등거리사상

Isometry

개요

등거리사상이란 임의의 거리공간에서 거리를 보존하는 사상을 말한다. 이름 그대로 거리가 같은 함수. 등거리 사상은 기하학에서 도형의 특성을 탐구하는데 쓰이는 매우 유용한 도구이며, 기하학에서 발전한 위상수학에서도 빼놓을 수 없는 개념이다.

정의

[math]\displaystyle{ X,\,Y }[/math]가 임의의 두 거리공간이라고 하자. 만약 어떤 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 [math]\displaystyle{ \forall a,\,b\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ d_X\left(a,b\right)=d_Y\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right) }[/math]를 만족하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]를 등거리사상이라고 부른다.

간단한 예시를 들어보자. 일반적인 데카르트 공간에서, [math]\displaystyle{ x,\,y }[/math]의 좌표를 바꾸는 함수를 생각하자 (즉, [math]\displaystyle{ y=x }[/math]에 대칭시키는 함수). 직관적으로 생각했을 때, 임의의 두 점 사이의 거리는 대칭시켜도 변하지 않을 것이고, 실제로도 그렇다. 따라서, [math]\displaystyle{ x,\,y }[/math]의 좌표를 바꾸는 함수는 데카르트 공간의 등거리 사상이다.

기본 성질

[math]\displaystyle{ f,\,g:X\to X }[/math]가 등거리 사상이라고 가정하자.

정리

[math]\displaystyle{ f }[/math]는 일대일대응 함수이다.

증명 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=f\left(y\right) }[/math]이라 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ 0=d\left(f\left(x\right),f\left(y\right)\right)=d\left(x,y\right) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ x=y }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 일대일 함수이다. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 전사임을 보이는 건 조금 까다로운데, 위상수학적 개념이 들어가기 때문. 우선, [math]\displaystyle{ x\in X\setminus f\left(X\right) }[/math]가 존재한다고 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ x }[/math]는 컴팩트 집합인 [math]\displaystyle{ f\left(X\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ d\gt 0 }[/math]만큼 떨어져 있다. 이제, [math]\displaystyle{ x_0=x,\,x_{n+1}=f\left(x_n\right) }[/math]으로 두자. 그럼, [math]\displaystyle{ d\left(x_0,x_n\right)\geq d }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ d\left(x_m,x_n\right)\geq d }[/math]임을 보일 수 있다. 그런데 이는 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 점렬 컴팩트 공간이라는 사실에 모순된다. 따라서, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 전사함수이다.

정리

[math]\displaystyle{ f\circ g:X\to X }[/math]가 존재하며, 이 역시 등거리 사상이다.

증명 [math]\displaystyle{ f,\,g }[/math]가 일대일대응 함수이므로, 두 함수의 합성함수가 존재한다. 또한, 임의의 [math]\displaystyle{ a,\,b\in X }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ d\left(a,b\right)=d\left(g\left(a\right),g\left(b\right)\right)=d\left(f\left(g\left(a\right)\right),f\left(g\left(b\right)\right)\right) }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ f\circ g }[/math] 역시 등거리 사상이다.

유클리드 기하학에서

종류

데카르트 평면에서 거리를 보존하는 함수를 생각해보자. 대부분의 사람은 평행이동, 대칭이동, 회전이동, 그리고 이 세 개를 조합한 것 외에는 딱히 떠오르지 않을 것이다. 그럼, 정말로 (합성함수를 제외하고) 세 가지밖에 없을까? 이 질문에 답을 해주는 것이 3대칭 정리이며, 3대칭 정리에 따르면 저 세 가지 외에 다른 등거리 사상은 존재하지 않는다. 우선, 평행, 대칭, 회전이동이 등거리 사상이라는 것부터 보이자.

평행이동 (Translation)

[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] 위의 고정된 점 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]와 임의의 점 [math]\displaystyle{ \left(x,y\right) }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ t_{a,b}\left(x,y\right)=\left(x+a,y+b\right) }[/math]로 정의하며, 이를 평행변환이라고 한다.

등거리 사상 증명 [math]\displaystyle{ \begin{align*}d\left(t_{a,b}\left(x_1,y_1\right),t_{a,b}\left(x_2,y_2\right)\right)&=d\left(\left(x_1+a,y_1+b\right),\left(x_2+a,y_2+b\right)\right)\\&=\sqrt{\left(x_1+a-x_2-a\right)^2+\left(y_1+b-y_2-b\right)^2}\\&=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\\&=d\left(\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\right)\end{align*} }[/math] 한편, [math]\displaystyle{ t^{-1}_{a,b}=t_{-a,-b} }[/math]이다.

회전이동 (Rotation)

원점을 기준으로 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]만큼 회전시키는 변환을 [math]\displaystyle{ r_\theta:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 }[/math]이라고 하자. 구체적인 식으로 나타내면, [math]\displaystyle{ r_\theta\left(x,y\right)=\left(x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta\right) }[/math]이고, 행렬로 나타내면 [math]\displaystyle{ r_\theta\left(x,y\right)=\begin{bmatrix}\cos\theta&&-\sin\theta\\\sin\theta&&\cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} }[/math]이다.

등거리 사상 증명 평행이동이 등거리 사상이므로, 원점에 대한 회전변환이 등거리 사상임을 보이면 충분하다. 편의상 [math]\displaystyle{ c=\cos\theta,\,s=\sin\theta }[/math]로 쓰자. [math]\displaystyle{ \begin{align*}d\left(r_\theta\left(x_1,y_1\right),r_\theta\left(x_2.y_2\right)\right)&=d\left(\left(cx_1-sy_1,sx_1+cy_1\right),\left(cx_2-sy_2,sx_2+cy_2\right)\right)\\&=\sqrt{\left(c\left(x_1-x_2\right)-s\left(y_1-y_2\right)\right)^2+\left(s\left(x_1-x_2\right)+c\left(y_1-y_2\right)\right)^2}\\&=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2\left(c^2+s^2\right)+\left(y_1-y_2\right)^2\left(c^2+s^2\right)}\\&=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\\&=d\left(\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\right)\end{align*} }[/math] 한편, [math]\displaystyle{ r^{-1}_\theta=r_{-\theta} }[/math]이다.

대칭이동 (Reflection)

x축에 대한 대칭이동을 [math]\displaystyle{ R:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 }[/math]이라고 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ R\left(x,y\right)=\left(x,-y\right) }[/math]이다.

등거리 사상 증명 평행이동과 회전이동이 등거리 사상이므로, x축에 대한 대칭이동이 등거리 사상임을 보이면 충분하다. [math]\displaystyle{ \begin{align*}d\left(R\left(x_1,y_1\right),R\left(x_2,y_2\right)\right)&=d\left(\left(x_1,-y_1\right),\left(x_2,-y_2\right)\right)\\&=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\\&=d\left(\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\right)\end{align*} }[/math] 한편, [math]\displaystyle{ R^{-1}=R }[/math]이다.

마지막으로, 대칭이동 후, 평행이동을 한 것을 미끄럼 반사(Glide Reflection)이라고 한다.

성질

[math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 }[/math]를 임의의 등거리 사상이라고 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ f }[/math]는

1. 선을 선으로
2. 선분을 길이가 같은 선분으로
3. 삼각형을 합동인 삼각형으로
4. 각을 크기가 같은 각으로
5. 원을 원으로

옮긴다. 1번의 증명은 직선 위의 서로 다른 두 점을 옮긴 뒤, 옮겨진 두 점이 이루는 직선이 사상임을 보이면 된다. 2번은 1번+거리 보존 성질을 이용하면 된다. 3번은 2번을 이용하여 SSS합동을 만들고, 4번은 3번을 이용하면 된다. 마지막으로 5번은 2번과 중심과 원주 위의 거리가 일정하다는 사실을 이용하면 된다. 증명은 간단하므로 생략.

이제, 본격적으로 3대칭 정리를 증명할 것이다. 그 전에 먼저 필요한 것들을 살펴보자.

도움정리

[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] 위의 임의의 점은 공선점이 아닌 세 점과의 거리로 유일하게 결정된다.

증명 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]가 공선점이 아닌 세 점이라고 하자. 또한, [math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math]가 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]까지의 거리가 각각 같은 서로 다른 두 점이라고 하자. 이는 곧 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]가 [math]\displaystyle{ \overline{PQ} }[/math]위 수직이등분선 위에 있다는 것을 의미하고, 이것은 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]가 공선점이 아니라는 가정에 모순이다. 따라서, [math]\displaystyle{ P=Q }[/math]. 즉, 세 점과 그 세 점까지의 거리가 주어지면, 이를 만족하는 유일한 점을 찾을 수 있다.

따름정리

임의의 등거리 사상은 공선점이 아닌 세 점에 의해 결정된다.

도움정리에 의해 매우 쉽게 보일 수 있으므로 증명은 생략.

3대칭 정리 (3 Reflection Theorem)

[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] 위의 임의의 등거리 사상은 많아야 3개의 대칭변환의 합성함수이다.

증명 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]를 공선점이 아닌 세 점, [math]\displaystyle{ f }[/math]를 임의의 등거리 사상이라고 하자. 목표는 최대 3개의 대칭변환을 이용하여 [math]\displaystyle{ A,\,B,\,C }[/math]를 각각 [math]\displaystyle{ f\left(A\right),\,f\left(B\right),\,f\left(C\right) }[/math]로 옮기는 것이다. 그러면 위 따름정리에 의해 등거리 사상이 결정된다. 먼저 [math]\displaystyle{ A=f\left(A\right) }[/math]라면, [math]\displaystyle{ A }[/math]는 더이상 고려해 줄 필요가 없다. 만약 아니라면, [math]\displaystyle{ R_A }[/math]를 [math]\displaystyle{ A }[/math]와 [math]\displaystyle{ f\left(A\right) }[/math]에 같은 거리만큼 떨어져 있는 선이라고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ R_A }[/math]에 대한 대칭이동은 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 [math]\displaystyle{ f\left(A\right) }[/math]로 이동시킨다. 이제, [math]\displaystyle{ R_A\left(B\right)=f\left(B\right) }[/math]라면, [math]\displaystyle{ B }[/math]는 더이상 고려해 줄 필요가 없다. 만약 아니라면, [math]\displaystyle{ R_B }[/math]를 [math]\displaystyle{ R_A\left(B\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ f\left(B\right) }[/math]와 같은 거리만큼 떨어져 있는 선이라고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ R_B\circ R_A\left(B\right)=f\left(B\right) }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ f }[/math]와 [math]\displaystyle{ R_A }[/math]가 등거리 사상이므로, [math]\displaystyle{ d\left(f\left(A\right),f\left(B\right)\right)=d\left(A,B\right)=d\left(R_A\left(A\right),R_A\left(B\right)\right) }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ R_B }[/math]는 [math]\displaystyle{ f\left(A\right) }[/math]를 고정시킨다. 즉, [math]\displaystyle{ R_B\circ R_A }[/math]는 [math]\displaystyle{ A,\,B }[/math]를 각각 [math]\displaystyle{ f\left(A\right),\,f\left(B\right) }[/math]로 보낸다. [math]\displaystyle{ C }[/math]에 대해서도 같은 방법으로 하면 된다.

3대칭 정리에 의해, 필요한 대칭변환의 수에 따라 모든 등거리 사상을 분류할 수 있다. 먼저, 대칭이 필요하지 않다면 그것은 당연히 항등변환이고, 대칭이 하나만 필요하다면 그것은 당연히 대칭변환이다. 그럼 대칭이 2개 필요하면 어떨까? 두 대칭선이 평행하냐 만나냐에따라 분류가 달라진다. 자세한 것은 다음과 같다.

1. 두 대칭선이 평행하며, 거리가 [math]\displaystyle{ d/2 }[/math]만큼 떨어져 있을 경우

   대칭선에 수직인 방향으로 [math]\displaystyle{ d }[/math]만큼 평행이동시킨 것과 동일하다. 합성하는 순서에 따라 방향이 결정된다.

2. 두 대칭선이 교차하며, 교차각이 [math]\displaystyle{ \theta/2 }[/math]인 경우

   교점을 중심으로 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]만큼 회전이동시킨 것과 동일하다. 합성하는 순서에 따라 회전 방향이 결정된다.

이제, 필요한 대칭이 3개인 경우를 살펴보자. 3개의 대칭이 모두 평행한 경우와 적어도 두 직선이 평행하지 않은 경우의 두 가지로 나뉜다.

1. 세 대칭선이 모두 평행한 경우

   세 번째 대칭선과 [math]\displaystyle{ d/2 }[/math]만큼 떨어진 평행선에 대칭시킨 것과 동일하다. 앞의 두 대칭을 합성하는 순서에 따라 방향이 달라진다.

2. 적어도 두 직선이 만나는 경우

   미끄럼 반사이다. 대칭선과 이동 방향, 이동 거리를 찾기는 상당히 까다롭다.

위 분류에 따르면, 데카르트 평면에선 항등변환, 대칭이동, 평행이동, 회전이동, 미끄럼 반사 외에 다른 등거리 사상이 존재하지 않음을 알 수 있다. 각 분류가 정말로 맞는지는 GSP 같은 프로그램을 사용해서 직접 확인해 보자. 증명은 미끄럼 반사를 제외하고 간단한 편.