분수 (수학)

分數, fraction

정의

어떤 수 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 0이 아닌 수 [math]\displaystyle{ b }[/math]로 나눈 것을 [math]\displaystyle{ \frac{a}{b} }[/math]로 표기하고, 이러한 수를 분수라 부른다. 여기서 나눠지는 수인 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 분자(numerator), 나누눈 수인 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 분모(denominator)라 부른다. 혹은 피제수, 제수라고 부르기도 한다. 초등학교나 중학교에서는 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]가 둘 다 자연수, 혹은 정수여야 한다고 설명하는데, 굳이 그럴필요는 없다. 그냥 저런 형태를 띠고 있으면 전부 분수다.

종류

실수에 한해서, 분모와 분자가 서로소이면 기약분수라 부른다. 분모가 분자보다 크면 진분수(眞分數, proper fraction), 분자가 분모보다 크면 가분수(假分數, improper fraction), 그리고 정수와 진분수의 꼴로 나타낸 것을 대분수(帶分數, mixed fraction)라 부른다. 초등학교에서는 가분수를 대분수로 바꾸라는 등의 고문을 시키는데, 학년이 올라가면서 대분수는 쓰지 않게 된다. [math]\displaystyle{ 2\tfrac{2}{3} }[/math]같은 경우, 이게 [math]\displaystyle{ 2+\frac{2}{3} }[/math]인지, [math]\displaystyle{ 2\cdot\frac{2}{3} }[/math]인지 무슨 수로 구분할 것인가? 게다가 복소수까지 가면 크기 판별이 무의미해지고, 미적분으로 가면 [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} }[/math]같은 것이 튀어나와 더이상 평범한 분수가 아니게 된다. d끼리 약분하면 되는거 아님?

분수/분수의 형태는 번분수라 부른다. 번분수를 평범한 분수로 바꿔주려면, 안쪽끼리 곱하여 분모로, 바깥쪽끼리 곱하여 분자로 보내면 된다. 만약 번분수의 분자, 혹은 분모가 정수라면, 분모가 1이라 생각하고 계산해주자.

분수가 여러 개 나열되어있는 형태의 연분수(continued fraction)도 존재한다. [math]\displaystyle{ a+\cfrac{1}{b+\cfrac{1}{c+\ddots}} }[/math]같은 형태이며, 평범한 분수를 연분수로 바꾸어 주기 위해서는 유클리드 호제법을 사용하면 된다. 자세한 것은 연분수 참조.

마지막으로 부분분수는, 어떤 한 분수를 다른 두 분수의 합 또는 차로 나타내는 것을 말한다. [math]\displaystyle{ \frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right) }[/math] 는 학교수학 내신만 좋아도 아마 대부분 중학교 때 보았을 것이며, 이는 가장 대표적인 부분분수. 수학 경시대회 같은 곳에서는 부분분수를 활용한 문제가 매우 많은데, 망원급수(telescoping series)의 계산이나 적분 등에서 쓰인다.

연산

어떤 분수의 분자, 분모의 공배수를 상쇄시키는 것을 약분이라 한다. 간단하게 말하면 기약분수로 만들어 주는 과정. 물론 필요에 따라서는 기약분수가 아닌 그 중간 과정의 분수를 사용해야 할 때도 있다. 약분은 분수의 계산을 간단하게 만들어주는 필수요소이다.

분수를 더하거나 빼려면 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 더하면 안 된다. 먼저 분모를 같게 만들어 줘야 하며, 이 과정을 통분이라 한다. 분모를 같게 만들어 준 뒤에 분자를 더하면 된다. 분모는 그대로 놔둔다. 분수의 곱셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱하면 된다. 필요에 따라서는 분자와 분모를 약분하여 계산을 간단히 할 수도 있다. 나눗셈은 곱셈으로 바꿔준 뒤에 계산하면 되는데, 이 과정을 역수(reciprocal)를 취한다 한다. 정확히 말하면 역수는 어떤 분수의 분모, 분자를 뒤집은 수를 말하며, 분수의 나눗셈에서는 나눗셈 기호 뒤의 분수를 역수로 바꿔준 뒤, 나눗셈 기호를 곱셈 기호로 바꿔주면 된다.

초등학교에서는 분수를 소수로 바꾸라는 고문을 시키기도 한다. 방법은 그냥 분자를 분모로 나눠주면 된다. 여기서 분모의 약수에 따라 유한 소수인지 순환하는 무한 소수인지 결정이 된다. 분수를 먼저 기약분수로 바꿔준 뒤, 분모의 약수가 2또는 5밖에 없으면 유한 소수, 그렇지 않으면 순환하는 무한 소수가 된다. 물론 분자, 분모 모두 정수일 때의 얘기.

중학교에서는 근호가 들어간 분수를 유리화하는 색다른 고문을 시킨다. 분모(혹은 분자)의 켤레근을 분자, 분모에 곱하면 된다. 즉, [math]\displaystyle{ \sqrt{A}\pm\sqrt{B} }[/math]의 경우는 [math]\displaystyle{ \sqrt{A}\mp\sqrt{B} }[/math]를, [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{A}\pm\sqrt[3]{B} }[/math]같은 경우에는 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{A^2}\mp\sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{B^2} }[/math]를 곱하면 된다. 이는 모두 인수분해를 활용한 것.

고등학교에서는 허수가 들어간 분수를 실수화하는 또 다른 고문을 시킨다. 그만좀 고문시켜! 유리화와 비슷하게 켤레근을 곱하면 된다.

분수 전개의 유일성

0.5를 10진법 분수로 전개하면 5/10가 되는 것은 누구나 알고 있다.. 더욱이, 우리는 직관적으로 이 표현이 0.5의 유일한 분수 전개라는 사실을 알고 있다. 물론, 이 사실은 수학적으로 자명한 것이 아니기 때문에 증명이 필요한 명제이다. 여기서는 굳이 10진법이 아닌, 임의의 기수법에 대해 분수 전개가 유일하다는 사실을 증명해보자.

명제

[math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math]가 [math]\displaystyle{ 0\leq x\lt 1 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ b\in\mathbb{Z} }[/math]이 [math]\displaystyle{ b\gt 1 }[/math]이라 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ x }[/math]는 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 거듭제곱을 분모로 가지는 분수들의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 즉, 적당한 정수 [math]\displaystyle{ 0\leq c_i\lt b }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{c_i}{b^i} }[/math]. 단, 모든 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ n\geq N }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ c_n\neq b-1 }[/math]이다.

먼저 마지막에 붙은 희한한 조건이 왜 필요한지 부터 알아보자. 10진법을 기준으로, 0.5를 분수 전개하면 5/10이다. 그런데, [math]\displaystyle{ 0.5=0.499\ldots }[/math]이므로, 우변을 분수 전개하면 [math]\displaystyle{ \frac{4}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\cdots }[/math]이 되고, 이는 5/10과는 다른 표현이다. 마지막에 붙은 조건은 우변과 같은 경우를 제외시키는 역할을 해준다.

증명

[math]\displaystyle{ c_1=\left[bx\right] }[/math]라 하자 (대괄호는 실수의 정수 부분). 그럼, [math]\displaystyle{ 0\leq x\lt 1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ 0\leq bx\lt b }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ 0\leq c_1\lt b }[/math]임을 알 수 있다. 이제, [math]\displaystyle{ x_1=\left\{bx\right\}=bx-c_1 }[/math]라 하자 (중괄호는 실수의 소수 부분). 그럼, [math]\displaystyle{ x=\frac{c_1}{b}+\frac{x_1}{b} }[/math]이다. 이제, [math]\displaystyle{ c_2=\left[bx_1\right] }[/math]이라 하자. 그럼 같은 방법으로 [math]\displaystyle{ 0\leq c_2\lt b }[/math]임을 알 수 있다. [math]\displaystyle{ x_2=\left\{bx_1\right\} }[/math]이라 하고, 이 과정을 계속 반복하면, [math]\displaystyle{ x=\frac{c_1}{b}+\frac{c_2}{b^2}+\cdots+\frac{c_n}{b^n}+\frac{x_n}{b^n} }[/math]을 얻는다. 한편, [math]\displaystyle{ b\gt 1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ 0\leq x_n\lt 1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{b^n}=0 }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ x=\lim_{n\to\infty}{\frac{c_1}{b}+\frac{c_2}{b^2}+\cdots+\frac{c_n}{b^n}}=\sum_{i=1}^\infty\frac{c_i}{b^i} }[/math]이다.

만약 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty\frac{d_i}{b^i}=\sum_{i=1}^\infty\frac{c_i}{b^i} }[/math]이 또다른 표기법이라면, 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ c_n\neq d_n }[/math]이다. 이를 만족하는 가장 작은 자연수를 [math]\displaystyle{ k }[/math]라 하자. 일반성을 잃지 않고 [math]\displaystyle{ c_k\gt d_k }[/math]라 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \frac{c_k}{b^k}+\sum_{i=k+1}^\infty\frac{c_i}{b^i}=\frac{d_k}{b^k}+\sum_{i=k+1}^\infty\frac{d_i}{b^i} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \frac{1}{b^k}\leq\frac{c_k-d_k}{b^k}=\sum_{i=k+1}^\infty\frac{d_i-c_i}{b^i}\leq\sum_{i=k+1}^\infty\frac{b-1}{b^i} }[/math]이다. 그런데, 제일 오른쪽의 부등호의 등호가 성립한다면, [math]\displaystyle{ d_i=b-1,\,c_i=0,\,\forall i }[/math]이고, 이는 주어진 가정에 모순이다. 따라서, 제일 오른쪽의 부등호는 등호가 절대 성립하지 않는다. 그럼, [math]\displaystyle{ \frac{1}{b^k}\lt \sum_{i=k+1}^\infty\frac{b-1}{b^i}=\left(b-1\right)\frac{1/b^{k+1}}{1-1/b}=\frac{1}{b^k} }[/math]이고, 이는 모순이다. 따라서, b진법 분수 전개 표기는 유일하다.

참고로 위 명제는 임의의 실수를 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법 소수로 표현했을 때, 그 표기가 유일하다는 사실을 증명하기도 한다. 또한, 위 명제와 기약분수 표기의 유일성과는 관계가 없으니 주의하자. 기약분수 표기의 유일성은 증명하기가 이보다 훨씬 더 간단하다. 자세한 것은 기약분수를 참조.

소수 표기시 형태

위에서 임의의 유리수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모의 약수가 2나 5밖에 없다면 유한 소수가 된다고 말하였다. 근데 왜 하필 2와 5일까? 사실 이는 10의 소인수가 2랑 5밖에 없기 때문이다. 왜 하필 10의 소인수를 고려하는 이유는, 우리가 10진법을 쓰기 때문이다. 즉, 분모의 약수가 2나 5밖에 없는 것은 10진법에서의 유한 소수가 되기 위한 조건이지, 임의의 기수법에서의 유한 소수가 되기 위한 조건이 아니다. 일반적인 기수법에서, 분수를 소수로 나타냈을 때 어떠한 형태가 되는지 일반화 하면 다음과 같다.

명제

1. [math]\displaystyle{ x }[/math]를 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법으로 전개했을 때, 항이 유한하거나 순환한다면 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 유리수이다.
2. [math]\displaystyle{ x=\frac{r}{s} }[/math]가 기약분수인 유리수라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ x }[/math]의 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법 전개는 반드시 유한하거나 순환한다. [math]\displaystyle{ b }[/math]진법 전개가 유한하기 위한 필요충분 조건은 [math]\displaystyle{ s }[/math]의 모든 소인수가 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 나누는 것이다.

증명

1. 만약 [math]\displaystyle{ x=\left(0.c_1c_2\ldots c_n\right)_b }[/math]라면, [math]\displaystyle{ x=\frac{c_1}{b}+\frac{c_2}{b^2}+\cdots+\frac{c_n}{b^n}\in\mathbb{Q} }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ x=\left(0.c_1\ldots c_N\overline{c_{N+1}\ldots c_{N+k}}\right)_b }[/math]라면, [math]\displaystyle{ \begin{align}x&=\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_N}{b^N}+\left(\frac{c_{N+1}}{b^{N+1}}+\cdots+\frac{c_{N+k}}{b^{N+k}}\right)\left(1+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{b^{2k}}+\cdots\right)\\&=\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_N}{b^N}+\left(\frac{c_{N+1}}{b^{N+1}}+\cdots+\frac{c_{N+k}}{b^{N+k}}\right)\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{b^{ik}}\end{align} }[/math]
   이다. 한편, [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^\infty\frac{1}{b^{ik}}=\frac{1}{1-\left(\frac{1}{b}\right)^k}\in\mathbb{Q} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{Q} }[/math]이다.
2. [math]\displaystyle{ s=TU }[/math]로 쪼개자. 여기서 [math]\displaystyle{ T }[/math]는 [math]\displaystyle{ b }[/math]의 소인수들만 모아놓은 것이고, [math]\displaystyle{ U }[/math]는 그렇지 않은 소인수들만 모아놓은 것이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \gcd\left(U,b\right)=1 }[/math]이고, 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ T\mid b^N }[/math]이다. 즉, 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ b^N=kT }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ xb^N=\frac{rb^N}{TU}=\frac{rk}{U} }[/math]이다. 나눗셈 정리에 의해 [math]\displaystyle{ rk=QU+R }[/math]임을 알 수 있다 (단, [math]\displaystyle{ 0\leq R\lt U }[/math]). 그럼, [math]\displaystyle{ xb^N=Q+\frac{R}{U} }[/math]이다. 이제, [math]\displaystyle{ Q }[/math]의 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법 전개를 [math]\displaystyle{ a_mb^m+\cdots+a_1b+a_0 }[/math]이라 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ x=\frac{a_m}{b^{N-m}}+\frac{a_{m-1}}{b^{N-m+1}}+\cdots+\frac{a_1}{b^{N-1}}+\frac{a_0}{b^N}+\frac{R}{Ub^N} }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ U=1 }[/math]이면, [math]\displaystyle{ R=0 }[/math]이어야만 하고, 이는 [math]\displaystyle{ x }[/math]의 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법 전개는 유한함을 의미한다. 한편, [math]\displaystyle{ U=1 }[/math]이기 위한 조건은 [math]\displaystyle{ s }[/math]의 모든 소인수가 [math]\displaystyle{ b }[/math]를 나누는 것이다.

이제 [math]\displaystyle{ U\neq1 }[/math]라 가정하자. 그리고 [math]\displaystyle{ v=\operatorname{ord}_Ub }[/math]라 하자. 즉, [math]\displaystyle{ b^v\equiv1\pmod U }[/math]이고, 적당한 정수 [math]\displaystyle{ t }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ b^v=1+tU }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ b^v\frac{R}{U}=tR+\frac{R}{U} }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \frac{R}{U} }[/math]의 [math]\displaystyle{ b }[/math]진법 [math]\displaystyle{ v }[/math]항 분수 전개를 [math]\displaystyle{ \frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_v}{b^v}+\frac{R_v}{b^v} }[/math]라 가정하자. 여기서 [math]\displaystyle{ 0\leq R_v\lt 1 }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ b^v\left(\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_v}{b^v}+\frac{R_v}{b^v}\right)=tR+\frac{R}{U} }[/math]이고, 좌변을 전개하여 간단히 정리하면, [math]\displaystyle{ c_1b^{v-1}+\cdots+c_v+R_v=tR+\frac{R}{U} }[/math]이다. 좌변에서 [math]\displaystyle{ \frac{R}{U} }[/math]를 제외한 모든 항은 음이아닌 정수이고, 우변에서 [math]\displaystyle{ tR }[/math]은 음이아닌 정수, [math]\displaystyle{ 0\leq\frac{R}{U}\lt 1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ R_v=\frac{R}{U} }[/math]이어야만 한다. 따라서, [math]\displaystyle{ \frac{R}{U}=\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_v}{b^v}+\frac{1}{b^v}\left(\frac{R}{U}\right) }[/math]. 이는 곧 [math]\displaystyle{ \frac{R}{U} }[/math]이 순환함을 의미하고, 따라서 [math]\displaystyle{ x }[/math]도 순환한다. 순환 주기는 [math]\displaystyle{ v=\operatorname{ord}_Ub }[/math]이다.

번분수

번분수(繁分數) 또는 번분수식(繁分數式)은 분수의 분모나 분자가 분수인 분수식 또는 분수이다.

번분수의 예

[math]\displaystyle{ {{1\over2}\over{3\over4}} = {{1\times4} \over {2 \times 3 } } = {4 \over 6}= {\cancel{4} {2} \over \cancel{6} {3}} = {2 \over 3} }[/math]

루트

제곱근(root)을 '어떤 수 a를 두 번 곱하여 x가 되었을 때에, a를 x에 대하여 이르는 말. 하나의 수에 대하여 그 제곱근은 양수와 음수 두 개가 있으나 보통 양수를 택한다.'라고 가정하면

[math]\displaystyle{ a^2 =x }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{a^2 }= \sqrt{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ a = \sqrt{x} }[/math] 이고

또한

[math]\displaystyle{ a^{2 \cdot {{1}\over{2}} } =x ^{ {{1}\over{2}} } }[/math]

[math]\displaystyle{ a =x ^{ {{1}\over{2}} } }[/math] 이다.

제곱근의 제곱의 역수배임을 확인할수있다.

관련 항목

• 기약분수
• 연분수
• 소수 (실수)
• 0으로 나누기
• 유리수