼저 거리를 정의했을 때와 비슷하게, 각도와 실수를 대응시키고, 그 함수를 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]라 부른다. 이 때, 대응되는 실수의 크기는 0에서 180사이이며 (1번째 파트), 각도가 0인 경우는 두 반직선이 동일할 경우이고 (2번째 파트), 실수가 주어졌을 때 그 실수를 각의 크기로 갖는 각도를 작도할 수 있으며 (3번째 파트), 마지막으로 두 각도를 더할 수 있다(4번째 파트)가 A5의 내용. 거리 공준의 큰 골자가 중점을 찾는 것이었듯이, 먼저 각의 이등분선을 찾는 것을 목표로 하자. 편의상 각의 크기에서 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]는 빼기로 한다.

정리

네 점 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C,\,D }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ C,\,D }[/math]가 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]를 기준으로 같은 반평면에 속해있다고 가정하자. 또한, [math]\displaystyle{ D\not\in\overrightarrow{AC} }[/math]이라 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ C }[/math]가 [math]\displaystyle{ \angle{BAD} }[/math] 내부에 존재하거나, [math]\displaystyle{ D }[/math]가 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math] 내부에 존재한다.

증명 [math]\displaystyle{ D }[/math]가 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math] 내부에 존재하지 않는다고 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ B,\,D }[/math]는 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AC} }[/math]을 기준으로 반대 반평면에 존재한다 (각 내부의 정의의 반대). 따라서, [math]\displaystyle{ \overline{BD}\cap\overleftrightarrow{AC}\neq\emptyset }[/math]이고, 이 교점을 [math]\displaystyle{ C' }[/math]이라 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ C' }[/math]는 [math]\displaystyle{ \angle{BAD} }[/math] 내부에 존재한다. 한편, [math]\displaystyle{ D,\,C,\,C' }[/math]는 모두 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]를 기준으로 같은 반평면에 속해있기 때문에 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AC} }[/math]이고, 이는 곧 [math]\displaystyle{ C }[/math]가 [math]\displaystyle{ \angle{BAD} }[/math]에 존재함을 의미한다.

정리 (반직선 사이, Betweenness of rays)

네 점 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C,\,D }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ C,\,D }[/math]가 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]를 기준으로 같은 반평면에 속해있다고 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \angle{BAD}\lt \angle{BAC} }[/math]임과 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AB} }[/math] 사이에 존재한다는 것은 동치이다.

증명 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AB} }[/math] 사이에 존재한다고 가정하자. 그럼 각도 합 공준에 의해 [math]\displaystyle{ \angle{BAD}+\angle{DAC}=\angle{BAC} }[/math]이고, 이는 곧 [math]\displaystyle{ \angle{BAD}\lt \angle{BAC} }[/math]임을 의미한다. 역으로, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]가 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AB} }[/math] 사이에 존재하지 않는다고 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ D\in\overrightarrow{AC} }[/math]라면, [math]\displaystyle{ \angle{BAD}=\angle{BAC} }[/math]이다. 아니라면, 바로 위 정리에 의해 [math]\displaystyle{ C }[/math]는 [math]\displaystyle{ \angle{BAD} }[/math] 내부에 존재한다. 그럼, 앞서 증명한 명제의 필요조건에 의해 [math]\displaystyle{ \angle{BAD}\gt \angle{BAC} }[/math]이다.

이제, 예각, 직각, 둔각과 각의 이등분선을 정의하자.

정의

[math]\displaystyle{ \mu\left(\angle{BAC}\right)=r }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ r\lt 90 }[/math]이면 예각 (Acute) [math]\displaystyle{ r=90 }[/math]이면 직각 (Right) [math]\displaystyle{ r\gt 90 }[/math]이면 둔각 (Obtuse) 이라 정의한다. 또한, [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math] 내부의 점 [math]\displaystyle{ D }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \mu\left(\angle{BAD}\right)=r/2 }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD} }[/math]를 각 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math]의 이등분선이라 부른다.

증명 (각의 이등분선의 존재성과 유일성) A5의 3번째 파트(각 작도)에 의해 각의 이등분선은 존재한다. 한편, 반직선 사이 정리에 의해 이 이등분선은 주어진 각의 내부에 존재한다. 마지막으로, 실수의 성질에 의해 이 이등분선은 유일하다.

이제, A6으로 넘어가기 위해 크로스바 정리와 평각 정리를 알아보자. 증명은 각 항목을 참고.

정리 (크로스바 정리, Crossbar Theorem)

삼각형 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math] 내부의 점 [math]\displaystyle{ D }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AD}\cap\overline{BC}\neq\emptyset }[/math]

정의

두 각 [math]\displaystyle{ \angle{BAD},\,\angle{DAC} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC} }[/math]가 반대라면, 이 두 각은 선형 쌍(Linear Pair)을 이룬다고 한다. 평각은 180°으로 정의한다. 두 각의 합이 평각이면, 두 각을 보각 (Supplementary) 관계라고 한다.

정리 (평각 정리, Linear Pair Theorem)

두 각이 선형 쌍을 이루면 두 각의 합은 평각이다.

각의 이등분선과 중점의 존재성과 유일성을 보였다면, 다음 스텝은 자연히 수직이등분선의 존재성과 유일성일 것이다. 먼저 두 직선이 직교(Perpendicular)한다는 것을 정의하자.

정의

[math]\displaystyle{ A }[/math]에서 만나는 두 직선 [math]\displaystyle{ l,\,m }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ B\in l,\,C\in m }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ \angle{BAC}=90 }[/math]이면 두 직선은 직교한다고 한다. 기호로는 [math]\displaystyle{ l\perp m }[/math]으로 나타낸다.

증명 (선분의 수직이등분선의 존재성과 유일성) 중점의 존재성과 유일성에 의해 선분의 중점의 존재성과 유일성이 보장된다. A5의 각도 작도와 실수의 성질에 의해 직각의 존재성과 유일성이 보장된다. 이 둘을 합치면 수직이등분선의 존재성과 유일성이 증명된다.

마지막으로, 맞꼭지각(Vertical Angle)에 대해 알고 가자.

정의

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AE} }[/math]가 반대이고, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD} }[/math]가 반대이면, [math]\displaystyle{ \angle{BAC} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \angle{DAE} }[/math]를 서로 맞꼭지각이라고 한다.

정리 (맞꼭지각 정리, Vertical Angle Theorem)

두 맞꼭지각의 크기는 같다.

증명은 평각 정리를 두 번 사용한다. 유클리드 기하학에서의 증명 동일하므로 여기서는 생략. 증명은 맞꼭지각 항목에 있다.

여기까지 이해했다면, 드디어 A6을 받아들이고, 삼각형에 대해 탐구할 수 있다.

삼각형

중학교에서는 삼각형의 합동을 배울 때 "SSS, SAS, ASA를 만족하면 당연히 합동이에요~ 꺄르륵" 이러지만, 실제로는 당연하지 않다. 공리로써 자명한 것은 SAS 뿐이고, SSS와 ASA는 따로 증명이 필요하다. 일단 이를 증명하기 전에, 이등변삼각형에 대해 먼저 간단히 집고 넘어가자.

정리

삼각형 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ AB=AC }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \angle{ABC}=\angle{ACB} }[/math]이다.

증명 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC}\cong\triangle{ACB} }[/math](SAS)이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \angle{ABC}=\angle{ACB} }[/math]. 역도 성립하긴 하는데, 이는 AAS 합동 조건을 증명해야 한다.

절대 기하학에서 삼각형을 탐구하는데 자주 쓰이는 것 중 하나는 바로 외각(Exterior Angle)이다. 유클리드 기하학에서 외각은 떨어진 두 내각의 합과 같다는 사실을 알고 있을 텐데, 절대 기하학에서는 그보다는 조금 약한 명제를 보일 수 있다. 우선 외각이 뭔지부터 정의하자.

정의

삼각형 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]에 대해, 점 [math]\displaystyle{ E }[/math]가 [math]\displaystyle{ B*C*E }[/math]를 만족한다고 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \angle{ACE} }[/math]는 삼각형의 내각 [math]\displaystyle{ \angle{ACB} }[/math]에 대한 외각이라고 정의한다. 다른 두 내각은 먼 내각(Remote Angle)이라고 부른다.

정리 (외각 정리, Exterior Angle Theorem)

외각은 두 먼 내각보다 각각 크다.

증명 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CD} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CB} }[/math]가 서로 반대가 되게 [math]\displaystyle{ D }[/math]를 잡자. [math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math]의 중점을 [math]\displaystyle{ E }[/math]라 하고, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{BE} }[/math] 위에 [math]\displaystyle{ BE=EF }[/math]가 되게 [math]\displaystyle{ F }[/math]를 잡자. 그럼, [math]\displaystyle{ \angle{AEB}=\angle{FEC} }[/math](맞꼭지각)이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \triangle{AEB}\cong\triangle{CEF} }[/math](SAS)이고, [math]\displaystyle{ \angle{CAB}=\angle{EAB}=\angle{ECF} }[/math]이다. 한편, [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AC} }[/math]를 기준으로 [math]\displaystyle{ B,\,F }[/math]는 다른 반평면에 존재하고, [math]\displaystyle{ B,\,D }[/math]역시 다른 반평면에 존재한다. 따라서, [math]\displaystyle{ F,\,D }[/math]는 같은 반평면에 존재한다. 비슷하게, [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{CD} }[/math]를 기준으로 [math]\displaystyle{ A,\,F }[/math]가 같은 반평면에 존재한다는 것을 보일 수 있다. 따라서, [math]\displaystyle{ F }[/math]는 [math]\displaystyle{ \angle{ACD} }[/math]의 내부에 존재한다. 그럼, 반직선 사이 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \angle{ACD}\gt \angle{ECF} }[/math]이다. 다른 먼 내각에 대해서는 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AC} }[/math]를 연장함으로써 증명할 수 있다.

외각 정리를 이용해서 수선의 존재성과 유일성을 보일 수 있다. 자세한 명제는 아래와 같다.

정리 (수선의 존재성과 유일성)

직선 [math]\displaystyle{ l }[/math]과 점 [math]\displaystyle{ P }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ P\in m }[/math]이고 [math]\displaystyle{ l\perp m }[/math]인 직선 [math]\displaystyle{ m }[/math]이 유일하게 존재한다.

증명 [math]\displaystyle{ P\in l }[/math]이면 수직이등분선의 존재성과 유일성에 의해 증명이 되었다. 이제 [math]\displaystyle{ P\not\in l }[/math]이라 가정하자. 먼저, 결합 공준에 의해 직선 [math]\displaystyle{ l }[/math] 위에 서로 다른 두 점 [math]\displaystyle{ Q,\,Q' }[/math]을 잡을 수 있다. 점 [math]\displaystyle{ R }[/math]을 반대편 반평면 위에 [math]\displaystyle{ \angle{Q'QP}=\angle{Q'QR} }[/math]이 되게 잡자 (각도 작도). [math]\displaystyle{ \overrightarrow{QR} }[/math] 위에 [math]\displaystyle{ QP=QP' }[/math]가 되게 [math]\displaystyle{ P' }[/math]를 잡자 (점 작도). 이제 [math]\displaystyle{ m=\overleftrightarrow{PP'} }[/math]이라 하자. A4에 의해 [math]\displaystyle{ \overline{PP'} }[/math]와 [math]\displaystyle{ l }[/math]은 교차한다. 교점을 [math]\displaystyle{ F }[/math]라 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \triangle{PQF}\cong\triangle{P'QF} }[/math]이다 (만약 [math]\displaystyle{ F=Q }[/math]이면 [math]\displaystyle{ Q }[/math]대신 [math]\displaystyle{ Q' }[/math]). 평각 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \angle{PFQ}+\angle{P'FQ}=180 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \angle{PFQ}=\angle{P'FQ} }[/math]이므로, 이 각은 직각이다. 따라서, [math]\displaystyle{ m }[/math]이 찾고자 하는 수선이다. 이제, 점 [math]\displaystyle{ P }[/math]에서 [math]\displaystyle{ l }[/math]위에 서로 다른 두 수선의 발 [math]\displaystyle{ X,\,X' }[/math]를 내릴 수 있다고 가정하자. 그럼, 삼각형 [math]\displaystyle{ PXX' }[/math]에 대해 외각 정리가 성립하지 않음을 알 수 있다. 따라서, 수선은 유일하다.

이제, 다른 삼각형의 합동 조건에 대해서 증명하자.

삼각형의 합동 조건

먼저, 두 삼각형이 합동이라는 것은, 세 각의 크기과 세 변의 길이가 전부 각각 같은 것을 의미한다. 그리고 절대 기하학의 한 공리로써, SAS만 만족하면 두 삼각형이 합동이라는 것이 보장된다. 하지만 우리가 알고있는 SSS, ASA 같은 다른 합동 조건은 공리가 아니므로, 증명이 필요한 명제이다. 다행인건, 유클리드 기하학의 평행선 공준을 사용하지 않고서도 충분히 증명이 가능하다.

ASA [math]\displaystyle{ \angle{CAB}=\angle{FDE},\,AB=DE,\,\angle{ABC}=\angle{DEF} }[/math]라고 가정하자. 일반성을 잃지 않고, [math]\displaystyle{ AC\geq DF }[/math]라고 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math]위에 [math]\displaystyle{ AC'=DF }[/math]를 만족하는 점 [math]\displaystyle{ C' }[/math]를 찾을 수 있다 (점 작도). 그럼, [math]\displaystyle{ \triangle{ABC'}\cong\triangle{ABC} }[/math](SAS)이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \angle{ABC}=\angle{ABC'} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ C }[/math]와 [math]\displaystyle{ C' }[/math]은 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AC} }[/math]위에 존재하는 공선점이다. 이를 만족하기 위해서는 [math]\displaystyle{ C=C' }[/math]이어야만 하고(각도 작도), 따라서 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC}\cong\triangle{DEF} }[/math]이다.

ASA 합동 조건을 증명했으면, AAS 합동 조건을 증명할 수 있다. 유클리드 기하학에서는 세 내각의 합이 180으로 고정되어 있으니 AAS와 ASA는 근본적으로 같지만, 여긴 절대 기하학이다. 삼각형의 세 내각의 합이 180이라는 사실은 평행선 공준과 동치이기 때문에, 여기서는 사용할 수 없다. 사실 절대 기하학의 삼각형의 세 내각의 합이 180일 필요도 없고, 전부 같을 필요도 없다. AAS 합동 조건의 증명은 ASA와 똑같지만, SAS합동 대신 ASA합동을 중간에 사용한다. 여기서는 생략.

AAS 합동 조건을 증명했으면, 앞서 말한대로 이등변삼각형의 성질의 역을 증명할 수 있다. 각의 이등분선을 그으면 쉽게 해결되므로 역시 생략. 그리고 이등변삼각형의 성질을 이용하여, RHS 합동 조건을 증명할 수 있다. 증명은 의외로 중학교에서 보이는 것과 비슷한데, 한 직각삼각형을 연장하여 이등변삼각형을 만든 뒤에 이등변삼각형의 성질을 활용하여 증명한다. 증명은 생략. 참고로 RHA는 AAS의 한 세부 경우이기 때문에 이미 증명되었다.

이제 SSS 합동 조건을 증명할 것인데, 그 전에 간단한 명제 하나를 보이자.

정리

삼각형 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ AB=DE }[/math]인 선분 [math]\displaystyle{ DE }[/math]가 존재한다고 하자. [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{DE} }[/math]를 기준으로 생긴 반평면 중 하나를 [math]\displaystyle{ H }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ H }[/math]위의 한 점 [math]\displaystyle{ F }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \triangle{ABC}\cong\triangle{DEF} }[/math]가 성립한다.

증명 증명이라고 할 것도 없다. [math]\displaystyle{ \overline{DE} }[/math] 위에서 각 작도 두 번을 쓴 뒤, ASA 합동을 쓰자.

SSS [math]\displaystyle{ AB=DE,\,BC=EF,\,CA=FD }[/math]라 가정하자. [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]을 기준으로, 점 [math]\displaystyle{ C }[/math]와 반대편에 존재하는 반평면에 점 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ \triangle{ABG}\cong\triangle{DEF} }[/math]이다. 이제, [math]\displaystyle{ \overline{CG} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \overleftrightarrow{AB} }[/math]는 서로 만나고(평면 분할), 그 점을 [math]\displaystyle{ H }[/math]라 하자. 그럼 총 5가지의 경우가 존재한다. [math]\displaystyle{ H=A }[/math] [math]\displaystyle{ H=B }[/math] [math]\displaystyle{ A*H*B }[/math] [math]\displaystyle{ H*A*B }[/math] [math]\displaystyle{ A*B*H }[/math] 이 중 1, 2번과 4, 5번은 같으므로, 사실상 세 가지 경우만 존재한다. 보여야 하는 것은 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC}\cong\triangle{ABG} }[/math]인데, 1번은 이등변삼각형의 성질로 바로 증명이 되고, 3번과 4번은 이등변삼각형의 성질과 A5(각도 합)을 이용하여 증명이 가능하다. 전부 SAS 합동을 사용하므로 참고.

여기까지 증명했으면, 우리가 일반적으로 알고 있는 삼각형의 합동조건인 SAS, ASA, SSS, RHA, RHS를 다 쓸 수 있고, 덤으로 ASA보다 강력한 AAS도 쓸 수 있다. 이 사실은 절대 기하학에서의 합동 조건을 따로 생각해 줄 필요 없이, 유클리드 기하학처럼 풀 수 있다는 것을 의미한다. 물론, 삼각형의 내각의 합과 관련된 것은 쓸 수 없다.

여기까지가 절대 기하학의 공리 A1~A6를 각각 이해하고 활용하는데 필요한 거의 모든 내용이다. 아래부터는 A1~A6을 모두 사용하여 절대 기하학의 명제들을 살펴볼 것이다. 크게 삼각부등식, 평행선, 그리고 삼각형의 세 내각의 합에 관해 다룰 것이다.

삼각부등식

일반적으로 삼각부등식하면 거리공간의 부등식을 말하지만, 여기서는 순수하게 "삼각형의 두 변의 길이의 합은 다른 한 변의 길이보다 길다"를 의미한다. 이는 유클리드 기하학의 테크닉 없이 절대 기하학만으로도 충분히 증명이 가능한 명제이다.

정리 (부등변 부등식)

[math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]에서, [math]\displaystyle{ AB\gt BC }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \angle{ACB}\gt \angle{BAC} }[/math]이다. 역도 성립한다.

증명 [math]\displaystyle{ AB\gt BC }[/math]라고 가정하자. [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] 위에, [math]\displaystyle{ BC=BD }[/math]가 되게 점 [math]\displaystyle{ D }[/math]를 잡는다. 그럼 A5에 의해, [math]\displaystyle{ \angle{ACB}\gt \angle{DCB} }[/math]이고, 이등변삼각형의 성질에 의해 [math]\displaystyle{ \angle{DCB}=\angle{CDB} }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \triangle{ACD} }[/math]에서 외각 정리에 의해 [math]\displaystyle{ \angle{BAC}\lt \angle{CDB}=\angle{DCB}\lt \angle{ACB} }[/math]. 역으로, [math]\displaystyle{ \angle{ACB}\gt \angle{BAC} }[/math]라고 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ AB\lt BC }[/math]이면, 방금 증명한 명제의 충분조건에 의해 [math]\displaystyle{ \angle{ACB}\lt \angle{BAC} }[/math]이고, 이는 가정에 모순이다. 만약 [math]\displaystyle{ AB=BC }[/math]이면, 이등변삼각형의 성질에 의해 [math]\displaystyle{ \angle{ACB}=\angle{BAC} }[/math]이고, 이 역시 가정에 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ AB\gt BC }[/math]이다.

정리 (삼각부등식)

세 점 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]가 공선점이 아니라고 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ AC\lt AB+BC }[/math]

증명 [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} }[/math] 위에 [math]\displaystyle{ A*B*D }[/math]이고 [math]\displaystyle{ BD=DC }[/math]가 되게 점 [math]\displaystyle{ D }[/math]를 잡는다. 그럼, [math]\displaystyle{ \angle{BDC}=\angle{BCD} }[/math](이등변삼각형), [math]\displaystyle{ \angle{BCD}\gt \angle{ACD} }[/math](A5). 따라서, [math]\displaystyle{ \angle{ADC}\lt \angle{ACD} }[/math]. 부등변 부등식에 의해, [math]\displaystyle{ AC\lt AD=AB+BD=AB+BC }[/math].

평행선

평행선 공준을 가정하진 않지만, 절대 기하학에서도 평행이라는 개념은 존재한다. 결합 기하학에도 나와있듯이, 평행한 두 직선이란 단순히 교점이 없는 두 직선을 말할 뿐이다. 하지만, 평행이란 개념이 존재하는 것과 실재하는 것은 엄연히 다른 법. 여기서는 평행한 두 직선이 존재함을 보이기 위해 엇각을 활용하겠다. 먼저 동위각이라는 것을 정의해보자.

정의

[math]\displaystyle{ l,\,m }[/math]이 서로 다른 두 직선이라 하자. 만약 또다른 직선 [math]\displaystyle{ t }[/math]가 [math]\displaystyle{ l,\,m }[/math]과 만난다면, [math]\displaystyle{ t }[/math]를 횡단선(Transversal)이라 부른다. 또한, 횡단선에 의해 생기는 각 중, [math]\displaystyle{ c,\,e }[/math], 그리고 [math]\displaystyle{ d,\,f }[/math]를 각각 쌍끼리 엇각 관계에 있다고 한다.

정리 (엇각 정리)

[math]\displaystyle{ l,\,m }[/math]이 서로 다른 두 직선이고, [math]\displaystyle{ t }[/math]가 횡단선이라고 하자. 만약 한 쌍의 엇각의 크기가 서로 같으면, [math]\displaystyle{ l\parallel m }[/math].

증명 [math]\displaystyle{ c=e }[/math]라고 가정하자. 또한, 횡단선이 두 직선과 만나는 점을 각각 [math]\displaystyle{ A,\,B }[/math]로 부르자. 이제, 두 직선이 서로 평행하지 않다고 가정하자. 그럼 정의에 의해 두 직선은 어느 한 점에서 만나는데, 그 점을 [math]\displaystyle{ P }[/math]라고 하자. [math]\displaystyle{ P }[/math]는 횡단선을 기준으로 [math]\displaystyle{ c }[/math]와 같은 반평면에 속하거나 [math]\displaystyle{ e }[/math]와 같은 반평면에 속한다. 일반성을 잃지 않고 전자로 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ e }[/math]는 [math]\displaystyle{ \triangle{ABP} }[/math]의 외각인데, 삼각형의 한 내각이 [math]\displaystyle{ c }[/math]이다. 이는 외각 정리에 모순이므로, 두 직선은 만나지 않는다. 따라서 [math]\displaystyle{ l\parallel m }[/math].

조건만 맞으면 평행한 두 직선이 존재한다는 것을 보였다. 또한, 위에서 절대 기하학에서는 수선의 작도가 가능함을 보였으므로, 수선을 두번 작도하면 위 조건에 맞는 상황을 만들 수 있다. 따라서, 절대 기하학에서도 평행한 두 직선이 존재한다. 참고로, 엇각 정리의 역이 평행선 공준과 동치인 명제이다.

이제 마지막으로 절대 기하학에서의 삼각형의 내각의 합에 관해서 설명할 것이다. 기하학에 조금 관심이 있는 사람이라면 삼각형의 내각의 합은 180보다 작거나, 같거나, 큰 세 경우가 존재한다고 알고 있을 텐데, 절대 기하학에서는 앞의 두 경우밖에 성립하지 않는다. 즉, 내각의 합이 180보다 크면 절대 기하학이 아니라는 소리.

사케리 사각형

사케리 사각형이란, 한 변을 기준으로, 양 끝 각이 직각이고, 또한 인접한 두 변의 길이가 같은 사각형을 말한다. 얼핏 생각하면 이건 그냥 직사각형이 아닌가 하고 생각할 수 있는데, 직사각형이 하나라도 존재하면 그건 유클리드 기하학이다. 거듭 말하지만, 여긴 절대 기하학의 세계다(...). 사케리 사각형에 관한 자세한 성질과 정리는 항목 참조. 여기서는 중요한 명제 몇 가지만 소개한다.

정리

임의의 절대 기하학에서, 한 사케리 사각형의 천정각이 예각/직각/둔각이라면, 모든 사케리 사각형의 천정각이 예각/직각/둔각이다

아래 나오겠지만, 사실 절대 기하학의 사케리 사각형은 둔각인 천정각을 가질 수 없다.

정리

임의의 절대 기하학에서, 어떤 삼각형 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]가 내각 [math]\displaystyle{ \alpha,\,\beta,\,\gamma }[/math]를 가졌다면, [math]\displaystyle{ \delta=\tfrac{\alpha+\beta+\gamma}{2} }[/math]를 천정각으로 갖는 사케리 사각형이 존재한다.

이 정리를 위 정리와 합치면, "한 사케리 사각형의 천정각이 예각/직각/둔각이라면, 그 기하학 내의 모든 삼각형의 내각의 합은 180보다 작다/180이다/180보다 크다"로 해석할 수 있다. 이는 어째서 유클리드 기하학의 삼각형의 내각의 합이 죄다 180º인지 설명해 준다.

정리 (사케리-르장드르 정리)

임의의 절대 기하학에서, 삼각형의 내각의 합은 180보다 작거나 같다.

여태까지의 뻘짓은 사실 위 정리를 이해하고 증명하기 위한 것이었다고 생각하면 편하다(...). 하지만 그 결과만큼은 굉장히 의미있다.

확장

절대 기하학에서 평행선 공준을 취하면 유클리드 기하학으로, 부정하면 쌍곡 기하학으로 확장이 된다. 즉, 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학에서 절대 기하학의 모든 성질과 정리가 그대로 성립한다는 소리.