개요[편집 | 원본 편집]
고대 그리스의 수학자 유클리드가 현재의 유클리드 기하학의 토대를 다진 뒤, 거의 2천년 동안 기하학이란 학문은 유클리드가 제시한 공리와 공준에 의해 잘 굴러가고 있었다. 물론, 그 기간 중에는 유클리드가 제시한 공준의 당위성을 따지려는 노력이 있었고, 하나 둘 씩 공준의 당위성이 보여졌다. 딱 하나, 유클리드의 제 5공준, 혹은 평행선 공준이라고 부르는 것만 빼고.
이 평행선 공준은 19세기에 가서야 반드시 성립할 필요가 없다는 사실이 밝혀졌고, 유클리드의 2천년에 걸친 낚시의 위엄 유클리드 기하학이 알파이자 오메가였던 기하학은 쌍곡 기하학, 유클리드 기하학, 타원 기하학으로 쪼개지게 되었다. 이 유클리드 공리·공준 체계의 불완전성은 자연히 수학자들로 하여금 완벽한 공리 체계를 갖춘 기하학, 좀 더 일반적으로는 수학 그 자체를 세우려고 했으며, 그 중심에는 힐베르트가 있었다. 힐베르트는 추상적인 관점에서 연역 체계를 갖춘 "메타 수학"을 완성시키려고 노력했었으며, 그 일환으로 1899년에 그가 출판한 "기하학 기초론"에서 유클리드 기하학의 불완전성을 보완한 결합 기하학(Incidence Geometry)을 제시하였다.
현대의 관점에서 보면, 결합 기하학은 기하학의 모델(Model) 중 하나이지만, 타원 기하학을 제외하고는 거의 다른 모든 기하학의 기반이 된다 (정확히는 결합 기하학의 공리를 취하는 절대 기하학(Absolute Geometry, Neutral Geometry).
정의[편집 | 원본 편집]
임의의 공리 체계에는 정의되지 않은 용어인 무정의 용어와, 정의되지 않은 용어들 사이의 관계가 존재한다. 기하학에서 무정의 용어는 점, 선, 면, 원 등등이 있고, 관계로는 공선점, 합동, 공원점, 평행, ~사이에 있다, ~위에 있다 등등이 존재한다. 또한, 공리 체계에는 증명 없이 참으로 받아들이는 공리(Axiom)와 공준(Postulate)이 존재하며, 정리(Theorem)는 공리와 공준만을 사용해서 도출될 수 있는 명제를 말한다.
이제, 무정의 용어에 의미를 부여하는 것을 해석(Interpretation)이라 하며, 만약 해석이 특정 시스템(여기서는 기하학)의 공리들을 만족한다면, 그 해석 시스템을 해당 기하학의 모델(Model)이라고 부른다.
뭔가 거창하게 설명했지만, 모델은 간단히 말하면 "무정의 용어에 뜻을 줬을 때, 주어진 조건을 만족하냐?"를 체크하는 것이라고 생각하면 된다. 구체적인 예시를 원한다면 결합 기하학을 참고하자.