중심 (군론)

정의

군 G에 대해, 집합

[math]\displaystyle{ Z(G)=\{a\in G\vert \forall g [ag=ga]\} }[/math]

를 G의 중심(center)이라고 한다. 즉 교환법칙이 성립하는 원소들을 모아놓은 것이 중심이라고 볼 수 있다.

예시

[math]\displaystyle{ F }[/math]는 체, [math]\displaystyle{ e }[/math]는 군의 항등원을 나타낸다.

군	중심
임의의 아벨 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]	[math]\displaystyle{ G }[/math]
임의의 비가환 단순군 [math]\displaystyle{ G }[/math]	[math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
사원수군 [math]\displaystyle{ Q_8 }[/math]	[math]\displaystyle{ \{1,-1\} }[/math]
대칭군 [math]\displaystyle{ S_n\;(n\ge 3) }[/math]	[math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
교대군 [math]\displaystyle{ A_n\;(n\ge 4) }[/math]	[math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]
정이면체군 [math]\displaystyle{ D_n\;(n\ge 3) }[/math]	[math]\displaystyle{ \{e\} }[/math] (n은 홀수) 또는 [math]\displaystyle{ \{e, r^n\} }[/math] (n은 짝수)
일반선형군 [math]\displaystyle{ \text{GL}(n,F) }[/math]	[math]\displaystyle{ \{kI_n : k\in F\setminus \{0_F\}\} }[/math]
특수선형군 [math]\displaystyle{ \text{SL}(n,F) }[/math]	[math]\displaystyle{ \{-I_n,I_n\} }[/math]
직교군 [math]\displaystyle{ \text{O}(n) }[/math]
특수직교군 [math]\displaystyle{ \text{SO}(n) }[/math]
유니타리군 [math]\displaystyle{ \text{U}(n) }[/math]
특수유니타리군 [math]\displaystyle{ \text{SU}(n) }[/math]

성질

• [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]는 G의 정규부분군이며, 더 나아가 특성부분군이다.

G의 항등원을 e라 하면, [math]\displaystyle{ eg=ge }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ e\in Z(G) }[/math]이고 따라서 [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]는 공집합이 아니다. 한편 [math]\displaystyle{ x,y\in Z(G) }[/math]에 대해, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy) }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ xy\in Z(G) }[/math]이다. 그리고 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ xg=gx }[/math]

이고, 그러므로

[math]\displaystyle{ x^{-1}(xg)x^{-1} = x^{-1}(gx)x^{-1} }[/math]

이고 정리하면

[math]\displaystyle{ gx^{-1}=x^{-1}g }[/math]

이다. 따라서 부분군 판정법에 의해 [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]는 G의 부분군이다. [math]\displaystyle{ Z(G) }[/math]가 정규부분군이라는 것은 임의의 [math]\displaystyle{ a\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ aZ(G)=Z(G)a }[/math]인 것으로 쉽게 보일 수 있다.

• [math]\displaystyle{ Z(G)=G }[/math]일 필요충분조건은 G가 아벨군인 것이다.
• [math]\displaystyle{ a\in G }[/math]의 중심화 군(centralizer)을 [math]\displaystyle{ C(a) }[/math]이라고 하면, [math]\displaystyle{ Z(G)=\bigcap_{a\in G} C(a) }[/math]이다.
• 몫군 [math]\displaystyle{ G/Z(G) }[/math]가 순환군이면, G는 아벨군이다.
• [math]\displaystyle{ G/Z(G) }[/math]는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 내부자기동형군 [math]\displaystyle{ \operatorname{Inn}(G) }[/math]와 동형이다.

같이 보기

• 정규화 부분군
• 중심 (환론)