정의[편집 | 원본 편집]
항등원이 있는 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]과 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 원소를 성분으로 하는 [math]\displaystyle{ n }[/math]차 정사각행렬의 집합을 [math]\displaystyle{ M_n(R) }[/math]이라고 하자. 이때 집합 [math]\displaystyle{ \mathrm{GL}(n,R) }[/math]을
- [math]\displaystyle{ \mathrm{GL}(n,R)=\{A\in M_n(R): A\text{ is invertible}\} }[/math]
로 정의하자. 행렬의 곱셈이 주어졌을 때, 임의의 [math]\displaystyle{ A,B,C\in \mathrm{GL}(n,R) }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ AB\in\mathrm{GL}(n,R) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (AB)C=A(BC) }[/math]
- [math]\displaystyle{ I_n\in \mathrm{GL}(n,R) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ AI_n=I_nA=A }[/math]
- [math]\displaystyle{ A^{-1}\in \mathrm{GL}(n,R) }[/math]이고 [math]\displaystyle{ AA^{-1}=A^{-1}A=I_n }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ \mathrm{GL}(n,R) }[/math]은 군이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathrm{GL}(n,R) }[/math]를 일반선형군(general linear group)이라고 한다. 저자에 따라 [math]\displaystyle{ \mathrm{GL}_n(R) }[/math]로 표기하기도 한다.