부분군 판정법

개요

말 그대로 어떤 군의 부분집합이 부분군인지 판정하는 방법이다.

1단계 부분군 판정법

진술

군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 공집합이 아닌 부분집합 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 주어졌다고 하자. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in H }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ ab^{-1}\in H }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ H }[/math]는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군이다.

증명

[math]\displaystyle{ G }[/math]에서 결합법칙이 성립하므로 [math]\displaystyle{ H }[/math]의 원소 사이에도 결합법칙이 성립한다. 한편, [math]\displaystyle{ H }[/math]는 공집합이 아니므로 [math]\displaystyle{ H }[/math]의 원소를 하나 선택할 수 있다. 이 원소를 [math]\displaystyle{ h }[/math]라고 하자. 그러면 조건에 의해 [math]\displaystyle{ hh^{-1}=e_G\in H }[/math], 즉 [math]\displaystyle{ e_G\in H }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ H }[/math]의 항등원이 존재하고 그 항등원은 [math]\displaystyle{ e_G }[/math]이다. [math]\displaystyle{ H }[/math]의 임의의 원소를 [math]\displaystyle{ x }[/math]라 하면, 조건에 의해 [math]\displaystyle{ ex^{-1}=x^{-1}\in H }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ H }[/math]의 원소의 역원은 [math]\displaystyle{ H }[/math]에 존재한다. 임의의 [math]\displaystyle{ x,y\in H }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y^{-1}\in H }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ x(y^{-1})^{-1}=xy\in H }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ H }[/math]는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 연산에 대해 닫혀 있다. 따라서 [math]\displaystyle{ H }[/math]는 군의 정의를 만족하고 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군이 됨을 알 수 있다.

2단계 부분군 판정법

진술

군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 공집합이 아닌 부분집합 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 주어졌다고 하자. 이때

1. [math]\displaystyle{ a,b\in H }[/math]이면 [math]\displaystyle{ ab\in H }[/math]이다.
2. [math]\displaystyle{ a\in H }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a^{-1}\in H }[/math]이다.

그러면 [math]\displaystyle{ H }[/math]는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군이다.

증명

조건에 의해 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 연산에 대해 닫혀 있고 역원이 [math]\displaystyle{ H }[/math]에 존재함을 안다. 결합법칙은 [math]\displaystyle{ G }[/math]로부터 물려받는다. 따라서 증명할 것은 항등원이 존재함을 보이는 것이다. [math]\displaystyle{ H }[/math]가 공집합이 아니므로 [math]\displaystyle{ h\in H }[/math]를 선택할 수 있다. 그러면 조건에 의해 [math]\displaystyle{ h^{-1} }[/math]가 존재하고 [math]\displaystyle{ hh^{-1}=e_G\in H }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ H }[/math]의 항등원이 존재하고 원하는 결론을 얻는다.

유한군의 부분군 판정법

만약 군의 부분집합이 유한집합이라면 부분군 판정법은 일반적인 경우보다 간단해진다.

진술

군 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 공집합이 아닌 유한부분집합 [math]\displaystyle{ H }[/math]가 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ H }[/math]가 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 연산에 대해 닫혀 있다면, [math]\displaystyle{ H }[/math]는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 부분군이다.

증명 1

2단계 부분군 판정법에 의해 증명할 것은 [math]\displaystyle{ H }[/math]의 임의의 원소에 대해 역원이 [math]\displaystyle{ H }[/math]에 존재한다는 것뿐이다. [math]\displaystyle{ H }[/math]가 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 연산에 대해 닫혀 있으므로, 임의의 [math]\displaystyle{ a\in H, k\in \mathbb{N} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a^k\in H }[/math]이고, [math]\displaystyle{ H }[/math]가 유한집합이므로 이들이 모두 다를 수는 없다. 따라서 [math]\displaystyle{ a^i=a^j }[/math]인 서로 다른 [math]\displaystyle{ i,j\in\mathbb{N} }[/math]가 존재하므로 [math]\displaystyle{ a^n =e_G }[/math]인 [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math]가 존재하고(예를 들어 [math]\displaystyle{ n=\left|i-j\right| }[/math]), 식을 고쳐 쓰면 [math]\displaystyle{ a a^{n-1} = e_G = a^{n-1} a }[/math]이다. 물론 [math]\displaystyle{ a^{n-1}\in H }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다.

증명 2

위 증명은 결국 임의의 [math]\displaystyle{ a\in H }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 계속 곱하다 보면 언젠가 [math]\displaystyle{ e_G }[/math]가 나온다는 것인데, [math]\displaystyle{ H }[/math]의 모든 원소에 대해 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 한 번만 곱하는 함수 딱 하나를 생각하여 좀 더 고급지게(?) 증명할 수 있다(속에 든 내용은 거의 똑같다).

즉 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 왼쪽에 곱하는 함수 [math]\displaystyle{ \lambda_a : H \to H,\; x \mapsto ax }[/math]를 생각하면, 이 함수는 당연히 단사함수이고([math]\displaystyle{ G }[/math]의 등식 [math]\displaystyle{ ax=ay }[/math]의 양변에서 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 소거하면 된다), 따라서 이 함수는 전단사함수이다([math]\displaystyle{ H }[/math]는 유한집합이므로).

따라서 [math]\displaystyle{ ax=a }[/math]인 [math]\displaystyle{ x \in H }[/math]가 존재하는데 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 등식 [math]\displaystyle{ ax=a=a e_G }[/math]의 양변에서 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 소거하면 [math]\displaystyle{ x=e_G }[/math]임을 얻고, 마찬가지로 [math]\displaystyle{ ay=e_G }[/math]인 [math]\displaystyle{ y \in H }[/math]가 존재하는데 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 등식 [math]\displaystyle{ ay=e_G=a a^{-1} }[/math]의 양변에서 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 소거하면 [math]\displaystyle{ y=a^{-1} }[/math]임을 얻는다.