개요[편집 | 원본 편집]
기하학의 한 분류로, 타원체 (Ellipsoid) 위에서 정의되는 기하학이다. 타원체란, 타원을 회전시켜 만든 회전체를 이르는 말로써, 수식으로 표현하면 [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 }[/math]의 형태를 띠고 있다. 만약 여기서 [math]\displaystyle{ a=b=c }[/math]라면 이 타원체는 구가 되며, 구 위에서의 기하학은 구면 기하학이라는 특별한 이름으로 부른다.
타원 기하학은 일반인들에게 그나마 잘 알려져있고, 그나마 이해하기 쉬운 비유클리드 기하학의 대표 주자이다. 우리가 살고 있는 행성 위에서 적용되는 기하학이다 보니 아무래도 쓸데가 더 많기 때문. 다른 비유클리드 기하학의 대표 주자인 쌍곡 기하학과는 비유클리드 기하학이라는 카테고리만 같지, 내용은 판이하다.
모델[편집 | 원본 편집]
후술하겠지만, 타원 기하학은 결합 기하학이 아니라서 결합 기하학의 기본 모델을 그대로 따온 쌍곡 기하학과는 완전히 다른 모델을 가진다. 우선, 점은 결합 기하학과 마찬가지로 집합의 원소로서 다룬다. 모든 점의 집합은 당연히 타원체의 표면.[1]
선은 두 점을 지나는 대(大)타원으로 정의한다. 두 점을 지나는 대타원이란, 타원체 위에서 두 점을 지나는 여러 타원을 그렸을 때, 그 중 주축의 길이가 제일 긴 것을 말한다. 찾는 방법은 간단한데, 두 점과 타원체의 중심을 지나는 평면과 타원체의 교집합이 찾고자 하는 대타원이다. 특히, 평면의 결정 조건 중 하나가 (유클리드 기하학에서) 공선점이 아닌 세 점이기 때문에 그러한 평면이 반드시 존재함을 알 수 있고, 따라서 두 점을 지나는 선 역시 반드시 존재함을 유추할 수 있다. 한편, 타원체 위의 점들 중, 타원체의 중심을 기준으로 서로 반대 위치에 있는 두 점을 서로 대척(Antipodal) 관계에 있다고 한다.
삼각형은, 서로 다른 세 선으로 둘러싸인 표면 중, 볼록(convex)한 것을 이른다. 서로 다른 세 선으로 타원체를 나누면 총 8개의 조각이 만들어지는데, 그 중 4개는 다른 4개와 완전히 동일하기 때문에 제외하고, 남은 4개 중 3개는 오목하기 때문에 삼각형이 잘 정의된다. 비슷한 방법으로 다각형을 타원체 위에서 정의할 수 있다.
원은, 유클리드 공간에서 타원체 위의 한 점과 중심을 잇는 선분[2]에 같은 거리만큼 떨어져 있는 점들의 집합 중, 타원체 위에 존재하는 집합을 말한다. 간단하게 말하면, 타원체 위의 대타원이 아닌 원을 그리면 그게 타원 기하학의 원인 셈.
성질[편집 | 원본 편집]
대척 관계에 있는 두 점을 지나는 선은 몇 개일까? 3차원 유클리드 공간에서 생각해보면, 대척 관계에 있는 두 점은 중심을 지나는 평면과 타원체의 교점이다.[3] 그런데 원점을 지나는 평면은 무수히 많기 때문에, 두 대척점을 지나는 선 역시 무수히 많다. 이는 결합 기하학의 제 1공리[4]에 정면으로 반한다. 따라서, 타원 기하학은 결합 기하학이 아니다. 하지만 대척점이 아닌 두 점을 지나는 선은 유일한데, 앞서 말했듯이 (유일한) 평면의 결정 조건에 해당되게 때문.
한편, 타원체 위의 두 선은 무슨 수를 써도 반드시 두 대척점에서 교차한다는 사실을 알 수 있다. 유클리드 공간에서 생각하면, 중심을 지나는 평행하지 않은 두 평면은 반드시 만나기 때문. 이는 곧 타원 기하학에선 평행이라는 개념이 존재하지 않는다는 것을 의미한다. 유클리드 기하학이 평행선의 유일함을, 쌍곡 기하학이 여러 개의 평행선을 공리로서 받아들인다면, 타원 기하학은 평행선의 부존재를 공리로서 받아들인다고 생각할 수도 있다.
계산이 그나마 간단한 구와 달리, 타원체는 계산이 비범하기 때문에 이 이상의 자세한 성질에 대해서는 배우지 않고 구면 기하학으로 넘어가는 경우가 많다. 사실 타원 기하학을 배우지 않고 처음부터 구면 기하학을 배우는 경우가 더 많다.