로그

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수학에서는 로그(Log)라는 용어는 거듭제곱의 반대 개념에 해당되는 것을 의미한다. 다음과 같이 정의한다.

0보다 큰 두 실수 a, b(a≠1)에 대해 밑 a에 대한 b의 로그값은 다음과 같이 정의된다. [math]\displaystyle{ a^x =b ~~ \leftrightarrow ~~ x = {\log}_{a} b }[/math]

여기서 a를 로그의 밑, b를 로그의 진수라고 부른다.

특성

로그값은 다음과 같은 특징을 가지고 있다. 거듭제곱의 성질과 비교하면 다음과 같다.

1. [math]\displaystyle{ a^{(x+y)} =a^x \cdot a^y ~~ \leftrightarrow ~~{\log}_{a} {XY} = {\log}_{a} {X} + {\log}_{a} Y }[/math]
2. [math]\displaystyle{ a^{xy} ={(a^x )}^{y} ~~ \leftrightarrow ~~ {\log}_{a} {X^y} = y {\log}_{a} {X} }[/math]
3. [math]\displaystyle{ c\gt 0, c\neq 1 ~~\Rightarrow~~ {\log}_a b = \frac { {\log}_c b} { {\log}_c a } }[/math]

이러한 특징은 차이가 큰 대상들을 비교하는데 활용되고 있다. 절대등급도 그 예시 중 하나이다.

특수한 로그

• 밑이 10인 로그를 상용 로그라고 부른다. 통계학 등 계산 위주로 하는 학문에서는 밑이 10인 로그는 밑을 생략해서 표현하는 경우가 많다. 다만 순수수학에서는 상용로그의 밑 10을 생략하지 않는 편.
  • 또한 물리 및 수리통계, 경제에서 자주 쓰는 로그스케일(Logarithmic scale, 로그자/로그눈금/로그척도)도 밑이 10인 것을 기본으로 한다. 굳이 이러한 비선형(非線形) 그래프를 사용하는 이유는 크게 2가지로, 하나는 표기해야 할 최소값과 최대값의 규모 간격이 너무 큰 값으로 차이날 때, 다른 하나는 기하급수의 적용으로 기울기가 심히 가팔라져 증감 정도나 추세를 가늠하기 어려워지는 현상을 완화시키려는 목적에서이다.
• 밑이 e인 로그를 자연 로그라고 부른다. 순수수학에서 가장 많이 쓰는 로그이며, 밑을 생략해서 표현하는 경우가 많다. 다만 상용 로그와 혼동을 피하기 위해 ln이라고 쓰기도 한다.
  • 자연 로그를 순수수학에서 많이 사용하는 이유는 역함수인 [math]\displaystyle{ e^x }[/math]가 수학적으로 상당히 중요한 역할을 하기 때문이다. 예를 들면

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} e^x = e^x }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ e^{(a+b\sqrt{-1})} = e^a ( \cos b + \sqrt{-1} \sin b) }[/math]

이와 관련해서 [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} {\ln} x = \frac{1}{x} }[/math]라는 결과가 나온다.

• 밑이 2인 로그를 2진 로그라고 부른다. 간혹 lb라고 사용하기도 한다.