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== 정의 ==
== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] ''R''의 부분환을 ''I''라고 하자. 이때 임의의 <math>r\in R, i\in I</math>에 대해
[[환 (수학)|유사환]] ''R''의 부분환 ''I''에 대하여,<ref>부분환이 1을 갖지 않아도 되는 것을 전제한다. 자세한 내용은 [[환 (수학)|환]] 참조.</ref>
: <math>(ri\in I) \wedge (ir\in I)</math>
* 임의의 <math>r\in R, i\in I</math>에 대해 <math>ri\in I</math>를 만족하면 ''I''를 ''R''의 '''좌아이디얼'''(left ideal)이라고 한다.
이면 ''I''를 ''R''의 '''아이디얼(ideal)''', 또는 '''양쪽아이디얼(two-sided ideal)'''이라고 한다. 한편, 임의의 <math>r\in R, i\in I</math>에 대해
* 임의의 <math>r\in R, i\in I</math>에 대해 <math>ir\in I</math>를 만족하면 ''I''를 ''R''의 '''우아이디얼'''(right ideal)이라고 한다.
: <math>ri\in I</math>
* ''I''가 ''R''의 좌아이디얼이면서 우아이디얼이면, ''I''를 ''R''의 '''양쪽 아이디얼(two-sided ideal)''' 또는 그냥 '''아이디얼'''(ideal)<ref>일부 서적에서는 독일 발음인 '''이데알'''(ideal)이라 쓰기도 한다.</ref>이라 하고, <math>\require{AMSmath}\require{AMSsymbols}I \trianglelefteq R</math>로 표기한다.
이면 ''I''를 ''R''의 '''좌아이디얼(left ideal)'''이라고 하며,
 
: <math>ir\in I</math>
만약 ''R''이 가환환이라면, [[교환법칙]]이 성립하므로 위 세 정의가 동치가 됨을 알 수 있다. 즉, 예를 들어 좌아이디얼인지만 확인하면 자동으로 아이디얼이 된다.
이면 ''I''를 ''R''의 '''우아이디얼(right ideal)'''이라고 한다.


즉, ''I''가 ''R''의 좌아이디얼이면서 우아이디얼이면 ''I''는 ''R''의 아이디얼이 된다. 그리고 만약 ''R''이 가환환이라면, 좌우 조건 중 하나만 만족하더라도 연산의 [[교환법칙]]에 의해 아이디얼이 된다.
== 예시 ==
== 예시 ==
* <math>0 \trianglelefteq R</math>, <math>R \trianglelefteq R</math>
** ''R''이 나눗셈환이면 아이디얼은 이들 둘밖에 없다. 영이 아닌 아이디얼은 1<sub>''R''</sub>을 포함하게 되기 때문이다.
* ''f'':''R'' → ''S''가 환 준동형사상(ring homomorphism)일 때, <math>\operatorname{ker} f \trianglelefteq R</math>.<ref>증명: 임의의 ''r''∈''R'' 및 ''x''∈ker ''f''에 대해 ''f''(''rx'') = ''f''(''r'') ''f''(''x'') = ''f''(''r'') · 0 = 0.</ref>
* ''M''이 ''R''가군(''R''‐module)일 때, ''M''의 부분집합 ''N''에 대하여 <math>\operatorname{ann} (N) = \{ r \in R \vert rN = 0 \}</math>는 ''R''의 아이디얼이 되고, 이를 annihilator ideal이라 한다.
** ''K''선형사상 ''T''가 주어진 ''K''벡터공간 ''V''를 ''K''[''t'']가군으로 볼 때, <math>\operatorname{ann} (V)</math>의 생성자인 유일한 최소 차수의 monic polynomial이 바로 ''T''의 최소다항식(minimal polynomial)이다.
* 정수환 <math>\mathbb{Z}</math>의 아이디얼은 <math>n \mathbb{Z}</math> 꼴밖에 없다. 따라서 <math>\mathbb{Z}</math>는 주아이디얼 정역(principle ideal domain)이다.
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[[실수]]를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 [[집합 (수학)|집합]] <math>M_2(\mathbb{R})</math>은 [[행렬]] [[연산]] 위의 환이다. 집합 ''I''를 다음과 같이 정의하자.
 
* [[실수]]를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 [[집합]] <math>M_2(\mathbb{R})</math>은 [[행렬]] [[연산]]에 관해 환(행렬환)을 이룬다. 집합 ''I''를 다음과 같이 정의하자.
: <math>I=\left\{\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 0 \end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R} \right\}</math>
: <math>I=\left\{\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 0 \end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R} \right\}</math>
그러면 ''I''는 <math>M_2(\mathbb{R})</math>의 부분환이다. 이때 임의의 <math>x,y,z,w\in\mathbb{R}</math>에 대해
그러면 ''I''는 <math>M_2(\mathbb{R})</math>의 부분환이다. 이때 임의의 <math>x,y,z,w\in\mathbb{R}</math>에 대해
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이므로 ''I''는 <math>M_2(\mathbb{R})</math>의 우아이디얼이 아니다. 따라서 ''I''는 <math>M_2(\mathbb{R})</math>의 아이디얼이 아니다.
이므로 ''I''는 <math>M_2(\mathbb{R})</math>의 우아이디얼이 아니다. 따라서 ''I''는 <math>M_2(\mathbb{R})</math>의 아이디얼이 아니다.


== 유한생성된 아이디얼 ==
== 성질 ==
''R''이 [[항등원]]을 갖는 가환환이고 <math>c\in R</math>이라고 하자. 그리고 집합 ''I''를 다음과 같이 정의하자.
 
: <math>I=\{rc\vert r\in R\}</math>
* <math>I</math>와 <math>J</math>가 환 <math>R</math>의 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이면, <math>I \cap J</math>도 <math>R</math>의 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이다. 이는 정의에 의해 자명하다.
그러면 ''I''는 ''R''의 아이디얼이다. ''I''를 ''c''에 의해 생성된 '''[[주아이디얼]](principal ideal)'''이라고 하며, <math>(c)</math>로 표기한다.
* <math>I</math>가 환 <math>R</math>의 좌아이디얼임과, 좌 <math>R</math>-가군 <math>R</math><ref>환은 자기 자신의 (좌, 우) 가군이라 생각할 수 있다.</ref>의 좌 <math>R</math>-부분가군이라는 것은 동치이다. 오른쪽도 마찬가지이고, 이것도 정의에 의해 자명하다.


<math>c_1,c_2,\cdots,c_n\in R</math>이라고 하자. 집합 ''I''를 다음과 같이 정의하자.
== 연산 ==
: <math>I=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots, r_n\in R\}</math>
그러면 ''I''는 ''R''의 아이디얼이다. ''I''를 <math>c_1,c_2,\cdots,c_n</math>에 의해 생성된 아이디얼이라고 하며, <math>(c_1,c_2,\cdots,c_n)</math>로 표기한다. 이런 아이디얼을 '''유한생성된 아이디얼(finitely generated ideal)'''이라고 한다.


== 성질 ==
아이디얼 사이에 다음과 같은 연산을 정의할 수 있다.
* ''I''와 ''J''가 환 ''R''의 아이디얼이면, ''I''∩''J''도 ''R''의 아이디얼이다.
* <math>I</math>와 <math>J</math>가 환 <math>R</math>의 아이디얼이면, 집합 <math>S=\{i+j\vert i\in I,j\in J\}</math>도 <math>R</math>의 아이디얼이다. 이때 <math>S</math>를 <math>I</math>와 <math>J</math>의 합이라고 부르고 <math>I+J</math>로 나타낸다.
* ''I''와 ''J''가 환 ''R''의 아이디얼이면, 집합 <math>S=\{i+j\vert i\in I,j\in J\}</math>도 ''R''의 아이디얼이다. 이때 ''K''를 ''I''와 ''J''의 합이라고 부르고 ''I''+''J''로 나타낸다.
* <math>I</math>와 <math>J</math>가 환 <math>R</math>의 아이디얼이면, 집합
* ''I''와 ''J''가 환 ''R''의 아이디얼이면, 집합
*: <math>P=\{i_1j_1+i_2j_2+\cdots+i_nj_n\vert n\ge 1, i_k\in I, j_k\in J\}</math>
*: <math>P=\{i_1j_1+i_2j_2+\cdots+i_nj_n\vert n\ge 1, i_k\in I, j_k\in J\}</math>
: 는 ''R''의 아이디얼이다. 이때 ''P''를 ''I''와 ''J''의 곱이라고 부르고 ''IJ''로 나타낸다.<ref>집합
: 는 <math>R</math>의 아이디얼이다. 이때 <math>P</math>를 <math>I</math>와 <math>J</math>의 곱이라고 부르고 <math>IJ</math>로 나타낸다. <ref>아이디얼 ''I'', ''J''에 대해, 집합 <math>P'=\{ij\vert i\in I, j\in J\}</math>는 일반적으로 ''R''의 아이디얼이 아니다. 예를 들어 <math>R = \mathbb{Z}[s,t]</math>이고, ''I''=(''s'',2), ''J''=(''t'',3)이라고 하면, <math>st, 6 \in P'</math>이지만 <math>st+6 \notin P'</math>이다.</ref>
: <math>P'=\{ij\vert i\in I, j\in J\}</math>
 
는 일반적으로 ''R''의 아이디얼이 아니다. 예를 들어, <math>R=\mathbb{Q}</math>이고 <math>I=J=\mathbb{Z}</math>로 두면 <math>frac{1}{3}\cdot 1 \cdot 2=\frac{2}{3}\not\in P'</math>이다.</ref>
== <math>X \subseteq R</math>이 생성하는 아이디얼 ==
<math>X \subseteq R</math>일 때, <math>X </math>를 포함하는 <math> R</math>의 최소의(smallest) (좌, 우, 양쪽) 아이디얼을 <math>X</math>가 '''생성'''하는 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이라고 한다. 이러한 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼 <math>I</math>의 존재성과 유일성은 <math>I = \bigcap_{X \subseteq J \trianglelefteq R} J</math>를 증명하면 보일 수 있다<ref>여기서의 기호 ⊴(trianglelefteq)는 양쪽 아이디얼의 경우에만 해당되는 것이지만 기술의 편의를 위해 기호를 [[기호의 남용|남용]]했다.</ref>. 증명은 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼의 교집합이 다시 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이때 <math>X</math>를 이 아이디얼 <math>I</math>의 '''생성자'''(generator)라고 한다.
 
이하 <math>R</math>을 [[항등원]]을 갖는 가환환이라고 가정하자. 한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 '''[[주 아이디얼]]'''(principal ideal)이라고 한다. 이때 <math>c\in R</math>이 생성하는 주 아이디얼은 <math>(c)</math>로 표기한다. 이는 다음과 같은 집합이 됨을 쉽게 알 수 있다.
: <math>(c)=\{rc\vert r\in R\}</math>
 
유한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 '''유한 생성 아이디얼'''(finitely generated ideal)이라고 한다. 이때 <math>c_1,c_2,\cdots,c_n\in R</math>이 생성하는 아이디얼 <math>(c_1,c_2,\cdots,c_n)</math>는 다음과 같은 집합이 된다.
: <math>(c_1,c_2,\cdots,c_n)=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots, r_n\in R\}</math>


== 여러 가지 아이디얼 ==
== 여러 가지 아이디얼 ==
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* [[소아이디얼]]
* [[소아이디얼|소아이디얼(prime ideal)]]
* [[극대아이디얼]]
* [[극대아이디얼|극대아이디얼(maximal ideal)]]
*
 
*
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== 같이 보기 ==
== 같이 보기 ==
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== 참고문헌 ==
== 참고문헌 ==
* Thomas W. Hungerford (2012). ''Abstract Algebra: An Introduction.'' (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336
* Thomas W. Hungerford (2012). ''Abstract Algebra: An Introduction.'' (3rd ed). Cengage Learning. {{ISBN|1111573336}}


{{각주}}
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[[분류:환론]]
[[분류:환론]]

2021년 6월 20일 (일) 00:20 기준 최신판

정의[편집 | 원본 편집]

유사환 R의 부분환 I에 대하여,[1]

  • 임의의 [math]\displaystyle{ r\in R, i\in I }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ri\in I }[/math]를 만족하면 I를 R의 좌아이디얼(left ideal)이라고 한다.
  • 임의의 [math]\displaystyle{ r\in R, i\in I }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ir\in I }[/math]를 만족하면 I를 R의 우아이디얼(right ideal)이라고 한다.
  • I가 R의 좌아이디얼이면서 우아이디얼이면, I를 R의 양쪽 아이디얼(two-sided ideal) 또는 그냥 아이디얼(ideal)[2]이라 하고, [math]\displaystyle{ \require{AMSmath}\require{AMSsymbols}I \trianglelefteq R }[/math]로 표기한다.

만약 R이 가환환이라면, 교환법칙이 성립하므로 위 세 정의가 동치가 됨을 알 수 있다. 즉, 예를 들어 좌아이디얼인지만 확인하면 자동으로 아이디얼이 된다.

예시[편집 | 원본 편집]

  • [math]\displaystyle{ 0 \trianglelefteq R }[/math], [math]\displaystyle{ R \trianglelefteq R }[/math]
    • R이 나눗셈환이면 아이디얼은 이들 둘밖에 없다. 영이 아닌 아이디얼은 1R을 포함하게 되기 때문이다.
  • f:R → S가 환 준동형사상(ring homomorphism)일 때, [math]\displaystyle{ \operatorname{ker} f \trianglelefteq R }[/math].[3]
  • M이 R가군(R‐module)일 때, M의 부분집합 N에 대하여 [math]\displaystyle{ \operatorname{ann} (N) = \{ r \in R \vert rN = 0 \} }[/math]는 R의 아이디얼이 되고, 이를 annihilator ideal이라 한다.
    • K선형사상 T가 주어진 K벡터공간 V를 K[t]가군으로 볼 때, [math]\displaystyle{ \operatorname{ann} (V) }[/math]의 생성자인 유일한 최소 차수의 monic polynomial이 바로 T의 최소다항식(minimal polynomial)이다.
  • 정수환 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]의 아이디얼은 [math]\displaystyle{ n \mathbb{Z} }[/math] 꼴밖에 없다. 따라서 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]는 주아이디얼 정역(principle ideal domain)이다.
  • 실수를 성분으로 갖는 모든 2차 정사각행렬의 집합 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]은 행렬 연산에 관해 환(행렬환)을 이룬다. 집합 I를 다음과 같이 정의하자.
[math]\displaystyle{ I=\left\{\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 0 \end{bmatrix}:a,b\in\mathbb{R} \right\} }[/math]

그러면 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 부분환이다. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ x,y,z,w\in\mathbb{R} }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}x & y\\ z& w\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & 0\\b&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}xa+yb & 0 \\ za+wb & 0\end{bmatrix}\in I }[/math]

이므로 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 좌아이디얼이다. 그러나

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 0\\ 2& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 4\\5&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}\not\in I }[/math]

이므로 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 우아이디얼이 아니다. 따라서 I는 [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb{R}) }[/math]의 아이디얼이 아니다.

성질[편집 | 원본 편집]

  • [math]\displaystyle{ I }[/math]와 [math]\displaystyle{ J }[/math]가 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이면, [math]\displaystyle{ I \cap J }[/math]도 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이다. 이는 정의에 의해 자명하다.
  • [math]\displaystyle{ I }[/math]가 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 좌아이디얼임과, 좌 [math]\displaystyle{ R }[/math]-가군 [math]\displaystyle{ R }[/math][4]의 좌 [math]\displaystyle{ R }[/math]-부분가군이라는 것은 동치이다. 오른쪽도 마찬가지이고, 이것도 정의에 의해 자명하다.

연산[편집 | 원본 편집]

아이디얼 사이에 다음과 같은 연산을 정의할 수 있다.

  • [math]\displaystyle{ I }[/math]와 [math]\displaystyle{ J }[/math]가 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼이면, 집합 [math]\displaystyle{ S=\{i+j\vert i\in I,j\in J\} }[/math]도 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼이다. 이때 [math]\displaystyle{ S }[/math]를 [math]\displaystyle{ I }[/math]와 [math]\displaystyle{ J }[/math]의 합이라고 부르고 [math]\displaystyle{ I+J }[/math]로 나타낸다.
  • [math]\displaystyle{ I }[/math]와 [math]\displaystyle{ J }[/math]가 환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼이면, 집합
    [math]\displaystyle{ P=\{i_1j_1+i_2j_2+\cdots+i_nj_n\vert n\ge 1, i_k\in I, j_k\in J\} }[/math]
는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼이다. 이때 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 [math]\displaystyle{ I }[/math]와 [math]\displaystyle{ J }[/math]의 곱이라고 부르고 [math]\displaystyle{ IJ }[/math]로 나타낸다. [5]

[math]\displaystyle{ X \subseteq R }[/math]이 생성하는 아이디얼[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ X \subseteq R }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]를 포함하는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 최소의(smallest) (좌, 우, 양쪽) 아이디얼을 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 생성하는 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼이라고 한다. 이러한 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 존재성과 유일성은 [math]\displaystyle{ I = \bigcap_{X \subseteq J \trianglelefteq R} J }[/math]를 증명하면 보일 수 있다[6]. 증명은 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼의 교집합이 다시 (좌, 우, 양쪽) 아이디얼인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이때 [math]\displaystyle{ X }[/math]를 이 아이디얼 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 생성자(generator)라고 한다.

이하 [math]\displaystyle{ R }[/math]을 항등원을 갖는 가환환이라고 가정하자. 한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 주 아이디얼(principal ideal)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ c\in R }[/math]이 생성하는 주 아이디얼은 [math]\displaystyle{ (c) }[/math]로 표기한다. 이는 다음과 같은 집합이 됨을 쉽게 알 수 있다.

[math]\displaystyle{ (c)=\{rc\vert r\in R\} }[/math]

유한 개의 원소가 생성하는 아이디얼은 유한 생성 아이디얼(finitely generated ideal)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ c_1,c_2,\cdots,c_n\in R }[/math]이 생성하는 아이디얼 [math]\displaystyle{ (c_1,c_2,\cdots,c_n) }[/math]는 다음과 같은 집합이 된다.

[math]\displaystyle{ (c_1,c_2,\cdots,c_n)=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots, r_n\in R\} }[/math]

여러 가지 아이디얼[편집 | 원본 편집]


같이 보기[편집 | 원본 편집]

참고문헌[편집 | 원본 편집]

  • Thomas W. Hungerford (2012). Abstract Algebra: An Introduction. (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336

각주

  1. ↑ 부분환이 1을 갖지 않아도 되는 것을 전제한다. 자세한 내용은 환 참조.
  2. ↑ 일부 서적에서는 독일 발음인 이데알(ideal)이라 쓰기도 한다.
  3. ↑ 증명: 임의의 r∈R 및 x∈ker f에 대해 f(rx) = f(r) f(x) = f(r) · 0 = 0.
  4. ↑ 환은 자기 자신의 (좌, 우) 가군이라 생각할 수 있다.
  5. ↑ 아이디얼 I, J에 대해, 집합 [math]\displaystyle{ P'=\{ij\vert i\in I, j\in J\} }[/math]는 일반적으로 R의 아이디얼이 아니다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ R = \mathbb{Z}[s,t] }[/math]이고, I=(s,2), J=(t,3)이라고 하면, [math]\displaystyle{ st, 6 \in P' }[/math]이지만 [math]\displaystyle{ st+6 \notin P' }[/math]이다.
  6. ↑ 여기서의 기호 ⊴(trianglelefteq)는 양쪽 아이디얼의 경우에만 해당되는 것이지만 기술의 편의를 위해 기호를 남용했다.