잘 정의됨

정의

어떤 표현을 정의했을 때 명확한 한 가지 의미로 해석 가능할 경우, 잘 정의되었다(well-defined)고 한다. 즉, 주어진 대상이 유일하게 존재할 때 잘 정의되었다고 한다. 만약 잘 정의되지 않았으면 ill-defined라고 한다.이 단어는 잘 정의되었는가?

예시

예를 들어, 함수 f를 다음과 같이 정의한다고 하자.

[math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z}_2\to\mathbb{Z}_4,\quad f([n]_2)=[n]_4\text{ for each }n\in \mathbb{Z} }[/math]

그러면 [math]\displaystyle{ ([1]_2,[1]_4)\in f }[/math]이고 [math]\displaystyle{ ([3]_2,[3]_4)\in f }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ [1]_2=[3]_2 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ [1]_4\ne [3]_4 }[/math]이므로, 함수의 정의에 모순된다. 따라서 f는 잘 정의되지 않았다.

[math]\displaystyle{ 2\cdot 3\cdot 5 }[/math]는 잘 정의되어 있는데, 왜냐 하면 [math]\displaystyle{ (2\cdot 3)\cdot 5=2\cdot (3\cdot 5) }[/math]이기 때문이다. 즉 실수(복소수)에 대해 곱셈의 결합법칙이 성립하기 때문이다. 만약 결합법칙이 성립하지 않는다면? 예를 들어, 집합 [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math]에 대해 일반적으로

[math]\displaystyle{ (A\times B)\times C\ne A\times (B\times C) }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ A\times B \times C }[/math]라는 표현을 사용하고 싶다면

[math]\displaystyle{ A\times B \times C=(A\times B)\times C }[/math]

와 같이 정의함(좌-결합성)으로써 불명확성을 피해야 한다. 그렇지 않을 경우 중의적으로 해석할 수 있으므로 잘 정의되지 않는다. 하지만 [math]\displaystyle{ (A\times B)\times C\ne A\times (B\times C) }[/math]이더라도 이 경우 [math]\displaystyle{ (A\times B)\times C }[/math]와 [math]\displaystyle{ A\times (B\times C) }[/math]는 isomorphic하므로, [math]\displaystyle{ A\times B \times C }[/math]는 well-defined up to isomorphism이라고 말할 수 있다.