미분방정식

미분방정식(微分方程式, Differential Equation)은 변수, 함수, 도함수가 포함된 방정식을 말한다. 미방으로 많이 줄여 부르며 영어로는 Diff Eq라고 한다.

용어와 개념

• 상미분방정식 (Ordinary Differential Equation): 흔히 ODE라고 줄여 부른다. 독립변수가 한 개인 미분방정식을 말한다.
• 편미분방정식 (Partial Differential Equation): 흔히 PDE라고 줄여 부른다. 두 개 이상의 독립변수와 이들의 편미분 도함수가 포함된 방정식을 말한다.
• 계(order): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 많이 미분된 숫자를 미분방정식의 계라고 한다.
• 차수(power): 미분방정식에 포함된 도함수 중 가장 높은 계의 도함수의 차수(거듭제곱한 수)를 미분방정식의 차수라고 한다.
• 선형(linear): 미지함수에 관해 선형인 미분방정식을 선형미분방정식이라고 한다. 보통 나타나는 편미분방정식은 선형인 경우가 많다. 미지함수와 그 도함수들이 모두 일차이면 선형이다.
  • 제차(homogeneous)와 비제차(non-homogeneous): 선형미분방정식 중, 미지함수를 포함하지 않은 항이 0일 경우 제차, 혹은 동차라고 한다. 그렇지 않은 경우 비제차, 혹은 비동차라고 한다.
• 비선형(nonlinear): 선형이 아닌 미분방정식을 비선형미분방정식이라고 한다. 미지함수나 그 도함수가 비선형함수 안에 있을 경우, 혹은 계수가 미지함수를 포함할 경우 비선형이다.

예시

• [math]\displaystyle{ y'' +3xy +72 = 0 }[/math] 는 이계 일차미분방정식이다.
• [math]\displaystyle{ \left({\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2}\right)^3 - \left({\mathrm{d}y \over \mathrm{d}x}\right)^{72} = \sin^{14} x }[/math] 은 이계 삼차미분방정식이다.
• [math]\displaystyle{ \sin x {\mathrm{d^2}y \over \mathrm{d}x^2} + 2xy = 0 }[/math] 은 선형 제차 미분방정식이다.
• [math]\displaystyle{ { {\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x} }+ y = 72 }[/math] 는 선형 비제차 미분방정식이다.
• [math]\displaystyle{ \sin \left({{\mathrm{d}y} \over {\mathrm{d}x}} \right) + y = x }[/math] 는 비선형 미분방정식이다.
• [math]\displaystyle{ xyy' + y = x }[/math] 는 비선형 미분방정식이다.

미분방정식의 형태와 해

미분방정식의 형태

General Form과 Normal Form, Standard Form이 있다.

• General Form: [math]\displaystyle{ F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0 }[/math] 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
• Normal Form: [math]\displaystyle{ {d^{n}y \over dx^{n}}=f(x,y,y',...,y^{(n-1)}) }[/math] 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.
• Standard Form: [math]\displaystyle{ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_n=0 }[/math] 의 형태를 가지는 미분방정식을 뜻한다.

특수해, 일반해, 특이해

미분방정식의 해는 함수인데, 보통 하나만 있지 않다. 그래서 어떤 임의의 매개변수를 이용해 그 해들을 나타낸다.

• 특수해(particular solution) : 미분방정식을 만족하고, 임의의 매개변수를 포함하고 있지 않는 함수.
• 일반해(general solution) : 매개변수를 통해 여러 개의 특수해를 나타낸 것.
• 특이해(singular solution) : 어떤 특수해가 일반해로 표현되지 않는 것. 일반해를 어떻게 잡느냐에 따라 상대적인 개념이다.

이 셋과 별개의 개념으로 자명한 해(trivial solution)이 있는데, 이것은 주어진 미분방정식만으로도 자명하게 도출되는 해를 말한다.

예

[math]\displaystyle{ y' + 2y^{3 \over 2} = 0 }[/math] 라는 미분방정식에 대해,
[math]\displaystyle{ y = {1 \over (x+c)^2} }[/math] 은 일반해이다. 그런데, [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math]의 경우 이 일반해로는 표현되지 않지만 주어진 미분방정식을 만족한다.
즉, [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math] 은 이 일반해에 대한 특이해이다.

초깃값 문제와 경곗값 문제

깃과 곗이 어색해보일 수 있지만 보다보면 정이 든다.

[math]\displaystyle{ n }[/math]계 상미분방정식의 일반해는 [math]\displaystyle{ n }[/math]개의 임의의 매개변수를 포함하고 있다. 특수해를 얻기 위해서는 추가적인 조건이 필요하다. 이러한 조건으로 초기 조건과 경계 조건이 있다.

초깃값 문제

미분방정식에 독립변수의 한 값에 대한 조건만 부여된 경우에 이 조건을 초기 조건(initial condition)이라 한다. 초기 조건을 가진 미분방정식을 초깃값 문제(initial value problem)라고 한다.

해의 존재성과 유일성

다음 초깃값 문제
[math]\displaystyle{ a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y=g(x), y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1, \cdots , y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1} }[/math]에 대해,
[math]\displaystyle{ a_0(x), a_1(x), \cdots , a_n(x), g(x) }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]를 포함하는 구간에서 연속이고 이 구간 내의 모든 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n(x) \ne 0 }[/math]이라 하면, 이 초깃값 문제는 유일한 해를 가진다.

경곗값 문제

미분방정식에 독립변수의 두 개 이상의 값에 대한 조건이 부여된 경우에 이 조건을 경계 조건(boundary condition)이라 한다. 경계 조건을 가진 미분방정식을 경곗값 문제(boundary value problem)라고 한다.

2계 미분방정식의 경계조건은 일반적으로

[math]\displaystyle{ \alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) = \gamma_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \alpha_2 y(b) + \beta_2 y'(b) = \gamma_2 }[/math]

와 같이 주어진다.

예

• [math]\displaystyle{ y' -2xy = 3, y(0) = 1 }[/math] 은 초깃값 문제이다. [math]\displaystyle{ y(0) = 1 }[/math]을 초기 조건이라고 부른다.
• [math]\displaystyle{ y'' -3y' - y = 0, y(1) = 1, y'(1) = -1 }[/math] 은 초깃값 문제이다.
• [math]\displaystyle{ y'' -34y' - 2xy = x^2, y(0) = 1, y(2) =4 }[/math] 는 경곗값 문제이다. [math]\displaystyle{ y(0) = 1, y(2) =4 }[/math]를 경계 조건이라고 부른다.

유명한 미분방정식

맬서스 인구 성장 모형

1798년 영국의 경제학자 맬서스에 의해 제시된 인구 성장 모형. 특정 시점의 한 나라 인구 성장률이 그 시점의 그 나라 총 인구수에 비례한다는 가정에 따라 구성되었다. 시간 [math]\displaystyle{ t }[/math]에서의 총 인구수를 [math]\displaystyle{ P(t) }[/math]라고 하면 다음과 같이 나타난다.
[math]\displaystyle{ {\mathrm{d}P(t) \over \mathrm{dt}} = rP(t) }[/math]
여기서 r은 내적 증가율이라고 부르는 비례 상수이다. 이 미분방정식은 후술할 변수분리법으로 풀 수 있고, 일반해는
[math]\displaystyle{ P(t) = e^{rt+c} }[/math] 이다.

스프링에 의한 단순 조화 운동

스프링에 물체를 매달아 당긴 후 놓으면, 물체는 계속해서 왕복운동을 하게 된다. 공기저항이나 마찰력과 같은 힘이 작용하지 않으면 일정한 진폭으로 무한히 왕복하게 되는데, 이를 단순 조화 운동이라고 한다.
스프링이 평형점에서부터 [math]\displaystyle{ x }[/math]만큼 늘어나거나 압축되었을 때 작용하는 복원력은 훅의 법칙에 따라
[math]\displaystyle{ F = -kx }[/math]이다. [math]\displaystyle{ F = ma = m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} }[/math] 이므로,
[math]\displaystyle{ -kx = m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} }[/math] 이고, 이를 다시 쓰면
[math]\displaystyle{ m{\mathrm{d^2x} \over \mathrm{dt}^2} + kx = 0 }[/math] 이다. 이 이계미분방정식을 풀어주면
[math]\displaystyle{ x(t)=c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t, \omega = \sqrt{k \over m} }[/math] 이 된다.
삼각함수의 합성공식을 이용해서 한번 더 정리해주면
[math]\displaystyle{ x(t) = A \cos(\omega t - \phi), A=\sqrt{c_1^2+c_2^2}, \phi = \tan^{-1} \left({c_2 \over c_1} \right) }[/math]이고, [math]\displaystyle{ A }[/math]는 최대 진폭, [math]\displaystyle{ \psi }[/math]는 위상각이라 한다.

미분방정식의 해법

1계 상미분 방정식

변수분리형 미분방정식

1계 미분방정식의 형태가 [math]\displaystyle{ {\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} = {g(x) \over h(y)} }[/math] 와 같이 주어졌을 때, 그 미분방정식을 변수분리형 미분방정식(separable differential equation)이라고 한다. 이러한 미분방정식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
[math]\displaystyle{ h(y)dy = g(x)dx }[/math]
양변을 적분해주면
[math]\displaystyle{ \int h(y)\, \mathrm{dy} = \int g(x)\, \mathrm{dx} + c }[/math] 가 된다.

예

앞서 소개한 인구 모형 [math]\displaystyle{ {\mathrm{d}P(t) \over \mathrm{dt}} = rP(t) }[/math] 를 풀어보자. 이 식을 적절히 정리해 주면,
[math]\displaystyle{ {1 \over P(t)} \mathrm{d}P(t) = r\mathrm{dt} }[/math] 가 된다. 적분해주면,
[math]\displaystyle{ \ln|P(t)| = rt + c }[/math] 이고, 다시 정리해
[math]\displaystyle{ P(t) = e^{rt + c} }[/math] 를 얻을 수 있다. (인구는 항상 양수)
여기서 처음의 인구를 나타내는 초기조건 [math]\displaystyle{ P(0) = P_0 }[/math]를 적용해 보자.
[math]\displaystyle{ P(0) = e^c = P_0 }[/math] 이므로,
[math]\displaystyle{ P(t) = P_0e^{rt} }[/math] 라는 특수해를 얻는다.

완전 미분방정식

이변수함수 [math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]의 전미분은
[math]\displaystyle{ \mathrm{d}f = {\partial f \over \partial x}dx + {\partial f \over \partial y}dy }[/math] 이다. [math]\displaystyle{ \partial }[/math]는 편미분 기호로, 항목을 참조하라.

1계 미분방정식 [math]\displaystyle{ M(x, y) + N(x, y){\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} = 0 }[/math] 의 양변에 dx를 곱하면
[math]\displaystyle{ M(x, y)\mathrm{dx} + N(x, y)\mathrm{dy} = 0 }[/math] 이고,
이 미분방정식의 좌변이 위의 [math]\displaystyle{ \mathrm{d}f }[/math], 즉 어떤 함수의 전미분이 될 때, 미분 형태가 완전하다(exact)고 하고, 이 미분방정식을 완전 미분방정식(exact differential equation)이라고 한다.

이 미분방정식을 풀어보자.
[math]\displaystyle{ M(x, y) = {\partial f \over \partial x} }[/math] 이므로 양변을 적분해주면,
[math]\displaystyle{ \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h(y) = f }[/math] 이다. 여기서는 편미분에 무참히 갈려나갔던 [math]\displaystyle{ y }[/math]의 함수가 적분상수가 된다.
이 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ {\partial f \over \partial y} = N(x, y) }[/math]도 만족하므로, [math]\displaystyle{ y }[/math]에 대해 편미분해주면,
[math]\displaystyle{ N(x , y) = {\partial f \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h'(y) }[/math] 이 성립할 것이다. 즉 [math]\displaystyle{ h(y) }[/math]는 다음 조건을 만족하는 함수이다.
[math]\displaystyle{ h'(y) = N(x, y) - {\partial \over \partial y} \int \, M(x,y) dx }[/math]
이를 [math]\displaystyle{ y }[/math]에 대해 잘 적분해 [math]\displaystyle{ h(y) }[/math]를 구하고,
[math]\displaystyle{ \int M(x, y) \, \mathrm{dx} + h(y) = f }[/math]에 다시 대입해 주면 [math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]를 구할 수 있다.

완전미분 여부 확인

이쯤 되면 한 가지 의문이 떠오를 텐데, 아니면 말고 도대체 저게 완전 미분방정식인지 어떻게 안단 말인가? 그 답으로, 다음과 같은 정리가 있다.

[math]\displaystyle{ M(x, y) }[/math] 와 [math]\displaystyle{ N(x, y) }[/math]가 연속이고 일계 편도함수를 가질 때,
[math]\displaystyle{ M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} = 0 }[/math] 이 완전미분방정식이기 위한 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ {\partial M \over \partial y} = {\partial N \over \partial x} }[/math] 이다.

• 필요조건 증명

[math]\displaystyle{ M(x, y) \mathrm{dx} + N(x, y) \mathrm{dy} }[/math] 가 어떤 함수[math]\displaystyle{ f }[/math]의 전미분이라고 가정하면,
[math]\displaystyle{ M(x, y) = {\partial f \over \partial x}, N(x, y) = {\partial f \over \partial y} }[/math]를 만족한다.
[math]\displaystyle{ f(x, y) }[/math]의 이계 편도함수가 존재하고 연속이면 [math]\displaystyle{ {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) }[/math]를 만족(편미분하는 순서를 바꾸어도 결과가 같다)하므로,
[math]\displaystyle{ {\partial M \over \partial y} = {\partial \over \partial y} \left( {\partial f \over \partial x} \right) = {\partial \over \partial x} \left( {\partial f \over \partial y} \right) = {\partial N \over \partial x} }[/math] 임을 알 수 있다.

• 충분조건 증명

추가바람

적분인자

[math]\displaystyle{ M(x, y)\mathrm{dx} + N(x, y)\mathrm{dy} = 0 }[/math] 형태의 미분방정식이 완전미분방정식이 아닐 때, 적절한 함수 [math]\displaystyle{ \mu (x, y) }[/math]를 양변해 곱해주면 완전 미분방정식으로 만들 수가 있다. 이때의 [math]\displaystyle{ \mu (x, y) }[/math]를 적분인수 혹은 적분인자(integrating factor)라고 한다.
즉, 함수 [math]\displaystyle{ \mu(x, y) }[/math]가 적분인자일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ {\partial \mu M \over \partial y} = {\partial \mu N \over \partial x} }[/math]이다. 곱의 미분법을 이용해 한번 더 정리하면,

[math]\displaystyle{ N {\partial \mu \over \partial x} - M {\partial \mu \over \partial y} = \mu({\partial M \over \partial y} - {\partial N \over \partial x}) }[/math]

이다.
이를 만족하는 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]를 찾으면 되는데, 저게 편미분방정식(...)인게 문제다. 원래 미분방정식보다 풀기 어렵다는 뜻이다. 하지만 다행히도, 특수한 경우에는 [math]\displaystyle{ \mu }[/math]를 구할 수가 있다. 이하, [math]\displaystyle{ f_x = {\partial f \over \partial x} }[/math] 이다.

• [math]\displaystyle{ {M_y - N_x \over N} }[/math] 이 [math]\displaystyle{ x }[/math]만의 함수일 때. 적분인수는 [math]\displaystyle{ e^{\int{M_y-N_x \over N} \, \mathrm{dx}} }[/math] 이다.
• [math]\displaystyle{ {M_y - N_x \over M} }[/math] 이 [math]\displaystyle{ y }[/math]만의 함수일 때. 적분인수는 [math]\displaystyle{ e^{\int{M_y-N_x \over M} \, \mathrm{dy}} }[/math] 이다.

1계 선형 상미분방정식

1계 선형 상미분방정식은 일반적으로 다음과 같이 나타난다.
[math]\displaystyle{ a_1(x){\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} + a_0(x) y = f(x) }[/math]
양변을 [math]\displaystyle{ a_1(x) }[/math] 로 나누면
[math]\displaystyle{ {\mathrm{dy} \over \mathrm{dx}} + P(x)y = Q(x) }[/math]와 같이 쓸 수 있다. 이를 표준형이라고 한다.
제차일 경우, 즉 [math]\displaystyle{ Q(x) = 0 }[/math]일 때는 [math]\displaystyle{ {\mathrm{dy} \over y} = -P(x)\mathrm{dx} }[/math]이므로 변수분리형이고, 적분하면 풀 수 있다.
비제차일 경우, 그 적분인수는 [math]\displaystyle{ \mu (x) = e^{\int P(x)\, \mathrm{dx}} }[/math] 이고, 해는
[math]\displaystyle{ y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, \mathrm{dx} + C \right) }[/math] 이다.
증명은 간단하다. 양변에 적분인수를 곱하면,
[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{dx}}\mu\left(x\right)+\mu\left(x\right)P\left(x\right)y=\mu\left(x\right)Q\left(x\right) }[/math]이고, 이것은 곧 [math]\displaystyle{ \left(y\mu\left(x\right)\right)'=\mu\left(x\right)Q\left(x\right) }[/math]이다. 양변을 적분해준 뒤 적분인수를 나눠주면 [math]\displaystyle{ y = {1 \over \mu (x)} \left( \int \mu (x) Q(x)\, dx + C \right) }[/math] 이다.

치환

변수를 다른 변수로 치환하여 푸는 방법이다. 세 가지 경우에 적용할 수 있는 각각의 풀이법이 있다.

첫번째 경우

방정식 [math]\displaystyle{ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 }[/math]가 [math]\displaystyle{ M(tx,ty)=t^\alpha M(x,y), N(tx,ty)=t^\alpha N(x,y) }[/math]를 만족하는 경우에 쓸 수 있는 풀이방법이 있다. 이 경우 각각의 계수를

[math]\displaystyle{ M(x,y)=x^\alpha M(1,u), N(x,y)=x^\alpha N(1,u)(u=y/x) }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ M(x,y)=y^\alpha M(v,1), N(x,y)=y^\alpha N(v,1)(v=x/y) }[/math] 형태로 변환할 수 있다. 이 중 첫번째 경우로 방정식에 대입하여 식을 전개해 보자. [math]\displaystyle{ y=ux }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ dy=udx+xdu }[/math] 꼴이 나올 것이다. 이를 방정식에 대입하면

[math]\displaystyle{ x^\alpha M(1,u)dx+x^\alpha N(1,u)(udx+xdy)=0 }[/math] 이 된다. [math]\displaystyle{ x^\alpha }[/math]로 나누면

[math]\displaystyle{ M(1,u)dx+N(1,u)(udx+xdu)=0 }[/math] 꼴이 되고, [math]\displaystyle{ (M(1,u)+uN(1,u))dx+xN(1,u)du=0 }[/math] 로 정리된다. 이것을 변수 분리 형태로 정리하면

[math]\displaystyle{ {dx \over x}+{N(1,u)du \over M(1,u)+uN(1,u)}=0 }[/math] 이 된다. 이 풀이법은 매우 복잡해 보이지만 중간 과정에서 [math]\displaystyle{ y=ux }[/math] 임을 활용해 방정식을 전개한 것을 생각하면 사실 위의 조건만 만족하는지를 따져본 이후 바로 [math]\displaystyle{ y=ux }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ x=vy }[/math] 를 대입하여 풀면 된다.

두번째 경우

[math]\displaystyle{ {dy \over dx}=f(Ax+By+C), B\neq(0) }[/math]를 만족하는 경우에 적용할 수 있는 풀이법이다. 간단하게 [math]\displaystyle{ u=Ax+By+C }[/math] 로 치환하여 풀 수 있다.

베르누이 방정식

[math]\displaystyle{ {dy \over dx}+P(x)y=Q(x)y^n }[/math] 꼴의 미분방정식을 베르누이 방정식(Bernoulli's Equation)이라고 한다. [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] 의 경우에는 선형 1계 미분방정식이고 특히 [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ Q (x)=0 }[/math]인 경우 선형 제차 1계 미분방정식이므로, 상술되어 있는 풀이 방법을 통해 풀면 된다. 그 외의 경우 [math]\displaystyle{ u=y^{1-n} }[/math] 로 치환하여 선형 미분방정식 꼴로 변환하여 풀 수 있다.

2계 이상의 상미분 방정식

여기서 부터는 약간 찍어 맞추는 듯한 풀이를 쓰게 된다.

제차

적당한 실수 [math]\displaystyle{ r }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y=e^{rt} }[/math]라 가정한다. 이를 [math]\displaystyle{ ay''+by'+cy=0 }[/math]에 넣고 간단히 정리하면 [math]\displaystyle{ ar^2+br+c=0 }[/math]이다. 이 방정식의 근을 [math]\displaystyle{ r_1,\,r_2 }[/math]라 했을 때, 총 세 가지의 경우가 존재한다.

1. [math]\displaystyle{ r_1\neq r_2,\quad r_1,r_2\in\mathbb{R} }[/math]:

[math]\displaystyle{ y=e^{r_1t},\,y=e^{r_2t} }[/math]가 두 특수해가 된다. 일반해는 특수해의 선형결합이므로, 적당한 실수 [math]\displaystyle{ c_1,c_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t} }[/math]가 해.

2. [math]\displaystyle{ r_1\neq r_2,\quad r_1,r_2\in\mathbb{C} }[/math]:

두 근이 복소수인 경우. [math]\displaystyle{ r_1=\alpha+i\beta }[/math]라 가정하자. 그럼 [math]\displaystyle{ e^{r_1t}=e^{\alpha t}\left(\cos\beta t+i\sin\beta t\right) }[/math]이다 (오일러의 공식). 적당한 연산을 통해 실수부와 허수부가 각각 원 방정식의 특수해가 됨을 알 수 있다. 더욱이 이 두 특수해는 선형 독립이므로, [math]\displaystyle{ e^{\alpha t}\left(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t\right) }[/math]가 일반해이다.

3. [math]\displaystyle{ r_1=r_2 }[/math]:

먼저 [math]\displaystyle{ e^{r_1t} }[/math]가 한 해임을 알 수 있다. 이를 [math]\displaystyle{ y_1 }[/math]이라 하자. 나머지 한 특이해를 찾기 위해 Variation of Parameter 방법을 사용한다.

적당한 [math]\displaystyle{ v\left(t\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y_2=y_1v }[/math]가 방정식 [math]\displaystyle{ y''+Py'+Q=0 }[/math]의 해라고 가정하자. 여기에 [math]\displaystyle{ y_2 }[/math]를 대입하고 정리하면 [math]\displaystyle{ y_1v''+\left(2y_1'+Py_1\right)v'=0 }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ y_1\neq0 }[/math]이라고 가정하면, [math]\displaystyle{ v''+\left(\frac{2y_1'}{y_1}+P\right)v'=0 }[/math]이고, 이는 [math]\displaystyle{ v' }[/math]에 관한 일차 선형 상미분 방정식이다. 이를 풀어주면 [math]\displaystyle{ v\left(t\right)=\int{\frac{\exp\left(-\int P\left(t\right)\mathrm{dt}\right)}{{y_1}^2}}\mathrm{dt} }[/math]이다. 특이할 점은, [math]\displaystyle{ y''+\frac{b}{a}y'+\frac{c}{a}y=0 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ v\left(t\right)=t }[/math]라는 것이다. 따라서 두번째 특수해는 [math]\displaystyle{ y_2=te^{r_1t} }[/math]임을 알 수 있고, 따라서 일반해는 [math]\displaystyle{ c_1e^{r_1t}+c_2te^{r_1t} }[/math]이다.

비제차

제차의 일반해를 [math]\displaystyle{ y_h }[/math], 비제차의 한 특수해를 [math]\displaystyle{ \psi }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ y=y_h+\psi }[/math]는 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 된다. 증명은 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \phi }[/math]가 비제차 선형 미분방정식의 한 해라고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \phi-\psi }[/math]는 제차 선형 미분방정식의 해이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \phi-\psi=y_h }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \phi=y_h+\psi }[/math]이다. 이는 곧 비제차 선형 미분방정식의 일반해가 [math]\displaystyle{ y_h+\psi }[/math]임을 나타낸다.

문제는 여기서 어떻게 [math]\displaystyle{ \psi }[/math]를 찾느냐 이다. 아래는 그 방법들.

1. Variaion of Parameters: 적당한 [math]\displaystyle{ u_1\left(t\right),\,u_2\left(t\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \psi=u_1y_1+u_2y_2 }[/math]라 가정하자 ([math]\displaystyle{ y_1,y_2 }[/math]는 제차 선형 미분방정식의 두 해). 이를 원 방정식에 넣은 뒤 계산을 해주면 [math]\displaystyle{ {u_1}'=-\frac{y_2g}{W\left[y_1,y_2\right]},\,{u_2}'=\frac{y_1g}{W\left[y_1,y_2\right]} }[/math]이다 ([math]\displaystyle{ g }[/math]는 비제차 항, [math]\displaystyle{ W }[/math]는 Wronskian).
2. Judicious Guessing: 이름에서 알 수 있듯이, 찍어 맞추는 것이다. 만약 비제차 항이 다항식이라면, 특수해도 다항식의 형태. 지수함수가 곱해져 있다면 특수해에도 지수함수가 곱해져 있을 것이다. 만약 사인이나 코사인이 있다면 복소수를 사용한 다항식의 형태가 특수해. 특수해의 각 계수는 미정계수법을 사용해 찾는다.
3. 라플라스 변환

일반적으로는 두 번째 방법이 제일 빠르다. 만약 계산이 복잡해 진다면 라플라스 변환을 시도하자.

상수계수 상미분 방정식

차수가 3 이상일 경우에는 기본적으로 2계 상미분 방정식과 동일한 방법을 사용한다. 비제차의 경우에는 Judicious Guessing이나 라플라스 변환을 사용해 특수해를 찾는 것도 동일.

비선형 상미분방정식

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연립 미분방정식

미분방정식 여러 개가 연립되어 있는 형태. 여기서 부터는 행렬이 필수이며, 고유값과 같은 선형대수학적 지식도 필요하다.

편미분방정식(PDE)

이와 관련한 주제는 편미분방정식에서 다룹니다.

편미분방정식(Partial Differential Equation)은 독립변수가 여러 개인 미분방정식이다.

수치해석적 방법

정확한 해를 구하기 힘든 미분방정식이 많기 때문에 컴퓨터 등을 이용해 근사적인 해를 구하기 위한 방법들이 많이 존재한다.

• 룽게-쿠타 방법