오차방정식(五次方程式, quintic equation)은 다항방정식의 일종으로, 일반적으로 다음과 같이 나타낸다.
- [math]\displaystyle{ ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0. }[/math]
이때 [math]\displaystyle{ a, \; \cdots, \; f }[/math]는 상수, [math]\displaystyle{ a \ne 0 }[/math]이다.
근의 공식(대수적 풀이)은 존재하는가?[편집 | 원본 편집]
역사[편집 | 원본 편집]
방정식의 역사는 고대부터 거슬러 올라간다.
이차방정식의 근을 구하는 방법은 바빌로니아 시절부터 존재하였으며, 삼차방정식의 근을 구하는 방법은 16세기에 카르다노가 '아르스 마그나'라는 책을 저술하며 세상에 공개된다.[1]
이 때, 카르다노는 자신의 제자인 페라리와 함께 연구하여 얻어낸 사차방정식의 해법까지 같이 공개한다.
이렇듯 긴 시간이 걸리긴 했지만 다양한 차수의 방정식이 차례로 풀리며 수학자들은 일반적인 경우에도 항상 풀이법이 존재하지 않을까? 하는 기대를 걸게 된다. 그리하여 다양한 연구를 진행하지만 거의 300년에 가까운 시간동안 일반적인 경우는 커녕 오차방정식의 풀이법조차 찾아낼 수 없었다.
그 까닭은 간단하다. 풀이법이 없기 때문이었다! 아벨이란 천재 수학자가 증명한 내용에 대해 보자.
[math]\displaystyle{ S_5 }[/math]는 가해군이 아니다[편집 | 원본 편집]
브링 근호의 이용[편집 | 원본 편집]
브링 근호(브링 라디칼, Bring radical, ultraradical)는 스웨덴의 수학자 Erland Samuel Bring에 의해 소개된 기호로, [math]\displaystyle{ x^5+x-a=0 }[/math][2]의 한 해를 <html><img src="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/Ultraradical_1000.gif"></html>로 나타낸다. Tschirnhausen 변환을 이용하면 [math]\displaystyle{ ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f }[/math]를 적절히 [math]\displaystyle{ \alpha x^5 + \beta x +\gamma }[/math]로 바꿀 수 있다. (Bring-Jerrard normal form) 이는 쉽게 풀 수 있으며, 즉 오차방정식의 (브링 근호를 이용한) 근의 공식이 존재한다.