Parallel
정의[편집 | 원본 편집]
두 직선을 무한히 연장해도 만나지 않는 직선의 관계. 혹은 직선과 평면, 평면과 평면에 대해서도 비슷하게 정의를 할 수 있다. 그런데 이 정의는 초등학교에서 쓰이는 정의이며, "무한히 연장한다"라는 개념이 모호하기 때문에 수학적으로 좋은 정의는 아니다. 수학 적으로 좀 더 엄밀한 정의는 평행선 공준을 말한다.
평행선 공준[편집 | 원본 편집]
평행선 공준이란 유클리드의 저서 "원론"에 나온 것으로, 다음과 같다.
“ 한 선분을 서로 다른 두 직선이 교차할 때, 두 내각의 합이 직각의 두 배보다 작으면, 이 두 직선을 무한히 연장하면 두 내각의 합이 직각의 두 배보다 작은 쪽에서 교차한다. “
제 5 공준이라 부르기도 하며, 이것은 어떤 두 직선이 평행하기 위한 (혹은 평행하지 않은) 조건이다. 근데 이 제 5 공준은 말이 복잡하여 이해하기가 조금 힘들다. 따라서 많은 수학자들이 이 제 5 공준과 동치인 명제들을 여러 가지 발견하였다. 아래는 그 목록의 일부.
- 삼각형의 내각의 합은 180°이다.
- 사각형의 내각의 합은 360°이다.
- 합동이 아닌 닮은 도형들이 존재한다.
- 한 직선에 공통으로 평행한 서로 다른 두 직선은 평행하다.
- 원주율이 항상 일정하다.
위 명제를 공리로써 인정하면 "평행"이라는 개념이 정의된다. 단, 유클리드 기하학에 한해서. 유클리드의 제 5 공준은 반드시 성립할 필요가 없으며, 이를 부정하면서 발생한 분야가 바로 비유클리드 기하학이다. 비유클리드 기하학에서는 평행한 두 직선이 서로 만나기도 해서 유클리드 기하학에 익숙해진 학생들을 괴롭힌다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 평행한 두 직선에 대해, 동위각과 엇각의 크기는 항상 같다.
- 평행한 두 직선은 교점이 없다.
- 평행한 두 직선의 거리는 어느 점에서나 같다: 평행선 공준과 동치인 명제이며, 이를 이용하여 두 곡선의 평행을 정의할 수 있다.
- 한 직선에 평행하고 그 직선 위에 있지않은 다른 점을 지나는 직선은 유일하다: 마찬가지로 평행선 공준과 동치인 명제이며, 동위각과 엇각의 증명에 쓰인다.