편집토론기록

정규부분군

정의[편집 | 원본 편집]

군 G의 부분군을 N이라고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]

면 N을 G의 정규부분군(Normal subgroup)이라 하고 [math]\displaystyle{ \require{AMSmath}\require{AMSsymbols}N\trianglelefteq G }[/math]로 표기한다. 이때 [math]\displaystyle{ gN,Ng }[/math]는 각각 N의 좌잉여류(left coset)와 우잉여류(right coset)를 나타낸다. 이 정의는 임의의 [math]\displaystyle{ n\in N }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ gn=ng }[/math]임을 뜻하는 것이 절대 아니다!

다음 명제는 서로 동치이다.

  • N은 G의 정규부분군이다.
  • [math]\displaystyle{ g^{-1}Na=\{g^{-1}ng\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a^{-1}Na\subseteq N }[/math]이다.
  • [math]\displaystyle{ gNg^{-1}=\{gng^{-1}\vert n\in N\} }[/math]으로 정의하면, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ aNa^{-1}\subseteq N }[/math]이다.
  • 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g^{-1}Ng= N }[/math]이다.
  • 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gNg^{-1}= N }[/math]이다.

예시[편집 | 원본 편집]

  • 아벨군의 경우에는 교환법칙이 성립하므로 모든 부분군이 정규부분군이다.
  • [math]\displaystyle{ \{e\} \trianglelefteq G, \; G \trianglelefteq G }[/math]. 만약 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 정규부분군이 [math]\displaystyle{ \{e\} }[/math]와 [math]\displaystyle{ G }[/math]뿐이면 [math]\displaystyle{ G }[/math]를 단순군(simple group)이라 한다.
  • [math]\displaystyle{ \operatorname {SL}(V)\trianglelefteq\operatorname {GL}(V), \; \operatorname {SO}(n)\trianglelefteq\operatorname {O}(n), \; \operatorname {SU}(n)\trianglelefteq\operatorname {U}(n) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ A_n \trianglelefteq S_n }[/math] [1]

성질[편집 | 원본 편집]

  • 정규부분군의 정규부분군은 정규부분군이 아니다.[2]
    • 그러나, [math]\displaystyle{ N\le H\le G }[/math]이고 [math]\displaystyle{ N\trianglelefteq G }[/math]이면 [math]\displaystyle{ N\trianglelefteq H }[/math]이다.[3]
  • 정규부분군의 교집합은 정규부분군이다. 즉, N과 K가 G의 정규부분군이면, [math]\displaystyle{ N\cap K }[/math]는 G의 정규부분군이다.[4]
  • N과 K가 G의 정규부분군이면, 집합 [math]\displaystyle{ NK=\{nk\vert n\in N \text{ and } k\in K\} }[/math][5]는 G의 정규부분군이다.
  • N이 지표(index)가 2[6]인 G의 부분군이면, N은 G의 정규부분군이다.
  • 함수 [math]\displaystyle{ f:G\to H }[/math]가 군 준동형사상이라고 하자. 그러면 f의 핵 [math]\displaystyle{ \ker f }[/math]는 G의 정규부분군이다.[7]

같이 보기[편집 | 원본 편집]

각주

  1. ↑ n이 1보다 클 때에는 지표가 2이기 때문이다. 물론 ker sgn이기 때문이라고 이해해도 된다.
  2. ↑ 예를 들어 {(12)(34)}⊴V4⊴A4이지만 {(12)(34)}가 A4의 정규부분군인 것은 아니다.
  3. ↑ 증명: 임의의 g∈G에 대해 gN=Ng이므로 임의의 g∈H에 대해서도 당연히 gN=Ng이다.
  4. ↑ 증명: 임의의 g∈G 및 x∈N∩K에 대해 gxg−1를 생각하면, 이는 N이 정규부분군이므로 N에 속하고, K가 정규부분군이므로 K에도 속한다. 따라서 gxg−1∈N∩K.
  5. ↑ 이와 달리 H와 K가 단순히 G의 부분군이기만 한 경우에는 집합 [math]\displaystyle{ HK=\{hk\vert h\in H \text{ and } k\in K\} }[/math]는 부분군조차 되지 못할 수도 있음에 유의하여야 한다.
  6. ↑ 좀 더 일반적으론, 지표가 “어떤 유한군의 위수를 나누는 가장 작은 소수”일 때
  7. ↑ 증명: 임의의 g∈G 및 x∈ker f에 대해 f(gxg−1) = f(g) f(x) f(g−1) = f(g) f(g)−1 = eH.