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= [[거듭제곱의 합]] =
= [[벡터]] =
(이 문서 뭔가 이상한 것 같아 고치려 합니다. AC도 없이 순서쌍을 쓰면...)
'''벡터 공간'''(vector space)은 덧셈 연산과 스칼라곱(scalar multiplication)<ref>[[내적]]이 아니다.</ref>이 잘 정의되어 있으며 [[교환법칙]], [[결합법칙]], [[분배법칙]] 등이 성립하는 공간이다. 이 공간의 원소를 '''벡터'''(vector)라 하며, 직관적으로는 크기와 방향을 가진 대상이라 할 수 있다. 물론 [[노릅 (수학)|노름]]이 주어지지 않은 공간에서는 벡터의 크기를 정의할 수 없다. 벡터 공간에 [[내적]]이라는 벡터 사이 연산을 추가하여 [[내적 공간]](inner product space)을 만든다.


'''거듭제곱의 합'''(sum of powers, power sum)은 크게 두 가지로 나눌 수 있다: 지수가 변하는 것과 밑이 변하는 것.
== 정의 ==
체 <math>F</math>에 대한 '''벡터 공간'''은 다음 조건을 만족하는 <math>(V, +, \mathrm{SM})</math>을 말한다. 이때 <math>V</math>의 원소를 '''벡터'''라 하고 <math>+:V\times V \ti V</math>를 덧셈, <math>\mathrm{SM}:F\times V \to V</math>을 스칼라곱이라 한다.


== 지수가 변하는 거듭제곱의 합 ==
* <math>(V, +)</math>는 [[아벨 군]]이다. 즉, [[결합 법칙]]과 [[교환 법칙]]을 만족하며 [[항등원]]과 임의의 원소에 대한 [[역원]]이 존재한다.
가장 기본적인 형태는
* 임의의 <math>a,b\in F, v\in V</math>에 대하여 <math>a(bv)=(ab)v.</math>
:<math>\sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}</math>
* 체 <math>F</math>의 곱셈에 대한 항등원 1과 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여 <math>1v = v.</math>
이다. 이를 미분하여 <math>x</math>를 곱하면 다음을 얻는다.
* [[분배 법칙]]: 임의의 <math>a, b\in F, u, v\in V</math>에 대하여 <math>(a+b)(u+v)=au+bu+av+bv.</math>
:<math>\sum_{i=0}^n ix^i = \frac{x-(n+1)x^{n+1} + nx^{n+2}}{(x-1)^2}.</math>
비슷한 방법으로 어떤 양의 정수 <math>e_i \quad (i=0,\cdots,m)</math>에 대하여
:<math>\sum_{k=0}^n k^{e_0}(k-1)^{e_1}\cdots (k-m)^{e_m}x^k</math>
를 구할 수 있다.


급수 <math>\sum_{k \ge 0} x^k</math>는 <math>|x|<1</math>일 때 수렴하며 <math>\sum_{k \ge 0} x^k=(1-x)^{-1}</math>이다. 일반적으로
벡터 공간의 체가 [[실수|<math>\mathbb R</math>]]로 주어진 경우 '''실-벡터 공간'''(real vector space)이라 하고, [[복소수|<math>\mathbb C</math>]]로 주어진 경우 '''복소-벡터 공간'''(complex vector space)이라 한다.
: <math>\left(\sum_{k \ge 0} x^k\right)^p = (1-x)^{-p} = \frac 1{(p-1)!}\sum_{n\ge 0} \frac{(n+p-1)!}{n!}x^n</math>
가 된다. 이와 비슷한 유한 합은
: <math>\left(\sum_{k =0}^n x^k\right)^p = \frac 1 {(p-1)!} \sum_{k=0}^{np} \frac{(n-|n-k|+p-1)!}{n-|n-k|!}x^k</math>
이다.


== 밑이 변하는 거듭제곱의 합 ==
주어진 벡터 공간 <math>V</math>의 [[부분집합]] <math>W</math>이 (<math>V</math>의) 덧셈과 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으면 이를 <math>V</math>의 [[부분공간|(선형) 부분공간]](subspace)라 한다. 즉 부분공간은 벡터 공간을 이루는 부분집합이다.
가장 기본적인 형태는
:<math>\sum_{i=0}^n i^p</math>
이다. 이는 위 경우에 비하여 계산하기가 어렵다. 고교 과정에서는 <math>p=1, 2, 3</math>의 경우를 배우는데, [[이항정리]]를 이용하여 [[수학적 귀납법|귀납적]]으로 이끌어낸다. <math>\sum_{i=0}^n i^p</math>를 만들기 위하여 <math>(x+1)^{p+1} - x^{p+1} = \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j}x^j</math>를 이용한다. 이 식을 <math>i=0</math>에서부터 <math>i=n</math>까지 더하면
:<math>\sum_{i=0}^n \left((i+1)^{p+1} - i^{p+1}\right)=(n+1)^{p+1} = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j}i^j = \sum_{j=0}^{p}  \binom{p+1}{j} \sum_{i=0}^n i^j </math>
이다. 이를
:<math>(n+1)^{p+1}-\sum_{j=0}^{p-1}\binom{p+1}{j}\sum_{i=0}^n i^j=\binom{p+1}{p}\sum_{i=0}^n i^p</math>
:<math>\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} - \frac 1 {p+1} \sum_{j=0}^{p-1}\binom{p+1}{j}\sum_{i=0}^n i^j</math>
로 정리하면 원하는 식을 얻는다.


[[베르누이 수]]를 이용하면 귀납적이지 않은 하나의 식으로 위의 합을 나타낼 수 있다. [[오일러-매클로린 공식]]을 이용하여
== 기저와 차원 ==
:<math>\sum_{k=1}^n f(k) = \int_1 ^n f(x)\mathrm dx + \frac{1}{2}(f(1)+f(n)) + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b) - f^{(k-1)}(a)\right)</math>
벡터 공간 <math>V</math>의 부분집합 <math>S</math>에 대하여 [[생성 (선형대수학)|<math>\mathbf S</math>가 생성한 부분공간]] <math>\langle S \rangle</math> (또는 <math>\operatorname{span} S</math>)을 <math>S</math>를 포함하는 가장 작은 <math>V</math>의 부분공간으로 정의한다. 즉, <math>S\subseteq \langle S \rangle \le V</math><ref><math>\le</math>는 부분공간임을 나타낸다.</ref>이면서 <math>S\subseteq W \le V \implies \langle S \rangle \le W</math>일 때 <math>\langle S \rangle</math>를 <math>S</math>가 생성한 부분공간이라고 한다. 이는 <math>S</math>의 원소의 임의의 일차결합으로 이루어진 집합과 같다. 또한 이는 [[존재성과 유일성|유일하게 존재한다]].
에서 <math>f(k) = k^p</math>로 두면,
:<math>\sum_{k=1}^n k^p = n^p + \sum_{k=0}^p \frac{B_k p!}{k! (p-k+1)!}n^{p-k+1} = \sum_{k=1}^{p+1} \frac{(-1)^{p-k+1}B_{p-k+1} p!}{k! (p-k+1)!}n^k</math>
이 식에서 계수들의 합이 1이라는 것을 쉽게 알 수 있다.
:<math>\sum_{k=1}^{p+1} \frac{(-1)^{p-k+1}B_{p-k+1} p!}{k! (p-k+1)!} = 1</math>


또한 두 개의 파라미터로 변하는 급수로도 나타낼 수 있다.
만약 <math>V</math>를 생성하는 집합이 [[일차독립]](linear independent)이면, 이 집합을 <math>V</math>의 [[기저]](basis) <math>\mathfrak B</math>라고 한다. 벡터 공간의 기저가 유일하지는 않지만, (만약 존재한다면) 기저의 원소의 수는 항상 같다. 이를 벡터 공간의 [[차원]](dimension) <math>\operatorname{dim}V=|\mathfrak B| (\in \operatorname{Card})</math>이라고 한다. [[선택 공리]]를 가정하지 않으면 모든 벡터 공간에 대하여 차원을 정의할 수 없기 때문에 잘 정의되지 않는다. 즉, 차원이 잘 정의되려면 선택 공리를 가정해야 한다.<ref>선택 공리와 동치인 명제 중 "모든 벡터 공간은 기저를 가진다."가 있다.</ref>
:<math>\sum_{i=0}^n k^p = \sum_{i=1}^p \sum_{j=0}^{i-1} (-1)^j (i-j)^p \binom{n+p-i+1}{n-i} \binom{p+1}{j}</math>


=== 공식 ===
선택 공리를 가정하면 차원이 주어졌을 때, 모든 벡터 공간을 분류할 수 있다. Linear extension theorem에 의하면 차원이 같은 두 벡터 공간에 대하여 둘 사이의 isomorphism이 존재한다. 즉, 모든 <math>F</math>-벡터 공간 <math>V</math>은 <math>\oplus_{i=1}^{\operatorname{dim}V} F</math>와 같다. 즉 체 <math>F</math>를 그 차원만큼 [[직합]](direct sum)하면 그 벡터 공간과 똑같은 벡터 공간이 나온다. 이제 차원으로써 벡터 공간을 분류할 수 있음을 안다.
* <math>\sum_{k=0}^n k=\frac 1 2 n(n+1)</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k^2=\frac 1 6 n(n+1)(2n+1)</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k^3=\frac 1 4 n^2 (n+1)^2</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k^4=\frac 1 {30} n (n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k^5=\frac 1 {12} n^2 (n+1)^2 (2n^2 + 2n-1)</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k^6=\frac 1 {42} n(n+1)(2n+1)(3n^4 + 6n^3 - 3n + 1)</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k^7=\frac 1 {24} n^2 (n+1)^2 (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2)</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k^8=\frac 1 {90} n(n+1)(2n+1)(5n^6 + 15n^5 + 5n^4 - 15n^3 - n^2 + 9n - 3)</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k^9=\frac 1 {20} n^2(n+1)^2 (n^2+n-1)(2n^4 + 4n^3 - n^2 - 3n + 3)</math>
* <math>\sum_{k=0}^n k^{10}=\frac 1{66} n(n+1)(2n+1)(n^2+n-1)(3n^6 + 9n^5 + 2n^4 - 11n^3 + 3n^2 + 10n -5)</math>


=== 1부터의 연속한 자연수의 합 ===
== 선형 사상 ==
[[파일:intsum1.png|섬네일|같은 색으로 표현된 도형은 <math>\sum_{k=1}^n k</math>를 나타내고, 가로는 <math>n</math>, 세로는 <math>n+1</math>임에서 공식을 유도할 수 있다.|250px|오른쪽]]
체 <math>F</math>와 <math>F</math>-벡터 공간 <math>V, W</math>에 대하여, 합과 스칼라곱을 보존하는 사상 <math>L:V\to W</math>을 [[선형 사상]](선형 변환, linear map)이라 한다. 선형 사상들의 집합 <math>\mathfrak{L}(V, W)</math>은 벡터 공간을 이룬다.만약 <math>V, W</math>가 유한 차원 벡터 공간이며 기저가 주어져 있으면 선형 변환을 [[행렬]]로써 나타낼 수 있다. [[선형대수학의 기본 정리]]에 의하여 선형 변환은 행렬과 완전히 같기 때문이다.


특히 연속한 자연수의 합은 여러 가지 방법으로 구할 수 있다. 가장 알기 쉬운 방법으로는, 소문으로 들려오는 [[가우스]]가 어렸을 때 썼다는 방법이 있다.
== 예시 ==
{| style="text-align: right;" align="center"
 
|-
 
| || 1 || + || 2 || + || … || + || (n-1) || + || n
{{각주}}
|-
| +) || n || + || (n-1) || + || … || + || 2 || + || 1
|-
| style="border-top: 1px solid black;" colspan="10" |
|-
| || (n+1) || + || (n+1) || + || … || + || (n+1) || + || (n+1) || <math>\quad n</math> 개
|}


위에서 <math>2\sum_{k=1}^n k = n(n+1), \quad \sum_{k=1}^n k = \frac 1 2 n(n+1)</math>임을 알 수 있다.


=== [[니코마코스의 정리]] ===
[[파일:nicomachusthm.png|섬네일|가로와 세로가 모두 <math>\sum_{k=1}^n k</math>이고, 한 변의 길이가 <math>k</math>인 정사각형이 <math>k</math> 개 있으므로 그 넓이의 합은 <math>k^2 \cdot k = k^3</math>이고 공식이 유도된다.|250px|오른쪽]]
세제곱의 합 공식
:<math>\sum_{k=1}^n k^3 = \frac 1 4 n^2 (n+1)^2</math>
을 보면, 누구나 자연수의 합 공식의 제곱으로 나타남을 알 수 있을 것이다.
:<math>\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2 </math>
이를 [[니코마코스의 정리]](Nicomachus's theorem)라고 한다.


== 참고 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html Wolfram Mathworld]


= 결합기하학 =
= 결합기하학 =

2015년 8월 14일 (금) 17:25 판

벡터

(이 문서 뭔가 이상한 것 같아 고치려 합니다. AC도 없이 순서쌍을 쓰면...) 벡터 공간(vector space)은 덧셈 연산과 스칼라곱(scalar multiplication)[1]이 잘 정의되어 있으며 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등이 성립하는 공간이다. 이 공간의 원소를 벡터(vector)라 하며, 직관적으로는 크기와 방향을 가진 대상이라 할 수 있다. 물론 노름이 주어지지 않은 공간에서는 벡터의 크기를 정의할 수 없다. 벡터 공간에 내적이라는 벡터 사이 연산을 추가하여 내적 공간(inner product space)을 만든다.

정의

체 [math]\displaystyle{ F }[/math]에 대한 벡터 공간은 다음 조건을 만족하는 [math]\displaystyle{ (V, +, \mathrm{SM}) }[/math]을 말한다. 이때 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 원소를 벡터라 하고 [math]\displaystyle{ +:V\times V \ti V }[/math]를 덧셈, [math]\displaystyle{ \mathrm{SM}:F\times V \to V }[/math]을 스칼라곱이라 한다.

  • [math]\displaystyle{ (V, +) }[/math]는 아벨 군이다. 즉, 결합 법칙과 교환 법칙을 만족하며 항등원과 임의의 원소에 대한 역원이 존재한다.
  • 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in F, v\in V }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ a(bv)=(ab)v. }[/math]
  • 체 [math]\displaystyle{ F }[/math]의 곱셈에 대한 항등원 1과 임의의 [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ 1v = v. }[/math]
  • 분배 법칙: 임의의 [math]\displaystyle{ a, b\in F, u, v\in V }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ (a+b)(u+v)=au+bu+av+bv. }[/math]

벡터 공간의 체가 [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]로 주어진 경우 실-벡터 공간(real vector space)이라 하고, [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]로 주어진 경우 복소-벡터 공간(complex vector space)이라 한다.

주어진 벡터 공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ W }[/math]이 ([math]\displaystyle{ V }[/math]의) 덧셈과 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으면 이를 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 (선형) 부분공간(subspace)라 한다. 즉 부분공간은 벡터 공간을 이루는 부분집합이다.

기저와 차원

벡터 공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \mathbf S }[/math]가 생성한 부분공간 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math] (또는 [math]\displaystyle{ \operatorname{span} S }[/math])을 [math]\displaystyle{ S }[/math]를 포함하는 가장 작은 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분공간으로 정의한다. 즉, [math]\displaystyle{ S\subseteq \langle S \rangle \le V }[/math][2]이면서 [math]\displaystyle{ S\subseteq W \le V \implies \langle S \rangle \le W }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math]를 [math]\displaystyle{ S }[/math]가 생성한 부분공간이라고 한다. 이는 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 원소의 임의의 일차결합으로 이루어진 집합과 같다. 또한 이는 유일하게 존재한다.

만약 [math]\displaystyle{ V }[/math]를 생성하는 집합이 일차독립(linear independent)이면, 이 집합을 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저(basis) [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math]라고 한다. 벡터 공간의 기저가 유일하지는 않지만, (만약 존재한다면) 기저의 원소의 수는 항상 같다. 이를 벡터 공간의 차원(dimension) [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}V=|\mathfrak B| (\in \operatorname{Card}) }[/math]이라고 한다. 선택 공리를 가정하지 않으면 모든 벡터 공간에 대하여 차원을 정의할 수 없기 때문에 잘 정의되지 않는다. 즉, 차원이 잘 정의되려면 선택 공리를 가정해야 한다.[3]

선택 공리를 가정하면 차원이 주어졌을 때, 모든 벡터 공간을 분류할 수 있다. Linear extension theorem에 의하면 차원이 같은 두 벡터 공간에 대하여 둘 사이의 isomorphism이 존재한다. 즉, 모든 [math]\displaystyle{ F }[/math]-벡터 공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]은 [math]\displaystyle{ \oplus_{i=1}^{\operatorname{dim}V} F }[/math]와 같다. 즉 체 [math]\displaystyle{ F }[/math]를 그 차원만큼 직합(direct sum)하면 그 벡터 공간과 똑같은 벡터 공간이 나온다. 이제 차원으로써 벡터 공간을 분류할 수 있음을 안다.

선형 사상

체 [math]\displaystyle{ F }[/math]와 [math]\displaystyle{ F }[/math]-벡터 공간 [math]\displaystyle{ V, W }[/math]에 대하여, 합과 스칼라곱을 보존하는 사상 [math]\displaystyle{ L:V\to W }[/math]을 선형 사상(선형 변환, linear map)이라 한다. 선형 사상들의 집합 [math]\displaystyle{ \mathfrak{L}(V, W) }[/math]은 벡터 공간을 이룬다.만약 [math]\displaystyle{ V, W }[/math]가 유한 차원 벡터 공간이며 기저가 주어져 있으면 선형 변환을 행렬로써 나타낼 수 있다. 선형대수학의 기본 정리에 의하여 선형 변환은 행렬과 완전히 같기 때문이다.

예시

각주

  1. ↑ 내적이 아니다.
  2. ↑ [math]\displaystyle{ \le }[/math]는 부분공간임을 나타낸다.
  3. ↑ 선택 공리와 동치인 명제 중 "모든 벡터 공간은 기저를 가진다."가 있다.



결합기하학

결합기하학(incidence geometry)은 결합구조를 연구하는 학문이다. 해석기하학과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.

결합구조

[math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math], [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]([math]\displaystyle{ \mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset }[/math]) 와 [math]\displaystyle{ \mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L }[/math]가 집합일 때, [math]\displaystyle{ \sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I) }[/math]을 결합구조(incidence structure), 또는 기하학적 구조(geometric structure)라 한다. 만약 [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]이 유한이면, [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]를 유한결합구조라 한다. 여기서 [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]는 점들의 집합이고, [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]은 선[1]들의 집합이다. [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]의 교집합이 공이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.

주어진 점 [math]\displaystyle{ p, q\in\mathscr P }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ \exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I }[/math]이면 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]는 jointed라 하고, 만약 위를 만족하는 선 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 단 하나 존재하면 [math]\displaystyle{ L }[/math]은 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]에 의하여 결정된다고 한다(선 [math]\displaystyle{ L }[/math]을 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]의 join이라 하고 [math]\displaystyle{ pq:=L }[/math]로 쓴다.) 비슷하게, given [math]\displaystyle{ L, M\in \mathscr L }[/math], if [math]\displaystyle{ \exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I }[/math], we say [math]\displaystyle{ L }[/math] and [math]\displaystyle{ M }[/math] meet, and we say [math]\displaystyle{ p }[/math] is decided by [math]\displaystyle{ L }[/math] and [math]\displaystyle{ M }[/math] if there is only one point [math]\displaystyle{ p }[/math](we call it the intersection [math]\displaystyle{ p:=L\cap M }[/math].) And also denote [math]\displaystyle{ [p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] := [(p, L) \in \mathscr I] }[/math] and omit [math]\displaystyle{ \mathscr I }[/math].

평면

We shall call incidence structures [math]\displaystyle{ \pi=(\mathscr P , \mathscr I) }[/math] satisfying following axioms planes:

  • [math]\displaystyle{ \forall p, q \in\mathscr P \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L. }[/math]

아핀 평면

We call incidence structures satisfying following axioms affine planes:

  • [math]\displaystyle{ \exists L \in \mathscr L, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L=pq\in \mathscr L, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \| M. }[/math] ([math]\displaystyle{ L \| M }[/math] means [math]\displaystyle{ \not \exists L \cap M }[/math].)

And every affine plane is a plane.

실-아핀 평면

We call incidence structures [math]\displaystyle{ \alpha_\mathbb R }[/math] satisfying following axioms real affine planes:

  • [math]\displaystyle{ \mathscr P \subseteq \mathbb R^2, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \}, }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0. }[/math]

And every real affine plane is an affine plane.

사영 평면

뉴턴의 운동 법칙

뉴턴의 운동 법칙(Newton's laws of motion)은 아이작 뉴턴에 의해 정립된 세 가지 물리 법칙이다.

역사

제1 법칙: 관성의 법칙

외력이 없을 때 어떤 물체의 질량중심은 일정한 속도 (또는 운동량)을 가지고 운동한다.

관성의 법칙을 만족하는 기준틀(좌표계)를 관성기준틀(관성좌표계, 관성계)라 부르고, 즉 이는 등속도 운동을 하는 기준틀을 말한다.

제2 법칙: 가속도의 법칙

제3 법칙: 작용-반작용의 법칙

  1. ↑ 흔히 생각하는 직선일 필요는 없다. 아래의 아핀 평면#예시 참조.