결합 기하학

결합 기하학(Incidence Geometry)은 기하학의 공리 체계 중 하나이며, 매우 간단한 구조를 가지고 있다. 공리가 단 3개밖에 존재하지 않기 때문에 결합 기하학만으로는 뭘 제대로 증명할 수 없지만, 결합 기하학의 세 공리는 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학의 토대가 되는 절대 기하학의 공리 체계에 포함되어 있기 때문에 매우 중요하다.

모델

무정의 용어 중, 점은 집합의 원소와 비슷하게 생각한다. 즉, 결합 기하학을 전체 집합으로 본다면, 점은 그 전체 집합의 원소. 선은 전체 집합의 부분집합으로 생각할 수 있으며, 점을 원소로 갖는다. "선 위에 존재한다", 혹은 "선이 점을 지난다"라는 관계는 "선이라는 부분집합에 점이 원소로서 포함되어 있다"라고 해석할 수 있으며, "두 선이 교차한다"는 "두 선의 교집합이 공집합이 아니다"라고 해석할 수 있다. 공선점은 "같은 부분집합에 모두 속한다"라고 해석하면 자연스럽다. 사실, 이러한 해석은 우리가 그림을 그렸을 때 직관적으로 이해하고 있는 기하학의 시스템을 집합론적으로 엄밀하게 정의한 것에 불과하다. 이제 결합 기하학 모델의 세 공리를 알아보자.

공리 1 (I1)

임의의 서로 다른 두 점에 대해, 그 두 점을 지나는 유일한 선이 존재한다.

공리 2 (I2)

임의의 선은 반드시 서로 다른 두 점을 지난다.

공리 3 (I3)

공선점이 아닌 세 점이 존재한다.

예시

세 점 기하학

이와 관련한 내용은 세 점 기하학에서 볼 수 있습니다.

I3 때문에, 결합 기하학은 최소 3개의 점을 가지고 있어야만 한다. 그리고 실제로 점 3개만을 사용하여 결합 기하학의 모델을 만들 수 있는데, 그게 바로 세 점 기하학(3 point Geometry)이다. 세 점 기하학의 구성은 다음과 같다.

• 점: A, B, C
• 선: {A, B}, {B, C}, {C, A}

이게 끝이다. 정말 간단하기 짝이 없다. 이 시스템이 결합 기하학의 모델인지 확인하기 위해서는 I1, I2, I3이 성립하는지 살펴보면 된다. 쉽게 확인할 수 있으므로 직접 해보자.

파노 기하학

이와 관련한 내용은 파노 기하학에서 볼 수 있습니다.

위 세 점 기하학보다 조금 더 복잡해졌지만, 여전히 간단한 기하학. 이탈리아의 수학자 지노 파노(Geno Fano)가 연구했기 때문에 파노 기하학(Fano's Geometry)이라 부른다. 파노 기하학의 구성은 다음과 같다.

• 점: A, B, C, D, E, F, G
• 선: {A, B, C}, {C, D, E}, {E, F, A}, {A, G, D}, {C, G, F}, {E, G, B}, {B, D, F}

역시 간단하게 이 시스템이 결합 기하학의 모델임을 쉽게 확인할 수 있다.

데카르트 평면

가장 익숙할 기하학 체계. 점들의 집합은 [math]\displaystyle{ \left\{\left(x,y\right)|x,\,y\in\mathbb{R}\right\} }[/math]으로 우리가 알고 있는 그것과 동일하며, 선은 직선의 방정식을 생각하면 된다. I1, I2, I3이 성립함을 역시 쉽게 보일 수 있다.

클라인 디스크

벨트라미-클라인 모델(Beltrami–Klein model)이라고도 부른다. 데카르트 평면과 다 똑같지만, 영역이 원으로 제한되었다. 클라인 디스크는 영역이 [math]\displaystyle{ \left\{\left(x,y\right)|x^2+y^2\lt 1\right\} }[/math]인 경우를 부르는 특수한 경우. 데카르트 평면에서 영역을 제한한 것이기 뿐이기 때문에 I1, I2, I3이 당연히 성립한다. 클라인 디스크가 중요한 이유는, 주어진 한 선에 평행하고, 선 밖에 있는 주어진 한 점을 지나는 선이 무수히 많기 때문. 여기서 평행이란, 우리가 흔히 생각하는 그런 평행이 아니라, 교집합이 공집합인 두 선을 뜻한다.

구면 기하학

이와 관련한 내용은 구면 기하학에서 볼 수 있습니다.

일단 결론부터 말하면, 구면 기하학은 결합 기하학이 아니다. 일단 (특수한 경우의) 구성을 살펴보자.

• 점: [math]\displaystyle{ \mathbb{S}^2=\left\{\left(x,y,z\right)|x^2+y^2+z^2=1,\quad x,\,y,\,z\in\mathbb{R}\right\} }[/math]
• 선: 두 점을 지나는 대원(great circle).

세 공리 중 어느 것을 만족시키지 못하는지 생각해 보자.

해설 I1을 만족하지 못한다. 북극점과 남극점을 지나는 선이 유일하지 않고 무한하기 때문이다(모든 경도가 그러한 선이 된다).

결합 기하학의 정리

저 세 가지로 무슨 기하학 명제를 증명하냐 싶지만, 몇몇 (당연해 보이지만) 중요한 성질을 증명할 수 있다.

두 선의 교점은 유일하다

서로다른 두 선 [math]\displaystyle{ l,\,m }[/math]이 점 [math]\displaystyle{ P }[/math]에서 교차한다고 가정하자. 이제, [math]\displaystyle{ P'\neq P }[/math]인 점 [math]\displaystyle{ P' }[/math]가 존재하여, [math]\displaystyle{ P'\in l\cap m }[/math]이라 가정하자. 그럼 I1에 의해, 점 [math]\displaystyle{ P,\,P' }[/math]을 지나는 유일한 선이 존재한다. 그런데, [math]\displaystyle{ \left\{P,P'\right\}\subseteq l,\,m }[/math]이고, [math]\displaystyle{ l\neq m }[/math]이므로, 이는 I1의 유일성에 모순이다. 따라서 서로 다른 두 선의 교점은 (존재한다면) 유일하다.

선 위에 존재하지 않는 점이 존재한다

임의의 선이 하나 있다고 하자. 그럼, I2에 의해 선 위에 서로 다른 두 점이 존재한다. 만약, 이 선 밖에 점이 없다면, 모든 점은 이 선 위에 있게 되고, 이는 I3에 모순이다. 따라서, 임의의 선 밖에 적어도 하나의 점이 존재한다.

한 선과 교차하는 서로 다른 두 선이 존재한다

[math]\displaystyle{ l }[/math]이 주어진 한 선이라 가정하자. 그럼, I2에 의해 [math]\displaystyle{ l }[/math] 위에 서로 다른 두 점 [math]\displaystyle{ P,\,Q }[/math]가 존재한다. 또한, 바로 위 명제에 의해, [math]\displaystyle{ l }[/math] 밖에 점 [math]\displaystyle{ R }[/math]이 존재한다. 이제, I1에 의해 [math]\displaystyle{ P,\,R }[/math]을 지나는 선 [math]\displaystyle{ m }[/math]과 [math]\displaystyle{ Q,\,R }[/math]을 지나는 선 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재한다. 그럼, [math]\displaystyle{ m,\,n }[/math]은 [math]\displaystyle{ l }[/math]과 분명히 교차하고, [math]\displaystyle{ l\neq m,\,l\neq n }[/math]이다. 더욱이, [math]\displaystyle{ m\neq n }[/math]인데, 만약 [math]\displaystyle{ m=n }[/math]일 경우, [math]\displaystyle{ R\in l }[/math]이고, 이는 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 정의에 모순되기 때문이다.

확장

이와 관련한 내용은 절대 기하학에서 볼 수 있습니다.

전술했듯이, 결합 기하학은 너무 간단한 구조를 가지고 있기 때문에, 좀 더 복잡한 기하학적 사실을 증명하기 위해서는 다른 기하학이 필요하게 된다. 그렇다고 해서 평행선 공준을 바로 받아들이는 것은 아니고, 평행선 공준을 제외한 다른 공리·공준을 받아들여 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학에서 모두 똑같이 쓸 수 있는 기하학을 중간 과정으로 쓰게 된다.