방정식(方程式, Equation)이란 간단히 말하자면 어떤 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 찾는 식으로, 미지수의 값에 따라서 참이 되거나 거짓이 되는 등식이다.[1] 미지수의 값에 따라 참/거짓 여부가 달라지기 때문에 방정식은 일반적으로 명제가 될 수 없으며, 방정식을 참으로 만드는 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 부른다. 한 가지 예시를 들어보자. [math]\displaystyle{ x^3-3x+2=0 }[/math]라는 식은 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 1 또는 −2일 때는 참이지만, [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]일 때는 거짓이다. 따라서 이 식은 방정식이며, 해는 1 또는 −2다.
주의할 점은 항상 참이거나, 항상 거짓인 경우 역시 방정식이라는 것이다. 전자의 경우를 항등식이라고 하며, 후자의 경우를 불능이라 한다. 이런 경우에는 참/거짓이 분명하므로 명제가 된다. 항등식의 예는 항목을 참조하고, 불능의 예는 [math]\displaystyle{ x=x-1 }[/math], [math]\displaystyle{ 0x=1 }[/math] 등이 있다.
수학적인 직관이 있는 사람이라면 방정식의 해가 항상 존재하는지 아닌지[2] 의문을 가질 수 있다. 대수학의 기본 정리라 불리는 이는 18세기 수학의 뜨거운 감자였으며, 많은 수학자들이 증명을 시도하였지만 카를 프리드리히 가우스가 하나하나 오류를 밝혀가며 그 증명들을 깨부셨다. 그리고선 본인이 그 때 당시에는 완벽한 증명을 보여 대수학의 기본 정리를 푼 수학자라는 명예를 얻었지만 현대에 와서는 가우스의 증명에도 살짝 오류가 있다는 것이 밝혀졌다.(위상수학적 오류로, 현대 수학에서 쓰이는 해에 관한 위상수학적 내용이 그 당시에는 완전하지 않아서 아러한 오류를 범한 것으로 보인다.)안습 이에 대한 더 자세한 설명은 해당 문서를 참조하자.
왜 중요한가?
방정식 따위를 도대체 왜 배우냐고 묻는 학생들이 많은데, 세상 거의 모든 것이 다 방정식이다. 당신이 용돈을 얼마만큼 받아서 사고싶은 물건을 얼마나 살 수 있는가 같은 것도 실은 간단한 방정식이다. 집에서 학교까지 가는 시간을 계산하는 것도 방정식이며, 지금 자고 새벽에 일어나 몇 시간 공부할 수 있는지 계산하는 것도 방정식이다. 이렇게 간단한 것들도 방정식인데 복잡한 것으로 가면 더욱 말할 것도 없다. 그러니 불평하지 말고 배우자.
방정식의 종류
일변수 방정식
일변수 방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}{{a}_{i}}x^{i} = 0 }[/math].
이 때, [math]\displaystyle{ a_i }[/math]가 0이 아닌 i 중에서 가장 큰 i의 값을 n이라고 하자. 그러면 이 방정식을 n차 방정식이라고 한다.
일차방정식
[math]\displaystyle{ ax+b=0 }[/math]형태의 방정식. 가장 간단한 방정식이며, 미지수를 [math]\displaystyle{ \square }[/math]에서 [math]\displaystyle{ x }[/math]로 바꿨을 뿐, 초등학교 때 부터 계속 배워온 것이다. 답은 a와 b의 값에 따라 세 가지로 나뉜다.
- [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math]: [math]\displaystyle{ x=-\frac{b}{a} }[/math]가 유일한 답이다.
- [math]\displaystyle{ a=0, b=0 }[/math]: [math]\displaystyle{ x }[/math]의 값에 상관없이 항상 성립하므로 항등식이다.
- [math]\displaystyle{ a=0,b\neq0 }[/math]: [math]\displaystyle{ x }[/math]의 값에 상관없이 항상 성립하지 않으므로 불능이다.
이차방정식
[math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 }[/math]형태의 방정식. 단 [math]\displaystyle{ a\neq0 }[/math]이다. 중학교 때 처음 배우며, 인수분해와 함께 본격적으로 학생들을 괴롭히기 시작한다. 크게 두 가지 풀이법이 있다.
- 인수분해: [math]\displaystyle{ a\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)=0 }[/math]의 형태로 인수분해를 할 수 있다면 [math]\displaystyle{ x=\alpha,\beta }[/math]가 답이다.
- 근의 공식: 인수분해가 잘 안 된다면 망설이지 말고 바로 근의 공식을 쓰도록 하자. [math]\displaystyle{ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} }[/math]가 답. 만약 [math]\displaystyle{ b }[/math]가 짝수라면 [math]\displaystyle{ b'=b/2 }[/math]로 바꾼 뒤 [math]\displaystyle{ x=\frac{-b'\pm\sqrt{{b'}^2-ac}}{a} }[/math]을 쓸 수도 있다. 이 공식은 방정식을 완전제곱꼴로 바꾼 뒤 근호를 씌워 유도할 수 있다.
삼차방정식
여기서 부터는 인수분해가 필수. [math]\displaystyle{ ab=0 }[/math]이라면, [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ b=0 }[/math]인 것에서 착안하여 일단 다항식을 인수분해한다. 편의상 최고차항의 계수를 1이라고 하면, [math]\displaystyle{ \left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\cdots\left(x-\eta\right)=0 }[/math]로 인수분해가 될 것이고, 따라서 [math]\displaystyle{ x=\alpha,\beta,\cdots,\eta }[/math]가 답이 된다. 만약 인수분해가 안되면 포기한다. 참고로 근의 공식이 있는데, 외울 생각 절대 하지 말자. 직접 보면 안다.
삼차방정식의 근의 공식은 타르탈리아라는 수학자가 발견했는데, 그는 카르다노라는 다른 수학자한테 "절대 발표하지 말 것"이라는 조건으로 근의 공식을 알려줬다. 하지만 카르다노는 이 근의 공식을 당당하게, 그것도 마치 자기가 발견한 것 처럼 세상에 발표했고, 삼차 방정식의 근의 공식은 "카르다노의 공식"이라는 이름이 붙었다. 뒷통수를 맞은 타르탈리아는 카르다노를 죽을 때까지 저주하게 된다.<ref>현대에는 이를 "타르탈리아의 공식"으로 바꾸자고 주장하는 수학자들이 많다.
사차방정식
이차 이상의 방정식들과 마찬가지로 인수분해를 이용하며, 복이차방정식이라는 것이 존재하는데, 좀 풀기 번거로운 녀석으로 사차항을 이차항으로 치환하여 이차방정식으로 바꾼 뒤 치환한 미지수의 값과 원래 사차항이 같다고 놓고 풀면 복소수 범위에서 무조권 해가 나온다. 인수분해가 되지 않는다면 이차항을 적당히 분리하여 푼다. 만약 치환한 뒤 근의 공식에 대입하면 이중근호가 나오므로 망했어요가 된다. 사차방정식 역시 근의 공식이 있는데, 정말 외울 생각 못 한다.
오차 이상의 고차방정식의 비가해성
흥미롭게도, 오차 이상의 방정식은 근의 공식이 존재하지 않는다. 증명은 닐스 헨리크 아벨이 했다. 그러나 이것이 해가 존재하지 않음을 의미하는 것은 아니다. 근 자체는 대수학의 기본 정리에 의해 (복소수 범위에서) 존재하며, 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 사칙연산과 근호만을 사용한 근의 표현식이 존재하지 않는다는 뜻이다. 이와는 별도로 갈루아는 5차 이상의 방정식의 해를 구할 수 있는 조건에 대한 논문을 발표했는데, 역시 사칙연산과 근호만을 사용해 해를 구하는 것을 뜻한다.
다변수 방정식
변수가 [math]\displaystyle{ x }[/math]하나가 아니라 [math]\displaystyle{ y,z }[/math]등 여러 개가 있는 경우. 미지수의 개수 > 식의 개수일 경우 일반적으로 부정방정식이 되며, 미지수의 개수 = 식의 개수일 경우 보통 단 하나의 해, 마지막으로 미지수의 개수 < 식의 개수 일 경우 해가 하나 있거나 없다. 선형대수학의 지식이 필요하며, 더 자세한 것은 연립방정식 항목을 참조.
미분 방정식
방정식에 미분 계수가 들어가 있는 경우. 더 자세한 내용은 미분방정식 항목을 참조하자. 참고로 미분방정식이 중요한 이유는 많은 물리학 법칙들이 미분의 형태로 나타나기 때문이다. 대표적인 것으로 [math]\displaystyle{ F=m\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}} }[/math]. [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}} }[/math]가 고정돼 있을 경우 고등학교 물리시간에 많이 본 식인 [math]\displaystyle{ F=ma }[/math]가 된다.
함수 방정식
위의 경우들은 모두 변수가 어떤 실수나 복소수 값들을 구했다. 함수방정식은 변수가 함수인 경우다. 예를 들어보자. [math]\displaystyle{ f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right) }[/math]라는 방정식은 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=a^x }[/math]일 때 참이 된다. 코시의 함수 방정식도 대표적인 예이며, 중요한 예는 윗문단의 미분방정식이다.
기타
- 분수 방정식: 분모에 미지수가 포함되어 있는 방정식을 말한다. 예를 들면 [math]\displaystyle{ \frac {1}{x}-\frac {1}{x-2}=0. }[/math]같은 것. 푸는 방법은 분모의 최소공배수를 양 변에 곱하여 다항 방정식으로 바꾼 뒤 풀면 된다. 그러면 분수 방정식은 다항 방정식과 차이점이 무엇인지 의문이 들 수 있는데, 바로 무연근의 존재. 무연근이란, 풀기 편한 형태로 바꾼 방정식(위에선, 최소공배수를 곱해 만든 다항방정식)에선 해가 되지만, 원래의 방정식에선 해가 되지 않는 값인데, 예시를 들어보자. [math]\displaystyle{ \frac{1}{x}=\frac{1}{x\left(x+1\right)} }[/math]이라는 방정식을 풀기 위해 양 변에, [math]\displaystyle{ x\left(x+1\right) }[/math]을 곱하면, [math]\displaystyle{ x+1=1 }[/math]가 되어 [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]이 된다. 하지만 원래의 방정식의 해는 되지 않는데, 분모를 0으로 만들기 때문이다.
무연근이 존재하는 이유는 다음과 같다. [math]\displaystyle{ a=b }[/math]라는 분수방정식을 풀기 위해 최소공배수 [math]\displaystyle{ L }[/math]을 곱한다고 해보자. 그러면, [math]\displaystyle{ aL=bL }[/math]이라는 형태의 다항방정식이 되는데, 이때 [math]\displaystyle{ L=0 }[/math]인 경우, [math]\displaystyle{ a=b }[/math]가 아니더라도 이 다항방정식은 참이 된다. 이런 경우 무연근이 생기는 것이다.
- 무리 방정식: 근호에 미지수가 포함되어 있는 방정식을 말한다. 예를 들면 [math]\displaystyle{ \sqrt{x-2}+x=8 }[/math]. 무리 방정식을 어떻게 푸는 방법은 적당히 거듭제곱을 취해서 근호를 제거, 다항방정식 형태로 만든 뒤 푼다. 무리방정식의 경우도 분수방정식처럼 무연근이 존재할 수 있다. 그 이유는 다음과 같다. [math]\displaystyle{ a=b }[/math]를 풀기 위해 양변을 제곱했다 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ a^2=b^2 }[/math]인데, 이 경우 [math]\displaystyle{ a=-b }[/math]도 근이 된다. 하지만 원 방정식의 근은 되지 않으며, 이런 경우 무연근이 생긴다.
- 절대값이 들어간 방정식: [math]\displaystyle{ \left|x\right|=1 }[/math]같은 경우. 절대값을 풀 때 다른 쪽의 부호가 양수, 음수일 경우로 나눠서 풀면 된다.
- 삼각 방정식: 삼각함수안에 미지수가 있는 경우. 특별한 경우가 아니면 해가 주기성을 띈다.
- 지수/로그 방정식: 지수, 로그안에 미지수가 있는 경우. 지수 방정식의 경우 밑의 조건에 따라, 로그 방정식의 경우 로그의 조건에 따라 무연근이 생길 수 있으니 주의하자.