교대군(Alternating group, 交代群)은 대칭군의 원소들 중에서 짝수 순열(even permutation)을 모은 군을 의미한다. 짝수순열의 합성은 짝수순열이 되므로 이 부분집합은 합성연산에 대해 부분군을 이룬다.
설명[편집 | 원본 편집]
우선 대칭군(Symmetric Group)부터 정의를 해보자. 문서도 참조해보자.
[math]\displaystyle{ (S_n , \circ) = \{ \sigma: [n] \rightarrow [n] | f(i)~ \text{bijective} \} }[/math]를 만족하는 군, 연산자는 함수의 합성으로 표현될 수 있다. 각각의
대칭군의 원소 σ의 경우(이를 순열(permutation)이라고 부른다), 모든 i∈[n]에 대해 σ(i) = j, j∈[n] 형태로 표현이 가능하다. 즉 다른 형태로는 2×n 행렬을 이용해서 [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} }[/math]와 같이 표현이 가능하다.
또한 대칭군은 순환마디(Cycle structure)의 곱 형태로 표현이 가능하다. 우선 σ(i1)=i2, σ(i2)= i3,…, σ(ir)=i1라고 하면 순열 σ는 원소를i1→i2→…→ir→i1로 돌려서 보내게 되고, 따라서 (i1 i2 … ir)는 순열 σ의 순환마디가 된다. 마찬가지로 σ의 순환마디를 모두 찾을 수 있다.
예를 들면 [math]\displaystyle{ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3& 4& 5 & 6 \\ 4 & 5 & 1 & 3 & 2 & 6 \end{pmatrix} }[/math]이면 σ =(1 4  : 3) (2 5)로 표현이 가능하다.
또한 각 순열은 전치순열(transpostion)의 곱으로 표현이 가능하다. 특히 순환순열(cyclic permutation) (i1 i2 … ir)은 (i1 ir) (i1 ir-1) … (i1 i2), 즉 r-1개의 순열의 곱을 표현이 가능하다. 순열 중에서 짝수개의 전치순열의 곱으로 표현되는 순열을 짝수순열(even permutation), 홀수 개의 전치순열의 곱으로 표현되는 순열을 홀수순열(odd permutation)이라고 부른다. 전치순열의 곱의 표현과는 무관하개 순열의 곱은 항상 홀수개 혹은 짝수개로만 표현이 된다.
우선 [math]\displaystyle{ \sigma= a_1 a_2 \cdots a_r = b_1 b_2 \cdots b_s }[/math]라고 놓자. 여기서 ai, bj는 전치순열이다.
우선 항등원을 구성하는 모든 전치순열 (a b)에 대해 항상 a<b가 되게 표현할 수 있다. 또한 (a a+k) = (a a+1)(a+1 a+2)…(a+k-1 a+k)(a+k-2 a+k-1)…(a a+1)로 2k-1개의 숫자가 서로 인접한 전치순열의 곱으로 표현이 가능함을 알 수 있다. 또한 전치순열의 홀/짝의 개수와 인접한 전치순열의 홀/짝의 개수도 동일함을 보일 수 있다. 여기서 홀수 순열은 인접한 전치순열의 횟수가 홀수개로 만들 수 있으며, 짝수 순열은 인접한 전치 순열의 횟수가 짝수개 움직이는 것이므로 순열의 곱은 홀/짝이 그대로 보존된다!
증명 완료!
그 중 교대군(Alternative group)은 n개의 원소로 구성된 대칭군 중에서 짝수 순열을 모은 군이 된다. 짝수 순열끼리 곱하면 짝수 순열이 되므로 그 자체가 닫혀있다는 것을 알 수 있다. 또한 홀수 순열과 짝수 순열의 개수는 동일하기에 교대군의 원소의 개수는 1/2 n! (n≥2)
교대순의 단순성[편집 | 원본 편집]
n=2,3일 때는 각각 원소 1개와 원소 3개인 단순군이 된다. n=4일 때에는 교대군 A4는 단순군이 되지 않는다. 그 이유는 <(1 2)(3 4), (1 3)(2 4)>이 원소 4개의 정규부분군(Normal Subgroup)이 되기 때문이다. 사실 실로우 정리(Sylow's Theorem)을 사용할 경우 이것이 원소 4개인 유일한 부분군이므로 정규부분군이 된다.
하지만 n≥5일 때에는 교대군은 순환군(cyclic group)이 아닌 단순군이 되는데, 이를 증명한다.
n=5일 때 증명[편집 | 원본 편집]
n=2,3일 때는 각각 원소 1개와 원소 3개인 단순군이 된다. n=4일 때에는 교대군 A4는 단순군이 되지 않는다. 그 이유는 <(1 2)(3 4), (1 3)(2 4)>이 원소 4개의 정규부분군(Normal Subgroup)이 되기 때문이다. 사실 실로우 정리(Sylow's Theorem)을 사용할 경우 이것이 원소 4개인 유일한 부분군이므로 정규부분군이 된다.
이제 n=5일 때 단순군이 된다는 것을 보인다. 우선 A5의 원소에 대해 순환마디 구조는 (a b c) , (a b)(c d) 또는 (a b c d e)중에 하나가 될 것이다.
이제 3-순환순열 (a b c)를 포함하는 켤레류(conjugacy class)는 모든 3-순환수열이 된다. 여기서 순서를 바꾸고자 하는 원소는 진한 글씨로, 바꾸게 만드는 순열은 기울인 글씨로 표현한다. σ(a1 a2 ... )(b1 b2 ...)...σ-1=(σ(a1) σ(a2) ... )(σ(b1), σ(b2) ...) 를 이용하면 3-순환수열의 교환은 아래 네 경우 중에 한 가지 경우가 되기 때문이다.
- 원소 3개를 모두 보존 - (b c)(d e)(a b c)(b c)(d e)=(a c b)
- 원소 1개를 치환 - (c d e)(a b c)(c e d)= (a c d)
- - (b c d)(a b c)(b d c) = (a d b)
- 원소 2개를 치환 - (b d)(c e)(a b c)(b d)(c e) = (a d e)
한편 3-순환순열의 개수는 C(5,3)×(3-1)!=20개임을 확인할 수 있다. 다른 방법을 사용하자면 (a b c)가 켤레류 작용(conjugacy action)에 대해 안정자군(stabilizer)은 원소 3개의 부분군 <(a b c)>뿐이기에 궤도(orbit), 즉 켤레류의 크기는 60/3=20개가 된다는 것을 알 수 있다.
또한 두 개의 서로소의 순열 (a b)(c d)에 대해서도 하나를 포함하는 켤레류는 모든 형태의 (a b)(c d)꼴을 포함하게 된다. 이것도 임의의 (a b)(c d)꼴로 보내는 켤레류는 다음 네 가지 중에 한 가지 조건을 만족하기 때문이다.
- 원소 4개의 위치만 변경 - (b c d)(a b)(c d)(b d c)=(a c)(b d)
- 하나의 원소를 다른 것으로 변경 - (a b)(d e)(a b)(c d)(a b)(d e)= (a b)(c e)
- (c d e)(a b)(c d)(c e d) = (a c)(d e)
- (c e b)(a b)(c d)(c b e) = (a c)(b e)
또한 (ab)(cd)꼴의 순열의 개수는 1/2×C(5,2)×C(3,2)=15개임을 확인할 수 있다. 이것도 다른 방법을 사용하자면 (a b)(c d)의 안정자군은 <(ab), (cd)>이므로 역시 궤도의 크기는 60/4=15개임을 확인할 수 있다.
마지막으로 5-순환순열 (a b c d e)에 대해서는 켤레류가 두 종류로 나누어지는 것을 볼 수 있다. 이는 {b,c,d,e}를 원소로 하는 교대군 A{b,c,d,e}에 대해 켤레류를 취하면 12개의 켤레류가 나온다는 것을 알 수 있다. 만약 a를 포함하는 원소에 대해 켤레류를 취해도 (a b c)= (b d)(c e)(a b c d e)3, 적당히 A{b,c,d,e} · (a b c d e)k 안의 원소로 변환할 수 있으며, 따라서 이는 켤레의 변환자가 {b, c, d, e}안에 있는 것으로 만들어진다는 것을 알 수 있다.
사실 5-순환순열의 개수는 C(5,5)×4!=24인데 그 절반인 12임을 확인할 수 있다. 역시 다른 방법으로 (a b c d e)의 안정자군은 <(a b c d e)>, 즉 원소 5개의 군이므로 궤도의 크기는 60/5=12임을 알 수 있다.
따라서 켤레류의 원소의 개수는 각각 1, 12, 12, 15, 20인데, 1을 포함하는 어떤 켤레류도 합해서 60의 약수를 만들지 못한다. 정규부분군은 원래 군의 개수의 약수이고 모든 켤레류를 포함해야 하기에 정규부분군이 1과 A5 자신밖에 존재하지 않음을 알 수 있다.
일반적인 경우[편집 | 원본 편집]
우선 다음 보조정리를 증명해보자.
보조정리[편집 | 원본 편집]
교대군 An의 정규부분군 H◁An에 대해 H가 3-순환수열(3-cycle)을 하나 포함한다면 H=An이다.
우선 위의 n=5인 경우를 통해서 임의의 3-순환수열 (a b c)와 (i j k)가 같은 켤레류 안에 있다는 것을 보일 수 있다. 남은 경우는 {a,b,c}와 {i,j,k}가 서로소인 경우 뿐인데 이 경우도 켤레류를 구성하는 순열 σ=(a i)(b j)(c k)만 넣으면 증명 완료!
따라서 정규부분군 H는 모든 3-순환수열을 포함한다. 한편으로 교대군의 모든 원소는 3-순환수열의 곱으로 표현된다. 왜냐하면 모든 교대군의 원소는 짝수개의 순열의 곱으로 표현되며, 짝수 개씩 묶을 때 (a b)(a b)는 사라지고, (a b)(a c)= (a c b), (a b)(c d)=(a b c)(b c d)임을 알 수 있다. 따라서 H=An이 된다. 증명 끝!
이제 본격적으로 증명을 해보자. n≥5라고 가정하고, H≠1인 정규부분군이라고 가정하자. 역시 귀납법을 사용해서 An-1이 단순군이라고 가정을 하자. 일단 H안의 1 아닌 원소 β에 대해 β(i)=j인 i≠j가 있다는 것을 알 수 있다. 우선 β가 어떤 원소 k를 고정시킨다고 가정하자. 즉 β(k)=k일 때 집합 Bk={a∈An| a(k)=k}를 놓으면 Bk=An∩Sn-1≅An-1임을 알 수 있다. 당연히 β는 H∩Bk에 있고, H가 정규부분군이고, Bk는 단순군이므로 H∩Bk=Bk, 즉 H는 3-순환순열(3-cycle)을 하나 포함하고 보조정리에 의해 An상의 모든 3-순환순열을 모두 포함하게 된다. 즉 H=An.
즉 이제 가정할 것은 H안의 1 아닌 모든 원소 β가 모든 원소를 고정시키지 않을 때만을 가정해야 할 것이다. 또한 β는 순환수열 그 자체가 될 수도 없다. 왜냐하면 β=(a1 a2 a3 a4 ...)에서
[math]\displaystyle{ (a_1 a_2 )(a_3 a_4 ) \beta (a_1 a_2 )(a_3 a_4 ) = (a_2 a_1 a_4 a_3 a_5 ...) \in H (\because H \triangleleft A_n ) \\ \text{so} ~ (a_2 a_1 a_4 a_3 ...)(a_1 a_2 a_3 a_4 ....) [a_1 ] = a_1 }[/math]
즉, a1을 고정시키는 원소가 H 안에 존재하므로 모순이 생긴다. 나머지 경우를 살펴보면
- (a1 a2 a3 ...)(b1 b2...)... 즉 순환마디의 길이가 3 이상인 순환수열 하나를 포함한 2개 이상의 순환수열을 가지고 있거나
- (a1 a2)(b1 b2)(c1 c2)... 즉 3개 이상의 서로소인 전치순열의 곱으로 표현되거나(n≥6이라고 가정) 둘 중 하나일 것이다.
첫 번째 경우에는
[math]\displaystyle{ (a_1 a_2 )(b_1 b_2 ) \beta (a_1 a_2 ) (b_1 b_2) = (a_2 a_1 a_3 ....) (b_2 b_1 ...)... \in H \\ \text{So} ~ (a_2 a_1 a_3 ...)(b_2 b_1 ...) ... (a_1 a_2 a_3 ...)(b_1 b_2 ...)[a_1 ]= a_1 }[/math] 즉 a1를 고정시키는 원소가 H 안에 있으므로 모순이 생겼다.
두 번째 경우에는
[math]\displaystyle{ (b_1 b_2 c_1) \beta (b_1 c_1 b_2 ) = (a_1 a_2 )(b_2 c_1)(b_1 c_2) ... \in H \\ \text{So} ~ (a_1 a_2 )(b_1 c_2 )(b_2 c_1) ... (a_1 a_2)(b_1 b_2 )(c_1 c_2 ) ... [a_1 ]= a_1 }[/math] 즉 a1를 고정시키는 원소가 H 안에 있으므로 모순이 생겼다.
다시 말해 어떠한 경우에도 H는 1 이외에 특정한 값을 고정시키는 β가 존재하며, 따라서 β∈An-1∩H◁An-1. 즉 다시 말해 H가 An-1를 포함하며 따라서 3-cycle 하나도 포함한다. 즉 H=An가 되므로 An는 단순군이 된다.