선형대수학

Linear Algebra 線型代數學

대체 뭐하는 거냐 이건?

선형대수학은 벡터공간과 선형사상을 다루는 대수학의 분야이다. 수학내부 뿐만이 아니라 공학과 물리학에서도 다방면으로 활용되고, 따라서 현대문명의 많은 것을 가능하게 한 똘똘한 학문이다. 시작은 겉보기엔 어거지로 숫자를 우겨놓은 모임인 행렬이었는데, 이거 유래는 옛날 중국에서까지 찾을 수 있다. 물론 그때 당시에 뭔 아스트랄한 수학적 연구를 한 건 아니고 그냥 일차방정식을 풀기 위한 용도였다고. 이것을 카르다노가 유럽에 들여온 이후 유럽에서도 대충 유사한 개념을 써먹던 중 아서 케일리라는 양반이 행렬의 수학적 성질을 포착한 후 엄청나게 파고들게 된 후 선형대수학이 퍼지기 시작했다.

즉 시작은 그냥 선형일차방정식을 능률적으로 풀기 위한 '행렬'이라는 개념으로부터 시작된 것으로, 이거 해결하려 만들어진 곱하기 개념에 대해서 깊이 파고들어 보면 상당히 흥미로운 성질을 이끌어 낼 수 있다는 것이 선형대수학의 가장 큰 특징이다.

기초 선형대수학에서 주로 하는 행위 중 하나는 바로 대각화(diagonalization)이다. 대각화란 고딩들도 알기 쉽게 설명하자면 n by n 정사각행렬에 대해 어떤 조작을 가하여 1행 1열부터 2행 2열, 3행 3열, ..., n행 n열 까지 대각선상에 있는 n개의 성분들을 제외한 나머지 성분은 전부 0으로 만드는 것을 말한다. 선형사상 관점에서 보면 이러한 조작은 기저만 변화했을 뿐 같은 함수로 봐도 무방하다. 다시 고딩들의 눈높이로 돌아가서 설명해 본다면 고등학교때 배우는 타원, 쌍곡선, 포물선 등의 이차곡선은 (모두 표준기저가 바탕이 되었기 때문에) 기본적으로 기울어진 형태를 바로 배우는 일은 거의 없다. 이렇게 초점이 x축 혹은 y축 위에 있는 정상적인(?) 타원이 아닌 초점이 y=ax(a는 영아닌 실수) 위에 있는 타원 같은 경우 xy항이 생기면서 타원식이 더러워지기 시작하는데 대각화(더 정확히는 orthogonal diagonalization)를 통해서 고등학교때 배운 형태의 깔끔한 식으로 다시 바꾸어줄 수 있다.(symmetric matrix꼴로 이차곡선 식을 나타낼 수 있으므로 가능한 일이다.) 이건 3차원 상의 2차곡면에 대해서도 가능한 일이다. 그리고 직접 계산을 해보면 느끼겠지만 행렬의 대각화는 행렬의 거듭제곱 계산을 매우 간단하게 바꾸어준다. 이러한 것들은 대각화와 관련된 응용의 극히 일부분에 대한 이야기이고 더욱 더 무궁무진한 이야기가 숨어 있으므로 더 알기원한다면 모두 대학에 와서 선형대수학을 수강하라!...는 농담이다. 여튼 모든 행렬이 대각화가 되었다면 수학과에서 선형대수학을 1년 내내 배우는 일은 없었지 않았을까 싶을 정도이며, 선대를 단학기 강좌로 들은 사람들도 무조건 배우는 고유벡터 개념조차도 eigen-vector 자체가 행렬을 대각화 시킬 수 있는 좋은 기저로 작용할 수도 있다는 점을 생각해보면 선형대수학 전체를 통틀어 대각화를 빼놓고 이야기할 수는 없는 것이다.

뭐가 그렇게 중요한 걸까?

일단, 선형대수는 ‘선형변환’이라는 개념을 다루는 학문이며, 이 물건은 매우 다양한 현상을 표현하는 데 사용될 수 있다.

• 3차원에 있는 2차원 그림을 인간이 보는 시각으로 사영하는 행위는 일종의 선형변환이다. 따라서 선형대수는 컴퓨터 그래픽에 널리 사용된다.
• 넷플릭스와 같은 영화 스트리밍 사이트에서 영화 추천 서비스를 할 때 선형대수를 적극 활용한다. 예를 들어, 사용자가 ‘다크 나이트’에 4.5점을, ‘과속스캔들’에 1.0점을 줬다면 ‘트랜스포머’에는 몇 점을 줄까? 라는 질문에 대해 컴퓨터가 자동으로 대답하게 함으로써 적절한 추천목록을 만드는 것이다. 이를 위하여 큰 N에 대해 N차원 선형대수를 이용하여 특정 값을 최대화·최소화하는 접근방식이 쓰이곤 한다.
• 컴퓨터가 사물을 인지하게 하는 인공지능의 일종인 컴퓨터 비전에서, 카메라가 받는 영상의 ‘모서리’를 판별할 때 선형대수를 사용한다. 이미지를 픽셀단위로 본 후 x, y 방향의 명도 변화를 2차원 행렬에 담고 이 행렬을 대각화함으로써 명도변화가 큰 방향을 감지할 수 있는 것이다. 즉 ‘다양한 정보를 행렬에 담을 수 있다’는 것과 ‘회전 역시 선형변환이므로 선형변환은 다양한 현상을 모델링할 수 있다’는 것이 키 포인트인 것이다. 소위 ‘해리스의 모서리 탐지기’에 대해 찾아보면 더 자세한 정보를 얻을 수 있다.
• 현실 세계를 아주 정확하게 모델링하는 양자역학에서는 ‘무한차원 선형대수’를 사용한다. 양자역학에서, 모든 것은 파동함수로 나타낼 수 있고, 각 물리량에는 대응되는 작용소(operator)가 있어서 이 작용소가 파동함수에 작용한다. 이 작용소는 에르미트 작용소이므로 직교기저로써 대각화가 가능하다. 따라서 파동함수를 이 기저함수들의 선형결합으로 나타내어 원하는 물리량의 관측값을 쉽게 설명할 수 있다.
• 수학에서... 너무 많이 쓰인다. 현대수학의 기초라고 보아도 무방하다.
  • 군을 더 이해하기 쉬운 대상으로 공부하기 위하여 동형(isomorphic)인 행렬군을 생각하자는 것이 소위 표현론이다.
  • 선형대수에서 다루는 대상인 벡터공간의 일반화가 가군(module)인데, 가군의 개념은 위상수학(호몰로지 군들은 가군들이다), 대수기하(O_X 가군의 고려 추가바람), 정수론(새로운 수체계를 만들기 위해 fractional ideal을 만드는데, fractional ideal은 유한생성 가군이다), 등등 너무 많은 곳에서 등장한다.

이 이외에도 정말 다양하게 쓰인다. 추가바람

선형대수학의 주제

• 벡터공간(Vector space)
  • 부분공간(Subspace)
  • 벡터공간의 기저(basis)
  • 벡터공간의 차원(dimension)
  • 몫공간(Quotient space)
• 행렬(matrix)
  • 가우스 소거법(Gaussian elimination)
  • 행 간소 사다리꼴(Row‐reduced echelon form)
  • 계수(階數) 정리(Rank theorem)
• 선형사상(Linear transformation)
  • 차원 정리(Dimension theorem)
  • Linear extension theorem
  • 선형대수학의 기본정리
  • 행렬과 선형사상의 행렬식(determinant)
• 고윳값(Eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)
  • 행렬의 대각화(diagonalization)
  • 특성다항식(characteristic polynomial)과 극소다항식(minimal polynomial)
  • 케일리–해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)
  • 고유공간 분해(Eigenspace decomposition)
• 내적공간(Inner product space)
  • 직교군(Orthogonal group)과 유니터리군(unitary group)
  • 그램–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)
• 쌍선형 형식(Bilinear form)과 에르미트 형식(Hermitian form)
  • 쌍대공간(Dual space)과 쌍대성(duality)
• 스펙트럼 정리(Spectral theorem)

학부 선형대수학

• 산업공학이나 경영학에서 OR(경영과학)을 하는데 이 선형대수가 기초가 된다. 최적값을 찾아내는 방법인데, 사실 3×3행렬 같은 경우에는 선형대수를 몰라도 그냥 고등학교 때 배운 가우스 소거법 같은 것을 써도 되지만, 미지수가 5개를 넘어가기 시작하면서는 정신이 아득해지기 시작한다. 다만 기하학적으로 보면 모든 선이 다 만날 필요는 없고 각 선들이 교차하는 꼭짓점의 위치만 확인하면 되기는 하는데 이쯤되면 이미 정줄을 놓는 상황이 되게 된다. 물론 엑셀의 해찾기 기능 같은 것으로 순식간에 답을 구할 수는 있겠지만, 문제는 시험문제는 멀쩡한 컴퓨터를 냅두고10~15개쯤 되는 미지수를 던져놓고 사람의 손으로 답을 구하라는 문제가 나오기 때문에 결국 토가 나오는 경우가 많다.

• 학부 선형대수학의 경우에는 수학과,물리학과에서는 거의 필수인 과목이다.