근판정법

진술

수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이라고 하자. 이때

• [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

증명

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = R }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ R \lt 1 }[/math]이라고 가정하자. 그러면 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sup_{m \ge n} \sqrt[m]{a_m}-R\right| \lt \varepsilon }[/math]이다. 절댓값 기호를 풀면 [math]\displaystyle{ \sup_{m\ge n}\sqrt[m]{a_m} \lt R+\varepsilon }[/math]이다. [math]\displaystyle{ R\lt \gamma \lt 1 }[/math]인 [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]를 하나 잡고 [math]\displaystyle{ \varepsilon = \gamma - R }[/math]으로 두자. 그러면 [math]\displaystyle{ \sup_{m\ge n}\sqrt[m]{a_m} \lt \gamma }[/math]이다. 상한의 정의에 의해 적당한 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n} \lt \gamma }[/math], 즉 [math]\displaystyle{ a_n \lt \gamma^n }[/math]이다. [math]\displaystyle{ 0 \lt \gamma \lt 1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \gamma^n }[/math]은 수렴하고 따라서 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n }[/math]은 수렴한다.

이제 [math]\displaystyle{ R \gt 1 }[/math]이라고 가정하자. [math]\displaystyle{ \varepsilon = R -1 }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ \sup_{m\ge n}\sqrt[m]{a_m} \gt 1 }[/math]이다. 상한의 정의에 의해 적당한 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a_n \gt 1 }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}1 }[/math]이 발산하므로, 비교판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

따름정리

수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이라고 하자. 이때

• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

예시

먼저, 근판정법을 쓰기 전에 아래 극한값을 알아 놓는 것이 좋다.

• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{C}=1,\,C\gt 0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^p}=1,\,p\gt 0 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\ln n}=1 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 }[/math]

다음 급수는 근판정법으로 수렴함을 증명할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{n^n}{2^\left(n^2\right)} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn^3}{3^n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{5^n}{2^nn!} }[/math]

다음 급수는 근판정법으로 발산함을 증명할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{5^n}{3^n\left(n^4+1\right)} }[/math]

다음 급수의 수렴성은 근판정법으로 판정되지 않는다.

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} }[/math]

근판정법과 비율판정법의 관계

만약 어떤 급수의 수렴성이 비율판정법으로 판정된다면, 근판정법으로도 판정할 수 있다. 실수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]일 때,

[math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \le\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \le \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\le \limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} }[/math]

임을 보이자. [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r }[/math]이라 하자. 그러면 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\inf_{m\ge n}\frac{a_{n+1}}{a_n}-r\right| \lt \varepsilon }[/math]이다. 절댓값 기호를 풀면

[math]\displaystyle{ r-\varepsilon \lt \inf_{m\ge n}\frac{a_{n+1}}{a_n} }[/math]

이다. 하한의 정의에 의해, [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]인 임의의 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ r-\varepsilon \lt \frac{a_{n+1}}{a_n} }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ (r-\varepsilon)^{n-N-1} \lt \frac{a_n}{a_{n-1}}\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}} }[/math]

이고 따라서

[math]\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{N+1}} \gt (r-\varepsilon)^{n-N-1} }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n} \gt \left(\frac{a_{N+1}}{(r-\varepsilon)^{N+1}}\right)^\frac{1}{n}(r-\varepsilon) }[/math]

이고 임의의 [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}p^{\frac{1}{n}}=1 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}\ge r-\varepsilon }[/math]

이고 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 식이 성립하므로

[math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}\ge r }[/math]

이다. 오른쪽 부등식에 대해서도 비슷한 과정을 거치면 된다.

그러나 급수가 근판정법으로 수렴하더라도 비율판정법으로 수렴하는지는 알 수 없을 수도 있다. 예를 들어, 수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]의 일반항이

[math]\displaystyle{ a_n=\begin{cases} \frac{1}{2^n},&\text{if $n$ is odd}\\ \frac{1}{2^{n-1}},&\text{if $n$ is even} \end{cases} }[/math]

라고 하자. 이 수열의 첫 여섯 항은

[math]\displaystyle{ (a_n): \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{32},\frac{1}{32},\cdots }[/math]

이다. 그러면 [math]\displaystyle{ \sup_{m\ge n} \sqrt[m]{a_m} =2^{\frac{1}{2\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor}-1} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} a_n =2^{-1} }[/math]이다. 따라서 근판정법에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math]은 수렴한다. 그러나 [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{4} }[/math]이므로 비율판정법을 이용하면 유효한 결과를 얻지 못한다. 다음 급수에 대해서도 같은 결과를 얻을 수 있으니 직접 시도해 보라.

• [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots }[/math]
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+1+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{32}+\frac{1}{16}+\cdots }[/math]

거듭제곱급수의 수렴반경

이와 관련한 내용은 수렴반지름에서 볼 수 있습니다.

근판정법은 거듭제곱급수의 수렴반지름을 구하는 데 활용할 수 있다. 거듭제곱급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n }[/math]이 주어졌다고 하자. 그러면 근판정법에 의해

[math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{\frac{1}{n}} |x| \lt 1 }[/math]

, 즉

[math]\displaystyle{ |x| \lt \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}} }[/math]

일 때 절대수렴한다.

거듭제곱급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n }[/math]이 수렴하는 [math]\displaystyle{ x\in \mathbb{R} }[/math]의 범위를 구해보자. [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n }[/math]는 [math]\displaystyle{ |x| \lt 1 }[/math]일 때 수렴하고, [math]\displaystyle{ |x|\gt 1 }[/math]일 때 발산한다. [math]\displaystyle{ |x|=1 }[/math]일 때는 근판정법으로 수렴성을 판정할 수 없으므로 직접 시도해야 한다. [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }[/math]은 발산하고, [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n} }[/math]은 교대급수판정법에 의해 수렴한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^n }[/math]는 [math]\displaystyle{ -1 \le x \lt 1 }[/math]일 때 수렴한다.